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2024-2025学年上海市长宁区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2、3、5 B．3、5、9 C．3、6、9 D．3、7、9
2．一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的高的3倍，如果圆锥的体积是，那么圆柱的体积是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．在△中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
5．下列命题中，真命题是（　　）
A．两个等边三角形全等
B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．成轴对称的两个三角形全等
6．如图，△和△均为等边三角形，且点、、在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．△是等边三角形
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 　　．
8．如果△△，△△，那么△△的推理依据是 　　 ．
9．桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 　 　性．
10．如图，直线、的夹角的度数是 　　 ．
11．判断命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是 　　 ．
12．已知三角形三个外角度数的比是，那么这个三角形最大的内角的度数是　　．
13．一个圆柱的底面直径为，高为，则这个圆柱的侧面积是　 　（结果保留．
14．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 　　．
15．如图，已知，，与交于点，，那么的度数是 　　 ．
16．如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明△△，可以添加的条件是 　　 ．（只需写出一种情况）
17．如图，已知点、、在△外部，，，图中与线段一定相等的线段是 　　 ．
18．如图，已知△中，，，点在边上，将△沿直线翻折得到△，如果直线与△的一条边垂直，那么的度数是　　 ．
三、解答题（本大题共7题，满分52分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．求不等式组的解集并写出最小整数解．
20．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题．
21．如图，已知：与相交于点，，，求证：．
把以下证明过程补充完整．
证明：在△中，
，
　　 　　 　　 ．
　　 ．
　　 　　 ．
，
　　 　　 ．
　　 ．
22．如图，已知：在△中，是△的角平分线，垂直平分分别交、于点、，连接．
（1）如果，求的度数；
（2）过点作交边于点，如果，，求△的周长．
23．如图，已知：在△中，平分交于点，，点是上一点，连接并延长使得，连接．求证：．
证明：
又
．
平分，
．
在△和△中，
，
△△．
（请完成后面的证明过程）
24．已知线段、，，，且与不平行．
（1）请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得，；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意．
25．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在△中，，点在边上．
（1）如图1，如果，求证：是△的“等角分割线”；
（2）如图2，如果，且是△的“等角分割线”，求的度数；
（3）是△的“等角分割线”， 的平分线交于点．如果，那么的度数为 　　 ．
参考答案
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.
1．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2、3、5 B．3、5、9 C．3、6、9 D．3、7、9
解：、，
长度为2、3、5的三条线段，不能组成三角形，不符合题意；
、，
长度为3、5、9的三条线段，不能组成三角形，不符合题意；
、，
长度为3、6、9的三条线段，不能组成三角形，不符合题意；
、，
长度为3、7、9的三条线段，能组成三角形，符合题意；
故选：．
2．一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的高的3倍，如果圆锥的体积是，那么圆柱的体积是（　　）
A． B． C． D．
解：设圆柱和圆锥的底面半径是，圆柱的高是，则圆锥的高是，
圆柱的体积，
圆锥的体积，
圆柱的体积是．
故选：．
3．已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
解：已知，
两边同时加上1得，则不符合题意，
两边同时乘以3得，则不符合题意，
两边同时乘以再同时加上1得，则符合题意，
两边同时乘以得，则不符合题意，
故选：．
4．在△中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
解：在△中，，且是的5倍，
，
，
，
△是直角三角形．
故选：．
5．下列命题中，真命题是（　　）
A．两个等边三角形全等
B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．成轴对称的两个三角形全等
解：、两个等边三角形相似但不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、腰长相等的两个等腰三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、成轴对称的两个三角形全等，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
6．如图，△和△均为等边三角形，且点、、在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．△是等边三角形
解：△和△均为等边三角形，点、、在同一直线上，
，，，
，
，，
在△和△中，
，
△△，
，，
故不符合题意；
，
，
故不符合题意；
假设成立，则，
，
，与已知条件不符合，
不一定成立，
故符合题意；
在△和△中，
，
△△，
，
，
△是等边三角形，
故不符合题意，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 　两直线平行，同旁内角互补　．
解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补．
8．如果△△，△△，那么△△的推理依据是 　或或或　 ．
解：△△，
，，，，，，
△△，
，，，，，，
，，，，，，
△△或或或．
故答案为：或或或．
9．桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 　稳定　性．
解：桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的稳定性．
故答案为：稳定．
10．如图，直线、的夹角的度数是 　　 ．
解：直线、的夹角的度数是，
故答案为：．
11．判断命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是 　，（答案不唯一）　 ．
解：当，时，，而，
则命题“如果，那么”是假命题，
故答案为：，（答案不唯一）．
12．已知三角形三个外角度数的比是，那么这个三角形最大的内角的度数是　　．
解：设最小的一个是，则另外两个角的度数是，．
根据三角形的外角和是360度，可得：，
解得：．
三角形的三个外角分别是，和，
相应地，三个内角度数分别是，和．
则这个三角形最大的内角的度数是．
13．一个圆柱的底面直径为，高为，则这个圆柱的侧面积是　　（结果保留．
解：一个圆柱的底面直径为，高为，
这个圆柱的侧面积是：．
故答案为：．
14．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 　120　．
解：圆锥的底面半径为，
底面周长为：，
，
解得：，
故答案为：120．
15．如图，已知，，与交于点，，那么的度数是 　　 ．
解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明△△，可以添加的条件是 　（答案不唯一）　 ．（只需写出一种情况）
【解答】证明：在△和△中，
，
△△，
要运用“”来证明△△，可以添加的条件是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
17．如图，已知点、、在△外部，，，图中与线段一定相等的线段是 　　 ．
解：，，，
△△，
（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：．
18．如图，已知△中，，，点在边上，将△沿直线翻折得到△，如果直线与△的一条边垂直，那么的度数是　或　 ．
解：①如图1，当时，
，，
，，
，
，
由折叠的性质得：，，
；
②如图2，当时，
，
由折叠的性质得：，
；
③如图3，当时，
，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，不符合题意，舍去；
综上，的度数是或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，满分52分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．求不等式组的解集并写出最小整数解．
解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为：，
则不等式组的最小整数解为3．
20．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题．
解：设小明要答对道题，则答错道题，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为15．
答：小明至少要答对15道题．
21．如图，已知：与相交于点，，，求证：．
把以下证明过程补充完整．
证明：在△中，
，
　　 　　 　　 ．
　　 ．
　　 　　 ．
，
　　 　　 ．
　　 ．
【解答】证明：在△中，
，
（在三角形中，大边对大角），
（对顶角相等），
，
，
，
（在三角形中，大角对大边），
故答案为：；；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；，；在三角形中，大角对大边．
22．如图，已知：在△中，是△的角平分线，垂直平分分别交、于点、，连接．
（1）如果，求的度数；
（2）过点作交边于点，如果，，求△的周长．
解：（1）是△的角平分线，，
，
垂直平分，
，，
，
；
（2），
，
，
，
，
△的周长．
23．如图，已知：在△中，平分交于点，，点是上一点，连接并延长使得，连接．求证：．
证明：
又
．
平分，
．
在△和△中，
，
△△．
（请完成后面的证明过程）
【解答】证明：
又
．
平分，
．
在△和△中，
，
△△，
，
在△和△中，
，
△△，
，
．
24．已知线段、，，，且与不平行．
（1）请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得，；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意．
解：（1）如图，射线即为所求；
（2）图形如图所示：
（3）理由：在△和△中，
，
△△，
，，
，
．
25．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在△中，，点在边上．
（1）如图1，如果，求证：是△的“等角分割线”；
（2）如图2，如果，且是△的“等角分割线”，求的度数；
（3）是△的“等角分割线”， 的平分线交于点．如果，那么的度数为 　或　 ．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，，
，
，
是△的“等角分割线”；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，，
，，
是△的“等角分割线”，
①，，
解得：；
②，，
解得：（舍去），
综上：；
（3）解：记的平分线与交于点，
①当时，
，平分，
，，（等腰三角形三线合一），
设，则
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
②当时，
平分，
（角平分线的定义），
设，则，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
解得：，
，
综上：的度数为或，
故答案为：或．

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