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29.2 圆的有关性质
29.2.3 圆周角
人教版 九年级 数学（上）
第29章　圆
第2课时　圆内接四边形
新课导入
如图，在这个圆形人工湖边上造4个休息亭(即A，B，C，D)，用仪器测得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另两个角∠C和∠D的度数吗？需要哪些数据可以求该圆形人工湖的直径？
探究新知
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180 .
如何证明你的猜想呢？
思考
∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α，
同理，
证明:连接 OB，OD．
∴ ∠A+ ∠C= （ ∠α + ∠β ）=180
∴ ∠A= ∠β， ∠C = ∠α
又∵ ∠α+∠β=360
∴ ∠B+ ∠D=180
α β
圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形的对角互补.
归纳总结
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
思考
推论：
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
C
O
D
B
A
E
知识归纳
1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作______________，这个圆叫作这个多边形的__________．
2．圆内接四边形的对角________．
圆内接多边形
外接圆
互补
例 1
例题与练习
如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若BOD =100，求A和C的度数。
解：在⊙O中A与BOD所对的弧都是BD
︵
A=BOD== 50
又四边形ABCD是 ⊙O的内接四边形
C+A=0
C=0
例 2
在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数．
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°.
又∵∠B＋∠D＝180°，
∴∠D＝180°－36°＝144°.
例 3
如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC.
求证：DC平分∠BDE.
证明：∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDA＋∠ABC＝180°.
又∵∠3＋∠CDA＝180°，
又∵AC＝BC，
∴∠3＝∠ABC.
∴∠1＝∠ABC，
∴∠1＝∠3.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
即DC平分∠BDE.
1. 如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD把它的 4 个内角分成 8 个角，这些角中哪些相等？为什么？
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6，
∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
2. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，E 为 CB 延长线上一点. 若∠D = 110°，求∠ABE 的度数.
解： ∠ABE = 110°.
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AD.若C=78°，求ABD的度数.
解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形
C=110°（圆内接四边形的对角互补）
又 C=78°
=180°-78°=102°
△ABD 为等腰三角形，
BD=
△ABD
BD===39
答： BD的读数为39
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC等于 (　　)
A．45° B．50° 　C．60° 　D．75°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为____．
C
128°
6．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数．
解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，
∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＝180°－∠C＝50°.
课堂小结
圆内接
四边形
圆内接四边形的对角互补
随堂检测
1.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ，∠ADB= .
D
A
O
C
B
130°
50°
80°
2.如图，四边形 内接于⊙ ，∠ = °，则∠ 的度数为_______.
作业布置
学生用书对应课时练习．
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