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29.2 圆的有关性质
29.2.1 垂直于弦的直径
人教版 九年级 数学（上）
第29章　圆
新课导入
你知道赵州桥吗 它是我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少. 你们能帮他求出来吗
探究新知
1.用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆有几条对称轴？
无数条.
● O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2.“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗 若不对，应该怎样说
已知：在 ⊙O 中，AB 是直径，MM′ 是弦，
AB ⊥ MM′，垂足为 N．
证明：连结 OM、OM′，MM′.
在 △OMM′ 中，∵ OM ＝ OM′，
∴△OMM′ 是等腰三角形.
又 ∵ MM′ ⊥ AB，
∴MN = MN′.
即 AB 是 MM′ 的垂直平分线，因此 ⊙O 关于直线 AB 对称.
证 明
·
O
M
M′
B
N
A
从上面的证明我们知道，如果⊙O 的直径 AB垂直于弦 MM′，垂足为 N，那么点 M 和 M′ 是对称点.
点 M 与点 M′ 重合
MN 与 M′N 重合
与 重合
MA
M′A
与 重合
MB
M′B
因此，MN = M′N ，
MA=
M′A,
= .
MB
M′B
即直径 AB 平分弦 MM′，并且平分 ， .
MM′
MAM′
·
O
M
M′
B
N
A
如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
合作探究
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理成立的条件
一条直线满足:
①过圆心；
②垂直于弦.
不能，圆的任意两条直径都是互相平分的，却不一定互相垂直.
·
O
A
B
C
D
M
·
O
A
A'
C
D
“不是直径”这个条件能去掉吗？
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
思考
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
D
O
A
A′
M
C
举例证明其中一种组合方法.
已知：
求证：
① CD 是直径
② CD⊥AA′，垂足为 M
③ AM = A′M
④,
证明猜想
如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AA′ 于点 M.
（1）CD⊥AA′ 吗？为什么？
（2）与相等吗？
与相等吗？为什么？
·
O
A
A′
C
D
M
·
O
A
A′
C
D
M
解：(1) 连接 AO、A′O，则 AO = A′O.
又∵ AM = A′M，
∴∠AMO =∠A′MO = 90°.
∴ CD⊥AA′.
∴△AOM≌△A′OM(SSS).
(2) 由垂径定理可得=, =
垂径定理的本质
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所
对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所
对的劣弧
知二推三
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证: 四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
练一练
D
·
O
A
B
C
E
又　∵AC = AB,
∴ AE = AD.
∴ 四边形ADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD=AB.
例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留
小数点后一位）.
典例精析
A
B
C
D
O
h
r
d
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
指圆心 O 到弦的距离
d + h = r
数量关系
总结
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
解得 R ≈ 27.3.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.
∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52，
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23.
由垂径定理，得 AD =AB = 18.5 ，
设⊙O 的半径为 R m.
在 Rt△AOD 中，AO = R，
OD = R - 7.23，AD = 18.5.
由勾股定理，得
垂径定理的常用方法
在圆中，解决有关弦的问题时，只需从圆心作一条与弦垂直的线段，
如图：
·
O
A
B
r
d
a
(r：圆的半径 ，d：圆心到弦的距离 ，a：弦长)
=+
如图 a、b，一弓形弦长为4cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿＿＿＿cm.
C
图 b
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图 a
2 或 12
指弦中点到弦所对的弧中点的距离
练一练
知识归纳
1．圆是____对称图形，任何一条_____________ 都是圆的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为_____．
轴
直径所在直线
圆心
2．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①________ ___________________________；②___________ _________；那么可以推出：③________；④CE ＝DE；⑤CA＝DA.
平分
平分
AB经过圆心O且与圆交于A，B两点
AB⊥CD交CD于点E
CE＝DE
3.________________的直径垂直于弦，并且____ 弦所对的两条弧．
平分弦(不是直径)
平分
例
例题与练习
如图，D，E分别为AB，AC的中点，DE交AB，AC于点M，N.求证：AM＝AN.
︵
︵
D
E
A
B
C
M
N
证明：连接OD，OE分别交AB，AC于点F，G.
∵D，E分别为，的中点，
∴∠DFM＝∠EGN＝90°.
∴∠DFM＝∠EGN＝90°.
∵OD＝OE，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠D＝∠E，
∴∠DMB＝∠ENC.
∵∠DMB＝∠AMN，∠ENC＝∠ANM，
∴AM＝AN.
1.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证 AC=BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE.
∴ AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
2. 如图，在 ⊙O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥ AB，OE ⊥ AC，垂足分别为 D， E. 求证：四边形ADOE 是正方形.
证明：∵AB ⊥ AC，OD ⊥ AB，OE ⊥ AC.
∴四边形 ADOE 是矩形.
又∵OD 垂直平分 AB，OE 垂直平分 AC，AB ＝ AC，
∴AE =AC =AB = AD，
∴四边形 ADOE 是正方形.
3.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD=4m，EM=6 m.求⊙O的半径长.
解:设⊙O的半径为rm，则OE=OC=rm。
M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
根据垂径定理，得:EMCD,
CM=CD=4=2m。
又EM=6m,
在Rt△OMC中，由勾股定理:
代入OC=r,OM=6-r,CM=2,得:
OM=EM-OE=(6-r)m。
展开并化简:
+4
答： ⊙O的半径长为米
4．已知弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为________.
cm
5．如图，AB为⊙O的直径，E是的中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝____．
8
6．如图，⊙O中弦CD交半径OE于点A，交半径OF于点B，若OA＝OB，求证：AC＝BD.
证明：过点O作OG⊥CD于点G.
∵OG过圆心，
∴CG＝DG.
∵OA＝OB.
∴AG＝BG，
∴CG－AG＝DG－BG，
∴AC＝BD.
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
随堂检测
1.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　 ）
A．2cm B．4cm
C．2cm或4cm D．2cm或4cm
　C
2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,求蔬菜大棚的高度CD.
解：∵AB=16 m，
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2，
由垂径定理，得AD=8m.
求得OD=6m.
∴CD=OC-OD=4m.
∵OC=OA=10m，
作业布置
学生用书对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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