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30.3 正多边形与圆
人教版 九年级 数学（上）
第30章 直线与圆的位置关系
新课导入
前面我们学习了几种与圆有关的位置关系，同学们想一想是哪几种呢？
谁能说说正多边形的定义呢？你能举出一些这样的例子吗？
正多边形和圆有什么关系呢？
探究新知
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
思考
图形 名称 边的关系 角的关系
…… …… …… ……
四条边相等
三个角相等(60°)
三条边相等
四个角相等( 90°)
六条边相等
五个角相等(108°)
五条边相等
六个角相等(120°)
正三角形
正四角形
正五角形
正六角形
正多边形及有关概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形.
正多边形的概念：
矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
矩形
不符合各边相等
菱形
不符合各角相等
正方形
是正多边形
练一练
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
你还能找出哪些正多边形呢？
注意
3条
4条
5条
6条
正多边形都是 图形，一个正n边形共有___条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 .
边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心.
轴对称
n
中心
中心对称图形
有没有对称轴？
想一想
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？
弧相等
弦相等
圆周角相等
（多边形的边相等）
（多边形的角相等）
多边形是正多边形
如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴ 五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
我们以圆内接正五边形为例证明.
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴BCE=CDA=3AB
⌒
⌒
⌒
O
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。
解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形.
思考
1.下列说法正确的是（ ）
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
C
练一练
2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么对这个四边形描述最准确的是（ ）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.平行四边形
C
3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC= 36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形 AEBCD是正五边形.
证明：∵AB = AC，
∴∠ABC= ∠ACB.
又 ∵ ∠BAC= 36°，
∴∠ABC= ∠ACB= (180°-∠BAC )= 72°.
又 ∵ BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°.
∴
∴五边形AEBCD是正五边形.
证明一个多边形是正多边形的方法：
证明多边形的各角都相等，各边都相等.
证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等.
O
圆心
半径
圆心角
弦心距
弦
O
中心
半径
边心距
中心角
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
外接圆的半径
正多边形的每一条边所对的圆心角
弦心距
正多边形的中心
正多边形的半径
正多边形的中心角
正多边形的边心距
正n边形的一个内角的度数是________________；
中心角是___________；
正多边形的中心角与外角的
大小关系是________；
正多边形的中心角与内角的
大小关系是________.
相等
互补
想一想
有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
因此，亭子地基的周长l =4×6=24(m).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
O
与正多边形有关的计算
利用勾股定理，可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OPC中，OC=4，PC===2(m)
O
r==(m)
S=lr=
添加辅助线的方法：
连半径，得中心角；
作边心距，构造直角三角形
圆内接正多边形的辅助线
边心距r
半径R
中心角一半
边长一半
方法归纳
1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A.3 B.6
C.8 D.12
D
练一练
2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为_____________.
30°或150°
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周.
正多边形的画法
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边形？你是怎么画的？
操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正六边形。
动手操作
（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到圆的 6 个等分点；
O
60°
60°
F
60°
E
60°
D
60°
C
60°
A
B
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ；
（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
（2）用量角器画∠AOB＝＝60°，再用圆规依次截取，得到圆的 6 个等分点；
A
B
O
C
D
E
F
方法 2 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O；
（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
还有其他方法吗？
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．
A
B
O
C
D
E
F
　　方法 3 先作一个⊙O ，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．
你能用以上方法画出正三边形、正四边形、正五边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
·
90°
72°
120°
知识归纳
1．把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的正多边形就是这个圆的______________，这个圆叫作这个正多边形的________．
2．正多边形的_______________叫作正多边形的中心．
内接正多边形
外接圆
外接圆的圆心
3．______________叫作正多边形的半径．
4．正多边形每一边所对的_________叫作正多边形的中心角．
5．______到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距．
外接圆的半径
圆心角
中心
例 1
例题与练习
如图，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．依次连接ABCDE形成五边形．
问：五边形ABCDE是正五边形吗？
如果是，请证明你的结论．
解：五边形ABCDE是正五边形．证明如下：
在⊙O中，∵===，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3
∴∠A＝∠B；同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是正五边形．
例 2
已知正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积．
解：∵∠AOB＝360÷6＝60°，又OA＝OB，
∴△OBA是等边三角形．
∴AB＝OA＝R.
过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝R.
在Rt△OAM中，OM＝＝R.
∴S正六边形＝6S△OBA＝6×AB·OM＝3R·R＝R2.
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.
(1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆;
(2)用量角器画一个等于=72的圆心角,得到此角所对的弧;
(3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点;
(4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形;
(5)连接正五边形的各条对角线得到五角星.如上图所示:
.
O
2. 用等分圆周的方法画出下列图案:
3．正三角形的边心距、半径和高的比为 (　　)
A．1∶2∶　　　　
B．1∶∶3
C．1∶∶
D．1∶2∶3
D
4．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ cm，则它的中心角∠AOB＝____，边长AB＝____ cm，正六边形的面积S＝_____cm2.
60°
2
6
课堂小结
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
正多边形的
画法
随堂检测
1.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为2，则⊙O的半径是（ ）
A.1 B.2
C. D.2
C
2.如图，有一个边长为2 cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是___________ .
cm
作业布置
学生用书对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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