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29.2 圆的有关性质
29.2.3 圆周角
人教版 九年级 数学（上）
第29章　圆
第1课时 圆周角定理及其推论
新课导入
在如图中，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
探究新知
1. 圆心角的定义？
顶点在圆心的角叫圆心角.
2. 把圆心角 ∠AOB 的顶点 O拉到圆上，得到 ∠ACB. ∠ACB 有什么特点？
∠ACB 的顶点在圆上，边 AC，BC 都与圆相交
3.观察图，你能仿照圆心角的定义给这类角取一个名字并下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
顶点 A 不在圆上
顶点 A 不在圆上
边 AC 没有和圆相交
√
√
√
练一练
4.比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
圆周角：顶点在圆上，两边是射线，射线有可能不相交、也可能乱延伸，所以定义要约束。
圆心角：直接限定两边是半径，半径天生落脚在圆上，自带 “与圆相交” 属性，不用重复啰嗦。
圆心角已经规定两边是半径，
半径本来就端点在圆上，天然和圆相交，
所以定义里没必要再多写 “两边与圆相交”。
测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.
猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半.
等于
交流讨论
∠BAC 与∠BOC
圆心O 在∠BAC 的 内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
以上情况是否都满足：∠BAC 与∠BOC ？ 如何证明？
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
证明：
证明 1
∵ OA = OC，
∴ ∠A = ∠C．
又∵ ∠BOC = ∠A + ∠C，
∴ ∠BAC =∠BOC
O
A
B
C
D
如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA = OB，
∴∠BAD = ∠B．
又∵∠BOD = ∠BAD + ∠B，
∠BAD =∠BOD.
同理，∠CAD =∠COD.
∴∠BAC = ∠BAD + ∠CAD =∠BOC.
圆心O在∠BAC的内部
证明 2
O
A
B
D
O
C
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
证明 3
∠BAC = ∠DAC - ∠DAB =(∠DOC-∠DOB)=∠BOC.
∠DAC
=∠DOC.
∠DAB
=∠DOB.
归纳总结
∠BAC =∠BOC
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
在同圆(或等圆)中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
上节课我们学习了一个反映圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
那么，圆周角与圆周角所对的弧、弦有什么关系吗？
思考
D
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
∴∠BAC=∠BDC.
答：相等.
证明：在⊙O中，∵∠BAC=∠BOC
∠BDC=∠BOC
D
A
B
O
C
E
F
问题2 如图，若=,∠A与∠B相等吗？
答：相等.
证明：连接OC，OE，OD，OF，
=
∠A=∠COD, ∠B=∠EOF
∠COD=∠EOF.
∠A=∠B.
(1)反过来，若∠A=∠B，那么=成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
成立
90°
想一想
A1
A2
A3
圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，理由是____________ _________________________________;
(2)∠BDC= ，理由是____________ _________________________________.
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
试一试
2.如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵OA=OB=OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识归纳
1．顶点在______， 并且两边都与圆______的角叫作圆周角．
2．一条弧所对的圆周角等于它所对的_______的一半．______或______所对的圆周角相等．
圆上
相交
圆心角
同弧
等弧
3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也______．
4．半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是______．
相等
直角
直径
例 1
例题与练习
如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6。 ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
·
O
A
C
B
D
解:连接OD.
·
O
A
C
B
D
AB是⊙O的直径，
ACB= ADB=90°
在Rt△ABC中，AB=10, AC=6,
=8
CD平分ACB，
在⊙O中,AOD=2ACD, BOD=2BCD,
又在Rt△ABC中，=
AD=BD=AB=5.
例 2
如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝，AC＝1，则∠B＝______．
45°
例 3
如图，AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的长．
解:∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，
∴∠ADC＝∠ADE＝30°
∴∠ABC＝∠ADC＝30°.
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝AB＝5 cm.
∴BC＝==5(cm).
1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
（1） （2） （3） （4） （5）
√
理由：(1)(2)中的角的顶点不在圆上，(4)(5)中的角的两边至少有一条不与圆相交，(3)中的角的顶点在圆上，两边都与圆相交. 故(3)中的角是圆周角.
证明：∵ ∠ACB =∠AOB，∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
∴ ∠ACB = 2∠BAC.
A
B
C
O
2. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
3. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？
有几种方法？与同学交流一下.
解：根据 90 的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点即是圆心.
4．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧BAC上一点，则圆周角∠BAC的度数为____．
50°
5．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5 cm，则BE＝_______．
10cm
(图4) (图5)
5．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5 cm，则BE＝_______．
10cm
课堂小结
圆周角定理及其推论
定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径
随堂检测
1.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40°
C.50° D.60°
A
B
A
C
O
166°
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC= 50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ______．
作业布置
学生用书对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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