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2025-2026学年广东省梅州市兴宁市部分学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，能与合并的是（　　）
A. B. 4 C. D.
2.已知，则y-x的值为（　　）
A. 3 B. -2 C. 2 D. -3
3.要使式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A. m≥-1 B. m＞-1 C. m＞-1且m≠2 D. m≥-1且m≠2
4.已知a,b,c为△ABC的三条边，则下列命题为真命题的是（　　）
A. 若，则△ABC为直角三角形
B. 若a2-b2=c2，则△ABC为直角三角形
C. 若a：b：c=2：3：4，则△ABC为直角三角形
D. 若a=9，b=12，c=16，则△ABC为直角三角形
5.以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 5，6，7 C. 3，4，5 D. 1，2，3
6.如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（　　）
A. 线段BD B. 线段AC C. 线段AB D. 线段BC
7.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（-2，4），则AC的长是（　　）
A.
B.
C.
D. 5
8.镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形ABCDEF，则∠A的度数为（　　）
A. 45° B. 60° C. 67.5° D. 120°
9.如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，点E为AD上一点，连接BE，CE，点M，N分别是BE，CE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定
10.如图5，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，正方形ABCD的边长为3，下列结论正确的个数是（　　）
①AE=BF；②AE⊥BF；③QF=QB；④AQ=0.75
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：= .
12.已知，，则式子a2-ab+b2的值为 .
13.如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为 .
14.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AC⊥BD，若BC=5，OC=3，点B的坐标为，则点D的坐标为 .
15.如图，已知AC为正六边形ABCDEF的一条对角线，则∠ACB= .
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.计算：.
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
先化简.再求值：，其中.
18.(本小题7分)
已知：如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE=BF.
19.(本小题9分)
如图，在△ABD中，AD=BD，点F在线段AD上，点C在BD的延长线上，连接AC，BF，并延长BF交AC于点E，且AD⊥BC，BF=AC.
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若E为AC中点，DF=2，求BC的值.
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°.
（1）尺规作图：作△ABC的BC边上的中线AD；
（2）若∠DAC=30°，AD=6，求AB的长.
21.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，连接BE，DE，EO，且∠BED=90°，AC=2EO.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=6，∠AOB=60°，求四边形ABCD的面积.
22.(本小题13分)
如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）当t=1时，求△CPQ的面积；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
23.(本小题14分)
四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE.
（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，以DE，EC为邻边作矩形DECG，求证：矩形DECG是正方形；
（2）如图2或图3，当点E不是线段AC的中点时，过点E作EF⊥DE，交线段BC或BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.四边形DEFG还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接CG.试探究CG，EC，CD的数量关系，并说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】2．
12.【答案】24．
13.【答案】10
14.【答案】
15.【答案】30°
16.【答案】解：原式=
=
=．

17.【答案】解：原式=
=
=．
当时，原式=．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
∴DE=BF．
19.【答案】证明：∵AD⊥BC，点C在BD的延长线上，点F在线段AD上，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BDF（HL），
∴∠FBD=∠DAC，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠FBD+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC 4+2
20.【答案】如图，线段AD即为所求； 3
21.【答案】∵O是AC，BD的中点，
∴AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠BED=90°，
∴BD=2EO．
∵AC=2EO，
∴AC=BD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形
22.【答案】解：（1）∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴∠B=30°，
∴OA=OB=，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO2+AC2=CO2，
∴（）2+（3-OC）2=OC2，
∴OC=2=BC，
∴OC=2，BC=2．
（2）如图1-1中，作CH⊥PQ于H．当t=1时，P在BC上，Q在OC上，CQ=OQ=PC=PB=1，
∴PQ∥OB，
∴∠CPQ=∠B=30°，
∵CQ=CP．CH⊥QP，
∴QH=PH，
∴CH=PC=，AH=PH=CH=，
∴QP=，
∴S△PQC= PQ CH=××=．
（3）如图（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB=90°，
∵∠B=30°，∠A=90°，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠NOC=90°-30°=60°，
①OM=PM时，
∠MOP=∠MPO=30°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°，
∴OP=2OQ，
∴2（t-2）=4-t，
解得：t=，
②PM=OP时，
此时∠PMO=∠MOP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此时不存在；
③OM=OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP=4-t，∠QOP=60°，
∴∠OPG=30°，
∴GO=（4-t），PG=（4-t），
∵∠AOC=30°，OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°，
∴PG=QG=（4-t），
∵OG+QG=OQ，
∴（4-t）+（4-t）=t-2，
解得：t=．
综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．
23.【答案】∵四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC中点，
∴，
∵四边形DECG是矩形，
∴四边形DECG是正方形 四边形DEFG还是正方形；证明：当点F在边BC上时，
如图2，四边形ABCD为正方形，过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∴∠DCA=∠BCA=45°，∠DCA=90°，
∵EP⊥CD，EQ⊥BC，
∴∠QEC=∠PEC=45°，EQ=EP．
∴四边形EQCP为正方形，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=90°-∠PEC=45°，
∴∠QEF=∠PED．
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；当点F在BC的延长线上时，
如图3，四边形ABCD是正方形，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∴∠BCD=90°，∠ECN=∠ECM=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，
∴NE=ME，
∴四边形EMCN为正方形，
∴∠MEN=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠FEM，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形 ；理由如下：
由（2）可知，矩形EFGD是正方形，
∴ED=DG，∠EDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG．
∵AE+EC=AC，
∴
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