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2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数为无理数的是（　　）
A. B. C. D. 0.010010001
2.若点P的坐标为（-3，2026），则点P在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（　　）
A. 4的算术平方根 B. 4的立方根 C. 8的算术平方根 D. 8的立方根
4.下列判断不正确的是（　　）
A. 若a＞b,则-2a＜-2b B. 若a＞b,则a+2＞b+2
C. 若ma＞mb,则a＞b D. 若a＞b,则a（c2+1）＞b（c2+1）
5.如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①∠1=∠3；②∠2+∠5=180°；③∠4=∠B；④∠D+∠BCD=180°.其中能判断AD∥BC的是（　　）
A. ①②③④
B. ①④
C. ②③
D. ①③
6.下列说法正确的是（　　）
A. 64的立方根是8 B. -8的算术平方根是-2
C. 的算术平方根是3 D. 0.01的平方根是±0.1
7.如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（　　）
A. 1长
B. 2长
C. 3长
D. 一样长
8.《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
9.在台球桌上有A、B、C、D四个球，通过观察，球与球之间的角度关系如图所示，已知直线a与直线b平行，则∠1的度数是（　　）
A. 60°
B. 40°
C. 50°
D. 70°
10.若点A（a，-1），点B（3，b）且AB∥x轴，点C（-3，c），点D（d，3）且CD∥y轴，则到x轴距离为3的点的坐标为（　　）
A. （b，c） B. （d，b） C. （c，d） D. （d，a）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若点P（a+3，a-3）在y轴上，则a= .
12.已知是二元一次方程ax+4y=8的一个解，则a的值为 .
13.已知：若≈1.910，≈6.042，则≈______．
14.如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿.将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为（-1，-5）、（1，-4），则叶柄末端C点的坐标为 .
15.若的整数部分是a,小数部分是b,则= .
16.已知关于x,y的方程组，给出下列结论：①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②可能存在某个a值，使得x,y的值互为相反数；③x,y都为自然数的解有3对；④若2x+y=8，则a=2.正确的序号为 .
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.计算：
（1）；
（2）3（x-1）2-27=0.
18.解方程组：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，4），B（-4，-2），C（2，1）.若三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形A′B′C′，点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′.
（1）画出三角形A′B′C′，并写出点C′的坐标；
（2）若三角形ABC内有一点P（a,b）经过以上平移后的对应点为P′，则点P′的坐标为______；
（3）求三角形ABC的面积.
20.(本小题8分)
有块长a米，宽b米的长方形空地，（其中，3b+3的立方根是3，2b-a的算术平方根是，沿着平行于长方形空地各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求小长方形花圃的长和宽.
21.(本小题8分)
如图，点D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，∠AED=∠C，∠DEF=∠B，∠EFG=90°．求证：FG⊥AB．
22.(本小题10分)
对于有理数x，y，定义新运算：x#y=ax+by，x y=ax-by，其中a，b是常数.已知1#1=1，3 2=8.
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y=3，求m的值.
23.(本小题10分)
北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你设计出所有的租车方案．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（2，b），C（4，0）且a＞0．
（1）若（a-2）2+=0，求点A，点B的坐标．
（2）如图1，在（1）的条件下，过点B作BD平行y轴交AC于点D，求点D的坐标．
（3）若S△ABC=5，且a+b-4=0，求b的值．
25.(本小题14分)
如图1，E点在BC上，∠A=∠D，∠ACB+∠BED=180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】-3．
12.【答案】2
13.【答案】604.2
14.【答案】（3，3）．
15.【答案】16
16.【答案】①④．
17.【答案】3+ x=4或-2
18.【答案】解：（1），
①×3，得6x+3y=24③，
②+③，得10x=30，
解得：x=3，
把x=3代入①，得2×3+y=8，
解得：y=2，
∴方程组的解为；
（2）把原方程组变形为：，
①+②，得6x=18，
解得：x=3，
把x=3代入①，得3×3-2y=8，
解得：，
∴方程组的解为：．

19.【答案】画图见解答；A'（3，1），B'（0，-4），C'（5，-2）．
（a+3，b-2）．
15．
20.【答案】小长方形花圃的长和宽分别为4米，2米．
21.【答案】证明：∵∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，
∵∠DEF=∠B，
∴∠EFC=∠B．
∴DB∥EF，
∴∠AGF+∠EFG=180°．
∵∠EFG=90°，
∴∠AGF=90°，
∴FG⊥AB．
22.【答案】解：（1）由定义新运算：x#y=ax+by，x y=ax-by，
可得，
解得：；
（2）由定义新运算：x#y=ax+by，x y=ax-by，
可得，
解得：，
由条件可知m+1+3m-2=3，
4m=4，
解得：m=1．

23.【答案】解：（1）设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生．
根据题意得：，
解得：．
答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生；
（2）根据题意得：20a+45b=400．
∴．
∵a，b为正整数，
∴或．
答：租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆．
24.【答案】解：（1）∵（a-2）2+=0，
∴a-2=0，且b-4=0，
∴a=2，b=4，
∴点A（0，2），B（2，4）；
（2）根据题意，点D的横坐标2=，
可知点D为AC中点，
∵点A（0，2），C（4，0），
∴点D的坐标为（2，1）．
（3）分两种情况：
①点B在第一象限时，过B作BE∥x轴，如下图1所示：
则BE⊥y轴，四边形OCBE是直角梯形，
∵S△ABC=直角梯形OCBE的面积-Rt△AOC的面积-△ABE的面积=5，
∴（2+4）×b-a×4-×（b-a）×2=5，
整理得：2b-a=5，
∵a+b-4=0，
∴b=3；
②点B在第四象限时，过B作BE∥x轴，过C作CF∥AE，交直线BE于F，如下图2所示：
则BE⊥y轴，四边形ACFE是直角梯形，
∵S△ABC=直角梯形ACFE的面积-Rt△BCF的面积-△ABE的面积=5，
∴（-b+a-b）×4-（-b）×2-×（a-b）×2=5，
整理得：a-2b=5，
∵a+b-4=0，
∴b=-；
综上所述，若S△ABC=5，且a+b-4=0，b的值为3或-．
25.【答案】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，

∵∠ACB+∠BED=180°，∠CED+∠BED=180°，
∴∠ACB=∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠DFB，
∵∠A=∠D，
∴∠DFB=∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF=180°，∠MEB=∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2=∠ABG，
∵CD∥HN，
∴∠2+∠β=∠3，
∴ABE+∠β=∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3=EDF，
∴ABE+∠β=EDF，
∴∠β=（∠EDF-∠ABE），
∴∠EDF-∠ABE=2∠β，
设∠DEB=∠α，
∵∠α=∠1+∠MEB=180°-∠EDF+∠ABE=180°-（∠EDF-∠ABE）=180°-2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α-60°=∠β，
∴∠α=180°-2（∠α-60°）
解得∠α=100°
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，

∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM=∠MBK=EBK，
∠CDN=∠EDN=CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES=∠CDE，
∠BES=∠ABE=180°-∠EBK，
∠G=∠PBK，
由（2）可知：∠DEB=100°，
∴∠CDE+180°-∠EBK=100°，
∴∠EBK-∠CDE=80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN=∠G，
∴∠PBK=∠G=∠CDN=CDE，
∴∠PBM=∠MBK-∠PBK
=∠EBK-CDE
=（∠EBK-∠CDE）
=80°
=40°．
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