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(共36张PPT)
复习题25
复习巩固
1.解下列方程:
（1）64x2－1 = 0；
解：移项，得 64x = 1．
直接开平方，得 8x = ±1，x = ±．
∴原方程的解为 x1 = ，x2 = – ．
（2）4x2+12x+9 = 81；
解：原方程可化为 x + 3x – 18 = 0．
a = 1，b = 3，c = –18．
Δ = b – 4ac = 3 – 4×1×(–18) = 81 > 0．
∴ 原方程有两个不等的实数根 x = =，
即 x1 = –6，x2 = 3．
（3）x2－7x－1 = 0 ；
解：a = 1，b = –7，c = –1．
Δ = b – 4ac = (–7) – 4×1×(–1) = 53 >0．
∴ 原方程有两个不等的实数根 x = ，
即 x1 = ，x2 =．
（4）2x2+3x = 3；
解：移项，得 2x + 3x – 3 = 0．
a = 2，b = 3，b = –3．
Δ = b – 4ac = 3 – 4×2×(–3) = 33 > 0．
∴ 原方程有两个不等的实数根 x ==,
即 x1 = ，x2 = ．
（5）x2－2x + 1 = 25；
解：原方程可化为 x – 2x – 24 = 0．
因式分解，得 (x – 6)(x + 4) = 0．
∴ x – 6 = 0，或 x + 4 = 0．
∴ x1 = 6，x2 = –4．
（6）x(2x－5) = 4x －10；
解：原方程可化为 2x2 – 9x + 10 = 0．
∴ 2x – 5 = 0，或 x – 2 = 0．
∴ x1 = ，x2 = 2．
因式分解，得 (2x – 5)(x – 2) = 0．
（7）x2+5x +7 = 3x+11；
解：原方程可化为 x + 2x – 4 = 0．
a = 1，b = 2，c = –4．
Δ = b – 4ac = 2 – 4×1×( –4) = 20 > 0．
∴ 原方程有两个不等的实数根 x = =，
即 x1 = –1 + ，x2 = –1 – ．
（8）1－4x+16x2 = 2－4x.
解：原方程可化为 16x = 1．
直接开平方，得 4x = ±1，x = ±．
∴原方程的解为 x1 = ，x2 = – ．
两个数的和为 8，积为 9.75．求这两个数.
2.
解：设其中一个数为 x，根据题意，得
x(8 – x) = 9.75．
整理，得 x – 8x + 9.75 = 0．
解得 x1 = 6.5，x2 = 1.5．
8 – 6.5 = 1.5，8 – 1.5 = 6.5．
答：这两个数是 6.5 和 1.5．
3.一个菱形的两条对角线的长相差2，其面积为4，求两条对角线的长.
解:设较短对角线长为x,则较长对角线长为 x+2,
根据题意，得，
解得 x1 = ，x2 = –4（边长不能为负，舍去）．
因式分解，得 (x + 4)(x – 2) = 0．
x + 2x – 8 = 0．
x=2,
x+2=4 ．
答：两条对角线长分别为 2 和 4 .
4.求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）x2 – 5x – 10 = 0； （2）2x2 + 7x + 1 = 0；
解：设方程的两根分别为 x1，x2.
（1）x1 + x2 = 5，
（2）x1 + x2 = ，
x1 x2 = –10.
x1 x2 = .
（3）3x2 – 1 = 2x + 5； （4）x(x – 1) = 3x + 7．
（3）原方程即 3x – 2x – 6 = 0，
∴ x1 + x2= ，
（4）原方程即 x – 4x – 7=0，
∴ x1 + x2 = 4，
x1 x2 = –7.
x1 x2 = –2.
综合运用
5.已知关于x的方程2x2–(4k+1)x+2k2–1=0，当k为何值时，方程有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根？
解：a = 2，b = –(4k+1)，c = 2k2–1 ．
Δ = b – 4ac = [–(4k+1)] – 4×2×(2k2–1)
= 8k+9．
当Δ>0时，
8k+9>0，
k >，
所以当k >时，方程有两个不相等的实数根.
当Δ=0时，
8k+9=0，
k =，
所以当k =时，方程有两个相等的实数根.
当Δ<0时，
8k+9<0，
k <，
所以当k <时，方程没有实数根.
6. 一个直角梯形的下底比上底长 2 cm，高比上底短 1cm,面积是 8 cm2．画出这个梯形．
解：设梯形的上底长为 x cm ，
则下底长为 (x + 2) cm，高为 (x – 1) cm．
根据题意，得 [x + (x + 2)] (x – 1) = 8.
整理，得 x = 9．
解得 x1 = –3（不符合题意，舍去），x2 = 3.
∴ x + 2 = 5，x – 1 = 2.
画出这个梯形如图所示.
3 cm
2 cm
5 cm
7. 一个长方体的长与宽的比为 5∶2，高为 5 cm，表面积为 40 cm2．画出这个长方体的展开图．
解：设这个长方体的长为 5x cm，则宽为 2x cm．
根据题意，得 2(5x×2x + 5×5x + 5×2x) = 40，
即 2x2 + 7x – 4 = 0．
解得 x1 = –4（不合题意，舍去），x2 = 0.5．
∴这个长方体的长为 5×0.5 = 2.5（cm），
宽为 2×0.5 = 1（cm）.
画这个长方体的一个展开图如图所示.（注：展开图不唯一）
8.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
解：设应邀请 x 个球队参加比赛，
由题意可知，x(x – 1) = 15．
解得 x1 = –5（不符合题意，舍去），x2 = 6.
答：应邀请 6 个球队参加比赛．
9.如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用20m长的篱笆围成一个面积为48m2的矩形菜园？
解：设与墙垂直的一边篱笆长为 x m，
则与墙平行的篱笆 为 (20 – 2x) m．
根据题意，得 x(20 – 2x) = 48．
整理，得 x – 10x + 24 = 0，
∴ x – 4 = 0，或 x – 6= 0．
解得， x1 = ，x2 = 6．
因式分解，得 (x – 4)(x – 6) = 0．
当x=4时，
平行于墙的边长：20 2×4=12m .
当x=6时，
平行于墙的边长：20 2×6=8m .
所以有两种围法：
垂直于墙的边长为 4m，平行于墙的边长为 12m；
垂直于墙的边长为 6m，平行于墙的边长为 8m。
10. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利润由 1.75% 降至 1.50%，平均每次降息的百分率是多少(结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位)？
解：设平均每次降息的百分率为 x .
根据题意，得 1.75%(1 x)2 =1.50%
即(1 x)2 = ，
1 x = 0.9258 ，
所以 x 1 0.9258 0.0742 .
答：平均每次降息的百分率约为 7.42% .
11. 绿水村2020年的人均收入为18000元，2022年的人均收入为21000元，求人均收入的年平均增长率（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）.
解：设人均收入的年平均增长率为 x .
根据题意，得 18000(1+x)2 =21000
即(1+x)2 = ，
1+x = 1.0801，
所以 x 1.0801 1 0.0801 .
答：人均收入的年平均增长率约为 8.01% .
拓广探索
12.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆.上一束，底宽八束，问共几束.
（l）你能解决这个问题吗？
解：根据题意可知，
这是连续自然数相加：1+2+3+ +8
等差数列求和公式
因为 n=8, =1, =8 ,
所以 S = 36 .
答：一共有 36 束。
（2）如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束....你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：1+2+3+···+(n-2)+(n-1)+n+.）
解：根据题意可知， = 300 .
方程可化为 n + n – 600 = 0．
a = 1，b = 1，c = –600．
Δ = b – 4ac = 1 – 4×1×( –600) = 2401 ．
所以 n = = ，
因为n 取正值，
所以n = =24 .
验证: = = 300 .
答：从上往下数前 24 行的束数和是 300 .
13.一个小球以 5 m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4 s 后小球停止滚动.
（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（2）小球滚动 5 m 用了多少秒（结果保留小数点后一位）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度 （初速度与末速度的算术平均数）与路程 l，时间 t 的关系为 l = t.）
解：（1）5÷4 = 1.25（m/s）．
答：小球的滚动速度平均每秒减少 1.25 m/s．
（2）设小球滚动 5 m 用了 x s，
则有 = 5，
解得 x1 = 4 + 2（舍去），x2 = 4 – 2≈ 1.2 .
答：小球滚动 5 m 约用了 1.2 s．
即 x – 8x + 8 = 0．
作业布置
完成对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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