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29.1　圆的有关概念
29.1.1　圆的有关概念
人教版 九年级 数学（上）
第29章　圆
你能说出生活中的圆形实例吗 (至少三个)
新课导入
现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么要把轮子做成圆形的？为什么不能做成三角形、四边形或椭圆形呢？
圆有这样一个特性:圆心到圆周上任意一点的距离都是相等的，这个相等的距离，叫作半径.因此，人们把车轮做成圆形的，并使车轴通过圆心，当车轮在地面上滚动时，车轴离开地面的距离就总是等于车轮半径那么长，这样行驶起来才会平稳.
探究新知
1.圆是生活中常见的图形，你还能说出其他除课本上以外的圆形实例吗
2.请同学们在草稿纸上画圆，体验圆的形成过程．大家画的圆的位置和大小一样吗？圆的位置和大小分别由什么决定？
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆.
O
A
r
圆心
半径
其固定的端点 О 叫做圆心，线段 OA 叫做半径.
描述性定义
以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作“圆 O”.
圆的表示方法：
O
A
r
圆心
半径
注意：根据圆的定义，“圆” 指的是 “圆周”，而不是 “圆面”；
封闭曲线
3.动手量一量，圆上任意一点到圆心的距离相等吗？为什么？
O
A
r
圆上各点到定点（圆心 O ）的距离都等于定长（半径 r ）.
O
A
r
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
4.反过来，平面内到圆心的距离等于半径长的点都在圆上吗？
圆心为 О、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 О 的距离等于定长 r 的点的集合
O
A
r
集合性定义
圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”，圆上的点”指的是“圆周上的点”
圆面
圆周
圆周上的点
注意：
如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF,然后证明两三角形全等,最后根据全等的性质得出结论.
案例分析
解：连接OC,OD,
∵CE=DF.
∴△OCE≌△ODF（SAS）,
∴OE=OF,
∴△OEF是等腰三角形.
∵OC=OD,
∴∠C=∠D,
战国时的《墨经》
就有“圆,一中同长也”
的记载.它的意思是圆
上各点到圆心的距离都
等于半径.
1.请测量图中OA，OB，OC的长度，并比较它们的大小
O
C
B
A
OAOBOC
2.如何判断点与圆的位置关系，需要比较什么？
设O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则有
点P在圆外d>r;
点P在圆上d=r;
点P在圆内d案例分析
如图矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证:A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
D
A
B
C
O
D
A
B
C
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = OC=，OB = OD =.
∴ OA = OC = OB = OD.
∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆上.
对角线AC，BC相较于点O
O
A
C
B
弦:
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
注意
O
A
B
O
A
B
探索：圆中最长的弦是什么？为什么？
O
A
B
C
C
D
C
D
O
A
B
C
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
【发现】直径是最长的弦
求证：直径是圆中最长的弦.
证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r.
CD是不同于AB的任意一条弦.
连接OC、OD，
则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.
在△OCD中，OC+OD＞CD，
即直径是圆中最长的弦,
练一练
∴AB＞CD.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
C
O
A
B
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 　，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
AB
弧:
小于半圆的弧(如图中的 )叫做劣弧
AC
大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的　　 )叫做优弧
ABC
C
O
A
B
劣弧与优弧
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧.
等圆:
·
C
O
A
能够重合的两个圆叫做等圆.
·
C
O1
A
容易看出，等圆是两个半径相等的圆.
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
可见这两条弧不可能完全重合
实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
︵
︵
C
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？
A
B
C
D
如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
AF,
(
AD,
(
AC,
(
AE.
(
AFE,
AFC,
ADE,
ADC.
练一练
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是
和 .
AF
(
ABF
(
A
B
C
E
F
D
O
知识归纳
1．在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点
O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作____，线段OP叫作____．
2．以点O为圆心的圆，记作____，读作“____”
圆心
半径
⊙O
圆O
3．圆的新定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
4．设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外 ______；点P在圆上 ______；点P在圆内 ______．
d>r
d＝r
d5．与圆有关的概念：
(1)连接圆上任意两点的线段叫作____，如图，线段AC，AB；
(2)经过圆心的弦叫作____，如图，线段AB；
弦
直径
(3)圆上任意两点间的部分叫作______，简称______，以A，B为端点的弧记作AB读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作______，大于半圆的弧(用三个点表示，如图中的ABC)叫作______，小于半圆的弧(如图中的AC)叫作______．
圆弧
弧
半圆
优弧
劣弧
6．能够_____的两个圆叫作等圆．容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，_____相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够__________的弧叫作等弧．
重合
半径
互相重合
例 1
例题与练习
在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．
解：A，B，C，D四个点在同一个圆上．连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC.
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴OA＝OC＝BD，
即OA＝OB＝OC＝OD.
∴A，B，C，D四个点在以BD的中点为圆心，BD长的一半为半径的圆上
例 2
如图，以点O为圆心的圆记作____，圆中有____条直径，记作_____________；圆中有____条弦，记作弦__________________；圆中劣弧有____条，记作___________________；
圆中以点B为一个端点的优弧有
____条，记作___________．
⊙O
2
直径AC，BD
4
AB，AD，AC，BD
4
2
AB，AD，DC，BC
BCA,BAC
例 3
如图，在⊙O中，AB是直径，C，D，E三点分别在⊙O上，则：
(1)OC____OD____OE；
(2)AD____ACD，ACB____ADB；
(3)弦CD所对的弧有__________．
＝
＝
<
＝
DAC,DC
1.如何在操场上画一个半径是5m的圆 说出你的方案及理由.
O
A
5 m
找一个 5 米长的绳子，一端固定在地面上，另一端旋转一周，便出现了半径为 5 m 的圆. 因为圆是到定点等于定长的点的集合.
2.你见过树木的年轮吗 从树木的年轮，可以知道树木的年龄.把树干的横截面看成圆形，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少
解：已知树干横截面的直径d=23cm，树龄为20年。
树干现在的总半径：r===11.5cm
平均每年增加的半径：11.5=0.575cm
答：这棵树的半径平均每年增加0.575厘米。
3. ⊙O的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和O的位置关系:
(1) 8;
(2) 10;
(3) 12.
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
4. △ABC中，C=90，求证:A，B，C三点在同一个圆上.
A
B
C
证明：取斜边AB的中点，记作点O，连接OC。
∵C=90°，O为Rt△ABC斜边AB中点，根据直角三角形斜边中线定理:
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
A
B
C
O
∴OA=OB=OC=AB
∵点A、B、C到定点O的距离相等，
∴ A、B、C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上。
圆的基本概念
圆的定义
描述性定义
集合性定义
与圆有关的概念
弦
直径
圆弧（弧）
半圆
等圆、等弧
优弧、劣弧
课堂小结
随堂检测
1.下列语句正确的有( )
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
2.下列语句中正确的有( )
①相等的圆心角所对的弧相等；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
C
3.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．求证：OC=OD．
证明：∵OA、OB为⊙O的半径，
∴OA=OB. ∴∠A=∠B.
又∵AC=BD，
∴△ACO≌△BDO.∴OC=OD.
作业布置
学生用书对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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