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2024-2025学年上海市金山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8题，每题3分，满分24分）
1．下列数值中，是不等式的解的是（　　）
A． B． C．3 D．
2．不等式解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在△中，若，则△是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
4．下列有关不等式的解法中，错误的是（　　）
A．，两边同加2，得
B．，两边同减6，得
C．，两边同乘，得
D．，两边同除以，得
5．小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，有一个圆锥形冰激凌，其底面直径为，高为．那么这个圆锥形冰激凌的体积是（　　）
A． B． C． D．
7．下列说法中，错误的是（　　）
A．两个全等的三角形面积相等
B．成轴对称的两个三角形全等
C．成中心对称的两个三角形全等
D．两个等边三角形全等
8．有下列两个命题：①如果，那么；②两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等．对于这两个命题判断正确的是（　　）
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
9．用适当的不等式表示“大于”为　　 ．
10．如图，一个弯曲管道，，则的度数是 　　．
11．在△中，若，，则　　 ．
12．将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果，那么”的形式是 　　 ．
13．已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是　　．
14．如图，已知：直线，平分，，则 　　 ．
15．小海的圆柱形水壶有一个布套（如图，含侧面和两个底面），其底面直径为，母线长为．他做这个布套至少用的布料为 　　（结果保留．
16．给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件 　　 作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）．
17．如图，在△中，点、分别在边、上，，．．若△△，则△的周长为 　　．
18．在△中，，，点在边上且，连接，点在线段上（不与点、重合），直线过点，将△沿着直线翻折（点关于直线的对称点为点．若点在过点且与平行的直线上，那么的度数为 　　．
三、解答题（本大题共8题，满分46分）
19．解不等式组．
20．如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整．
解：如图，将与相邻的补角记为．
，，
．
　　 ．
，
　　 　　 　　 ．
　　 ．
，
　　 ．
21．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求证：．
22．如图，在△中，的垂直平分线与交于点．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？
23．如图，已知：在△中，点、分别在边、上，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点，求证：．
24．某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本18.3等边三角形开展了深入探究．
问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图1，已知：在△中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，
其中和是类似的，故只要分两种情况讨论．
①当时，那么可以证明△是等边三角形：
②当时，那么可以证明△是等边三角形．
（1）请写出情况①的证明过程；
问题探究：于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于，替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在△中，，，，垂足分别为点、，且，求证：△是等边三角形．
（2）请写出证明过程；
问题拓展：由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边（底边或腰）上的高”“一边（底边或腰）上的中线”或“一角（顶角或底角）的角平分线”中的两个条件，加以组合（也就是形成一组须同时满足的关系），使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形．
小海 欢欢 乐乐
已知：在△中，，中线中线．求证：△是等边三角形． 已知：在△中，，角平分线高．求证：△是等边三角形． 已知：在△中，，角平分线角平分线．求证：△是等边三角形．
（3）你认为 　　 （填小海、欢欢、乐乐其中一个）的探究是正确的，并写出该证明过程．
25．设平面上的三个点、、．需确定点的位置，使最小．
当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类；
△有一个内角大于或等于和△ 的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明．
下面来探究当点、、不共线时的情况：
（1）如图1，已知：在△中，时，　　 为所求费马点．
（2）如图2，已知：在△中，最大角时，
我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以△的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由：
②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接，
求证：．
参考答案
一、选择题（共8题，每题3分，满分24分）
1．下列数值中，是不等式的解的是（　　）
A． B． C．3 D．
解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
所以，是不等式的解集的是．
故选：．
2．不等式解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：不等式的解集在数轴上的表示为：
故选：．
3．在△中，若，则△是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
解：在△中，，则△是钝角三角形．
故选：．
4．下列有关不等式的解法中，错误的是（　　）
A．，两边同加2，得
B．，两边同减6，得
C．，两边同乘，得
D．，两边同除以，得
解：、，两边同加2，得，正确，不符合题意；
、，两边同减6，得，正确，不符合题意；
、，两边同乘，得，故错误，符合题意；
、，两边同除以，得，正确，不符合题意；
故选：．
5．小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
解：如图：
直尺的两边平行，，
，
，
，
．
故选：．
6．如图，有一个圆锥形冰激凌，其底面直径为，高为．那么这个圆锥形冰激凌的体积是（　　）
A． B． C． D．
解：由圆锥体积的计算方法可得，这个圆锥形冰激凌的体积是，
故选：．
7．下列说法中，错误的是（　　）
A．两个全等的三角形面积相等
B．成轴对称的两个三角形全等
C．成中心对称的两个三角形全等
D．两个等边三角形全等
解：．两个全等的三角形面积相等，说法正确，故此选项不符合题意；
．成轴对称的两个三角形全等，说法正确，故此选项不符合题意；
．成中心对称的两个三角形全等，说法正确，故此选项不符合题意；
．两个等边三角形不一定全等，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：．
8．有下列两个命题：①如果，那么；②两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等．对于这两个命题判断正确的是（　　）
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
解：①如果，那么，故①是假命题；
②如图，，，平分，平分，，
平分，平分，
，，
，
，，
△△，
，
，，
△△，
②是真命题，
故选：．
二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
9．用适当的不等式表示“大于”为　　 ．
解：根据题意得，
故答案为：．
10．如图，一个弯曲管道，，则的度数是 　60　 ．
解：，
，
，
．
故答案为：60．
11．在△中，若，，则　40　 ．
解：在△中，，，
，
．
故答案为：40．
12．将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果，那么”的形式是 　在一个三角形中，如果一条边大于另一条边，那么这条边所对的角大于另一条边所对的角　 ．
解：命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果，那么”的形式是：在一个三角形中，如果一条边大于另一条边，那么这条边所对的角大于另一条边所对的角．
故答案为：在一个三角形中，如果一条边大于另一条边，那么这条边所对的角大于另一条边所对的角．
13．已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是　2　 ．
解：等腰三角形的两边分别是和，
应分为两种情况：①2为底，4为腰，则；
②4为底，2为腰，则构不成三角形；
它的底边长是．
故答案为：2．
14．如图，已知：直线，平分，，则 　100　 ．
解：，，
，
平分，
，
，
．
故答案为：100．
15．小海的圆柱形水壶有一个布套（如图，含侧面和两个底面），其底面直径为，母线长为．他做这个布套至少用的布料为 　　 （结果保留．
解：，
他做这个布套至少用的布料为．
故答案为：．
16．给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件 　（答案不唯一）　 作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）．
解：，
．
故答案为：（答案不唯一）．
17．如图，在△中，点、分别在边、上，，．．若△△，则△的周长为 　7　 ．
解：△△，
，，
，
△的周长．
故答案为：7．
18．在△中，，，点在边上且，连接，点在线段上（不与点、重合），直线过点，将△沿着直线翻折（点关于直线的对称点为点．若点在过点且与平行的直线上，那么的度数为 　120　 ．
解：如图：
在△中，，，
，
，
△为等边三角形，
，
△沿着直线翻折，
，
，
，
△ 为等边三角形，，
，
故答案为：120．
三、解答题（本大题共8题，满分46分）
19．解不等式组．
解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为：．
20．如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整．
解：如图，将与相邻的补角记为．
，，
．
　同位角相等，两直线平行　．
，
　　 　　 　　 ．
　　 ．
，
　　 ．
解：如图，将与相邻的补角记为．
，
．
（同位角相等，两直线平行）．
，
（平行于同一直线的两条直线互相平行）
（两直线平行，同位角相等）
．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；120．
21．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求证：．
【解答】证明：（1），
，
，
在△和△中，
，
△△；
（2），
由（1）可知：△△，
，
在△中，，
，
，
．
22．如图，在△中，的垂直平分线与交于点．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？
解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点，
则点即为所求．
（2）的垂直平分线与交于点，
，
．
，
．
与的度数之比为，
，
．
答：的度数是．
23．如图，已知：在△中，点、分别在边、上，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点，求证：．
【解答】证明：（1）点、分别在边、上，与相交于点，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
．
（2）连接并延长交于点，
，，
，
，
由（1）得△△，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，平分，
．
24．某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本18.3等边三角形开展了深入探究．
问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图1，已知：在△中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，
其中和是类似的，故只要分两种情况讨论．
①当时，那么可以证明△是等边三角形：
②当时，那么可以证明△是等边三角形．
（1）请写出情况①的证明过程；
问题探究：于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于，替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在△中，，，，垂足分别为点、，且，求证：△是等边三角形．
（2）请写出证明过程；
问题拓展：由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边（底边或腰）上的高”“一边（底边或腰）上的中线”或“一角（顶角或底角）的角平分线”中的两个条件，加以组合（也就是形成一组须同时满足的关系），使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形．
小海 欢欢 乐乐
已知：在△中，，中线中线．求证：△是等边三角形． 已知：在△中，，角平分线高．求证：△是等边三角形． 已知：在△中，，角平分线角平分线．求证：△是等边三角形．
（3）你认为 　欢欢　 （填小海、欢欢、乐乐其中一个）的探究是正确的，并写出该证明过程．
【解答】证明：（1）如图1，
，
，
，
，
，
，
，
△是等边三角形；
（2）如图2，，，
，
，
，
，
，
△是等边三角形；
（3）我认为欢欢的探究是正确的，理由如下：
欢欢：如图4，，平分，
，
，
由（2）同理得：△是等边三角形；
故答案为：欢欢．
25．设平面上的三个点、、．需确定点的位置，使最小．
当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类；
△有一个内角大于或等于和△ 的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明．
下面来探究当点、、不共线时的情况：
（1）如图1，已知：在△中，时，　　 为所求费马点．
（2）如图2，已知：在△中，最大角时，
我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以△的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由：
②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接，
求证：．
【解答】（1）解：将△绕点顺时针旋转得到△，
，
△是等边三角形，
，
，
，
点，，三点共线，
最短，
点为所求费马点；
故答案为：；
（2）①解：，
理由：△与△是等边三角形，
，，，
，
△△，
；
②证明：设与交于，
△△，
，
，
，
，，
在上截取，
△是等边三角形，
，，
，
，
△△，
，
，
．

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