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29.2 圆的有关性质
29.2.2 圆心角
人教版 九年级 数学（上）
第29章　圆
新课导入
1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)
宝马车商标
星巴克标志
曼秀雷敦标志
2.把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？
图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．
探究新知
.
O
A
B
180°
1.剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论?
重合，
圆是中心对称图形.
2.圆的对称中心是什么？
圆心就是它的对称中心
.
O
A
B
180°
3.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
O
A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB .
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为?????????.
?
弦
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角
顶点在圆外，不是圆心角
顶点在圆周上，不是圆心角
圆心角
练一练
1. 优弧所对的圆心角大于平角，
2. 劣弧所对的圆心角小于平角，
3. 半圆所对的圆心角等于平角.
A
B
O
C
D
如图，⊙O 中，当圆心角 ∠AOB = ∠A′OB′ 时，它们所对的弧?????????和????′????′??、弦 AB 和 A′B′ 相等吗？为什么？
?
思考
相等
∵∠AOB = ∠A′OB′，
∴射线 OB 与 OB′ 重合.
又 OA = OA′，OB = OB′，
∴点 A 与 A′ 重合，点 B 与 B′ 重合.
因此，?????????与????′????′?? 重合，AB 与 A′B′ 重合，
即?????????=????′????′??，AB = A′B′.
?
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
符号语言：
∠AOB = ∠A′OB′
=
AB
A′B′
AB = A′B′
重要结论1：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
符号语言：
AB
A′B′
=
∠AOB = ∠A′OB′
AB = A′B′
重要结论2：
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
符号语言：
AB = A′B′
∠AOB = ∠A′OB′
AOB
A′OB′
=
AB
A′B′
=
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图，∠AOB = ∠A′OB′，
但?????????≠????′????′??，AB ≠ A′B′.
?
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
圆心角
相等
弧相等
弦相等
关系结构图
知识归纳
1．顶点在________的角叫作圆心角，能够重合的圆叫作________；能够________的弧叫作等弧；圆绕其圆心旋转任意角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是________________.
圆心
等圆
重合
旋转对称图形
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦也______．
3．在同圆或等圆中，两个______、两条_____、两条______中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
相等
相等
圆心角
弦
弧
例 1
例题与练习
A
B
C
O
如图，在☉O 中，?????????=?????????，∠ACB = 60°，求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
?
∴ AB = AC，即△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，即 AB = BC = CA.
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵?????????=?????????，
?
A
B
C
O
例 2
下列说法正确吗？为什么？
(1)如图，因为∠AOB＝∠A′OB′，所以AB＝ A′B′ ；
(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么AB＝A′B′.
︵
︵
︵
︵
解：(1)(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．
如图，AD＝BC.求证：AB＝CD.
例 3
证明：∵AD＝BC，
∴ AD＝BC.
︵
︵
∵ AC＝AC.
︵
︵
∴ AC+AD＝AC+BC.
︵
︵
︵
︵
∴ DC＝AB.
∴AB＝CD.
︵
︵
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________， _______________．
（2）如果 ，那么____________，________________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么__________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
解：相等
∵OE⊥????????,????????⊥CD, ????????=????????
?
∴????????△????????????? ????????△????????????
?
∴????????=????????
?
2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠COD = 35°，求 ∠AOE 的度数。
解：∵ BC=CD=DE ，
∴∠BOC = ∠COD = ∠DOE.
又 ∠COD = 35°，
∴∠BOE = ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 105°，
则∴∠AOE = 180°-∠BOE = 75°
︵
︵
︵
︵
︵
︵
3.如图，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，AC=BC，M，N分别是OA，OB 的中点.求证MC =NC.
︵
︵
证明：∵AC=BC,
?
︵
︵
∴∠AOC=∠BOC（同圆中，等弧所对的圆心角相等）
?
∵?OA、OB是⊙O的半径
?
∴OA=OB
?
又∵M、N分别是OA、OB的中点
?
∴?OM=????????OA,ON=????????OB
?
∴?OM=ON
?
在△OMC 和△ONC中
OM=ON
∠MOC=∠NOC
OC=OC(公共边)
?
∴△OMC ?△ONC（SAS）
?
∴MC =NC（全等三角形的对应边相等）
?
4．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有
(　　)
①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE；
③OF＝OC；④AC＝EF.
A．1个　　　　B．2个　　　　
C．3个　　　　D．4个
D
︵
︵
3．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由．
(2)求证：OC∥BD.
︵
︵
(1)解：△AOC是等边三角形．
理由如下：∵ AC＝CD ，
∴∠AOC＝∠COD＝60°.
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形．
︵
︵
(2)证明：由(1)，得∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝60°，
∴∠ODB＝∠COD＝60°，
∴△ODB为等边三角形．
∴OC∥BD.
课堂小结
圆的旋转对称性
圆心角
在同圆或等圆中
圆心角
弧
弦
知
一
得
二
圆心角
随堂检测
1.如图，????,????,????是⊙?????上的点，????????⊥????????,垂足为点????，????????∥????????,????????=????,则????????的长为(????????)
?
A.3???? B.3 C.2???? D.4
?
B
2.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm，弦CD=5 cm，则弦CD所对的圆心角的度数为_________.
60°
3.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则AC与BC的大小关系是________.
AC=BC
作业布置
学生用书对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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