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29.1　圆的有关概念
29.1.2 过三点的圆
人教版 九年级 数学（上）
第29章　圆
新课导入
家里的圆形镜子摔碎了，只留下一块带圆弧的碎片，想配一块和原来一样大的新镜子，该怎么确定圆心和半径呢？
过两点可以作几条直线？
有且只有一条【两点确定一条直线】
既然点可以作为确定直线的条件，是否也可以作为确定圆的条件呢？
探究新知
那么几个点可以确定一个圆呢
一是圆心，圆心确定其位置；
二是半径，半径确定其大小。
O
P
r
回 顾
探究1：经过一个点A能不能作圆 这样的圆能作出多少个
结论1：过一点可以作无数个圆。
O
O
O
O
O
A
探究2：使圆经过两个已知点A，B，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
O
A
B
O
A
B
O
A
B
结论2：过两点可以作无数个圆，
圆心在线段AB的垂直平分线上，
半径是圆心和A、B这两点中一点的连线段。
探究3：使该圆经过三个已知点A，B，C(其中A，B，C三点不在同一条直线上)，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
如图，l1与l2相交。
A
B
C
l1
l2
设l1与l2的交点为O——即圆心；
O
∵OA=OB=OC，
∴连接OA(或OB、OC)——即半径。
∴以点O为圆心，OA为半径的圆经过A、B、C三点
又∵l1与l2相交，只有一个交点，
∴经过A、B、C三点的圆有且只有1个。
结论3：不在同一条直线上的三点确定一个圆，
圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点，
半径是圆心和A、B、C这三点中一点的连线段。
A
B
C
l1
l2
O
不在同一条直线上的三点确定一个圆。
A
B
C
l1
l2
O
下列条件中，不能确定一个圆的是（ 　）
A．圆心与半径
B．直径
C．平面上的三个已知点
D．三角形的三个顶点
C
典例精析
如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　）
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
D
练一练
A
B
C
1. 外接圆
⊙O叫做△ABC的________，
△ABC叫做⊙O的____________.
到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形的外心：
定义：
●O
外接圆　
内接三角形　
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：
三角形三边中垂线的交点.
性质：
判一判：
下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；是三角形三边中垂线的交点；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
归纳总结
如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点
D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
典例精析
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，
在直角△AOD中，
OA＝OD·tan∠ADO＝3 ，
AD＝2OD＝6，
∴点A的坐标是(3，0)．
∵∠AOD＝90°，
∴△AOB外接圆的面积是9π.
∴OD＝3.
∴AD是圆的直径，
图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．
如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC.
D
则OD＝5cm，BD=BC=12cm
在Rt△OBD中
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
练一练
OB==13cm
思考
我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆。那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗
假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.
而l， l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线上，又在线段BC的垂直平分线上，即点P为与的交点.
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆)，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法.
归纳总结
反证法证明命题的一般步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
知识归纳
1．经过已知点A可以作______个圆，经过两个已知点A，B可以作______个圆，它们的圆心在____________________上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作____个圆．
无数
无数
线段AB的垂直平分线
一
2．经过三角形的__________可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的____________的交点，叫作这个三角形的外心．锐角三角形的外心在三角形______；直角三角形的外心是三角形____________；钝角三角形的外心在三角形______；任意三角形的外接圆有____个，而一个圆的内接三角形有______个．
三个顶点
垂直平分线
内部
斜边的中点
外部
一
无数
3．用反证法证明命题的一般步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
例 1
例题与练习
如图所示的是残缺的圆形轮片，如何找此残片所在的圆的圆心．(不写作法，保留作图痕迹)
例 2
用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
1.用反证法说明:400人中至少有两个人的生日相同.
证明:一年中最多有366天(闰年)，若任意两人生日都不相同，则最多只能有366人生日各不相同。而总人数为400人，
400 > 366,
该假设与实际情况矛盾。
假设不成立，
综上，400人中至少有两个人的生日相同。
2.用反证法说明:一个三角形中不能有两个角是直角。
证明:假设一个三角形中有两个角是直角。
设在△ABC中,A=90°,B=90°.
三角形内角和为180°
A+B +C= 180°
代入得:
A+B =90°+90°=180°
则C=180°-180°=0°。
综上，一个三角形中不能有两个角是直角。
课堂小结
A
B
C
1. 外接圆
⊙O叫做△ABC的________，
△ABC叫做⊙O的____________.
到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形的外心：
定义：
●O
外接圆　
内接三角形　
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：
三角形三边中垂线的交点.
性质：
1．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 (　　)
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
B
随堂检测
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= .
5
3.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．
70°
解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，连接OC，
∴O是斜边AB 的中点.
∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC的外接圆半径为6.5cm.
4.如图，已知 Rt△ABC 中 ，若AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
C
B
A
O
则OA=OB=OC.
作业布置
学生用书对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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