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30.1 直线与圆
30.1.2 圆的切线
人教版 九年级 数学（上）
第30章 直线与圆的位置关系
新课导入
在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是______、______、______.
相交
相切
相离
探究新知
如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A ，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？用什么方法证明呢？
证明：假设AO与l不垂直，过点 O 作 OP⊥ l ，垂足为 P；
理由：直径AO与直线l 要么垂直，要么不垂直.
∴ OP＜OA，
∴ l 与⊙O 相交，与已知条件相矛盾；
∴假设不成立，故 AO 与 l 垂直.
证法：反证法
切线的性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
几何符号表达：
l
.O
A
圆的切线和圆只有一个公共点.
圆心到切线的距离等于半径.
圆的切线垂直于过切点的半径.
经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
归纳总结
A
l
O
如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE = OD).
E
案例分析
证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE ⊥AC 于 E.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 D，
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分∠BAC.
∴ OE = OD.
∴ 点 O 到 AC 的距离等于⊙O 的半径.
∴ AC 是⊙O 的切线．
E
∴ OD⊥AB.
∵ OD 是⊙O 的半径，
有切线时常用辅助线添加方法：
见切点，连半径，得垂直.
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点 A 作直线 l⊥OA.
O
A
l
（1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
圆心O到直线l的距离d=半径r
（2）直线l和⊙O有什么位置关系？
相切
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
O
A
l
r
注
意
1.直线l 经过半径r的外端点A.
2.直线l 垂直于半径r.
判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线. （ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
×
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.
×
×
√
√
判一判
(1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？能画几条？
l
第一步：连接OA；
.O
.
A
能画 1 条。
第二步：过A点作OA的垂线l.即为圆的切线
(2)观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？
左图:直线l过半径的外端，但不与半径垂直，所以不是圆的切线。
右图:直线l与半径垂直，但不过半径的外端，所以也不是圆的切线。
切线判定的两个关键点要判定一条直线是圆的切线，必须同时满足以下两个条件:
1.直线经过半径的外端(与圆有公共点);
2.直线与这条半径垂直。
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆的相切.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
O
A
l
O
A
l
O
A
l
d
r
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切.
如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE ⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：
直线 DE 是⊙O 的切线.
练一练
证明：连接 OD.
∵AD 平分∠CAB，OA = OD，
∴∠ODA =∠OAD =∠DAC.
∴ OD∥AC.
又∵ DE⊥AC ，
∴∠ODF =∠AED = 90°，
即直线 DE 是⊙O 的切线.
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
O
P
A
B
发现：①PA=PB
②PO平分∠APB
探究
O
P
A
B
证明：如图，连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
请证明你所发现的结论.
证明：连接 OA、OB.
∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点.
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠OAP = ∠OBP = 90°.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△PAO≌Rt△PBO (HL).
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：△PAO≌△PBO，PA = PB，∠APO =∠BPO.
试用文字语言叙述你所发现的结论.
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言：
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
O
B
A
P
E
C
D
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
O
B
A
P
E
C
D
切线长定理运用的基本模型：
（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
O
B
A
P
切线的性质：
1.圆的切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于半径.
3.圆的切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
练一练
1.如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
A. B.2 C.2 D.3
B
2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长
(结果保留根号).
解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA⊥AB.
∵∠BAC = 30°，
∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.
又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C，
∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形.
∴∠P = 60°.
∴∠BAP = 90°.
(2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°.
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
∴ △PAC 为等边三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA =.
知识归纳
1.切线的性质：
(1)切线和圆只有____个公共点；
(2)切线到圆心的距离等于______；
(3)圆的切线________过切点的半径．
一
半径
垂直于
2.切线的判定定理：经过半径的____并且______这条半径的直线是圆的切线．
3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常是连接______和______，得到半径，那么半径________切线．
外端
垂直于
圆心
切点
垂直于
4.过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和______之间的线段长，叫作这点到圆的切线长．
5.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____，并且这一点和圆心的连线____两条切线的夹角．
切点
相等
平分
例 1
例题与练习
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
1
C
A
B
O
D
E
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E .
∴∠OEC=90°.
∵ AB是⊙O的切线,
∴∠ODB=90 ° =∠OEC.
∵AB=AC ,
∵O是BC的中点，
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE .
1
C
A
B
O
D
∴OD⊥AB.
∴OB=OC .
∴AC与⊙O相切.
∴∠B=∠C.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E .
∵ ⊙O与AB相切于E,
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线.
E
1
C
A
B
O
方法总结：
无交点，作垂直，证半径.
D
∴OD⊥AB.
例 2
如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
求证：直线PB与⊙O相切．
A
P
B
O
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA.
又∵点O在∠APB的平分线上，
∴OC＝OD.
∴直线PB与⊙O相切．
例 3
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
A
B
O
C
D
证明：连接OC.
∵⊙O和直线CD相切
∴AD∥OC.
∵AD⊥CD，
∴∠DAC＝∠CAO.
∴OC⊥CD.
∴∠ACO＝∠CAD.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC.
∴AC平分∠DAB.
1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB.
求证：AC是⊙O的切线.
证明：∵ AC=AB，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠CAB=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线
A
B
.
O
C
2. 如图, AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A,B是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.
解： l1 ∥ l2.
证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，
∴ AB⊥l1 ，
∴ l1∥l2.
A
B
.
O
l2
l1
∴ AB⊥l2，
3.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点，求证：AP＝BP.
O
A
B
P
证明：连接OP.
∵AB切⊙O于点P，
∴OP⊥AB.
∴AP=BP(垂径定理).
4．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是 (　　)
A．相离　　　　B．相切　　　　
C．相交　　　　D．不能确定
B
5．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于____时，AC才能成为⊙O的切线．
60°
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝____．
40°
课堂小结
切线的判定方法
定义法
数量关系
判定定理
→1个公共点
→d=r,相切
证切线常作辅助线：
有公共点，连半径，证垂直；
无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
→
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
→
→
有切线常作辅助线：
见切线，连切点，得垂直.
切线长定理
原理
作用
辅助线
→图形的轴对称性
→提供了证线段和角相等的新方法
①分别连接圆心和切线；
②连接两切点；
③连接圆心和圆外一点.
→
随堂检测
1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若∠BAC = 35°，则∠ACB 的大小是 ( )
A. 35° B. 45°
C. 55° D. 65°
C
2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13, AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 .
相切
3.如图，AB是⊙O的直径, AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线,交AC的延长线于点E. 求证：DE⊥AC.
证明：连接OD.
∴∠EAD=∠DAO.
∴∠DAO=∠ODA.
∴∠ODA=∠EAD.
又∵DE是⊙O的切线,
∴∠ODE=90°.
A
B
O
C
D
E
∵AD是∠BAC的平分线,
又∵OA=OD.
∴OD∥AC.
∴∠E=90°.即DE⊥AC.
作业布置
学生用书对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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