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30.1 直线与圆
30.2 三角形的内切圆
人教版 九年级 数学（上）
第30章 直线与圆的位置关系
新课导入
同学们玩过悠悠球(如图①)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽象出什么样的数学图形？这些图形的位置关系是怎样的？
如图①
如图②
探究新知
思考：如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢
A
B
C
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
⊙O就是所求的圆.
O
D
．
o
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
A
B
C
内切圆
内心
外切三角形
→三角形角平分线的交点
到三角形三边的距离相等
↓
名称 外心 内心
图形
性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定在三角形内部
角度关系 ∠BOC=2∠A ∠BOC=90°+∠A
三角形外心、内心的区别：
知识归纳
1.与三角形各边都______的圆叫作三角形的内切圆．
2.三角形内切圆的圆心是三角形______________的交点，叫作三角形的______，它到三边的距离______．这个三角形叫作圆的外切三角形．
相切
三条角平分线
内心
相等
例 1
例题与练习
如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13，求 AF、BD、CE 的长.
AF = AE
BF = BD
CD = CE
☉O 为三角形内切圆
设未知数求解
解：
设 AF = x ，则 AE = x .
∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x，
BF = BD = AB - AF = 13 - x.
由 BD + CD = BC，可得
(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 ，BD = 9 ，CE = 5 .
解得 x = 4.
解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
总结
例 2
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角板与圆相
切且测得PA＝5 cm,求铁环的半径．
解：如图，对图形进行标注，连接OA，ON，OP.
在△OPA和△ONA中，OP＝ON，ON⊥AC，OP⊥PB，OA＝OA，
∴Rt△OAP≌Rt△OAN.
∴AP＝AN.
∵在Rt△ABC中，∠BCA＝30°，
∴∠CAB＝60°.
∵∠PAC＋∠CAB＝180°，
∴∠PAC＝120°.
∵∠OAP＝∠OAN，
∴∠OAP＝60°.
∵PA＝5 cm，
∴OP＝5 cm.
∴铁环半径为5 cm.
例 3
如图，PA，PB分别切⊙O于点
A，B，BC为⊙O的直径．
(1)求证：AC∥OP；
(2)若∠APB＝60°，BC＝8 cm，求AC的长．
A
B
O
C
P
解：(1)连接OA.∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PO平分∠APB.
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，
∴∠POA＝∠POB.
∵OA＝OC，
∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，
∴∠BOA＝2∠OCA.
∵∠BOA＝∠POA＋∠POB＝2∠POB，
∴∠POB＝∠OCA.
∴AC∥OP.
∴∠OAC＝∠OCA.
A
B
O
C
P
(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形，
∴∠PBA＝60°.
由(1)，得∠PBO＝90°，
∴∠ABO＝30°.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
∵BC＝8 cm，
∴AC＝4 cm.
1.如图，四边形 ABCD 的各边与⊙O 分别相切于点 E,F,G,H，求证：AB+DC=AD+BC。
证明：根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵ AB,AD 是从点 A 引的两条切线，
∵ BA,BC 是从点 B 引的两条切线，
∵ CB,CD 是从点 C 引的两条切线，
∵ DC,DA 是从点 D 引的两条切线，
因此：AB + DC = (AE + BE) + (DG + CG)
= (AH + BF) + (DH + CF)
= (AH + DH) + (BF + CF) = AD + BC
∴ CF=CG
∴ AE=AH
∴ BE=BF
∴ DG=DH
2.如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB= 75°，点 O 是△ABC 的内心，求∠BOC 的度数.
解：∵ O 是△ABC 的内心，
∴ BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB
∴ ∠OBC = ∠ABC = × 50° = 25°
∠OCB = ∠ACB = × 75° = 37.5°
在△BOC 中：∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB
= 180° - 25° - 37.5°
= 117.5°
答：∠BOC 的度数为 117.5°。
3.△ABC 的内切圆半径为 r，周长为 l，求△ABC的面积。(提示:设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC.)
解：设△ABC 的内心为 O，连接 OA, OB, OC。
∵内切圆与三边分别相切，圆心O到三边的距离均为半径 r。
S△ABC = S△OAB + S△OBC + S △OAC
= AB·r + BC·r + AC·r
答：△ABC 的面积为lr。
= lr
4．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是 (　　)
A．15° B．20°
C．25° D．30°
C
5．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心．若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为 (　　)
A．130° B．120° C．100° D．90°
A
6．如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F.
若△ABC的周长为20，
则AE＝____．
10
课堂小结
三角形内切圆
有关概念
应用
→内心概念及性质
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
→
随堂检测
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，
CA=13cm，则AF的长为( )
A.3cm B.4cm
C.5cm D.9cm
C
2. 如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为____.
11
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm.
3
作业布置
学生用书对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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