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2025-2026学年上海市青浦区东方中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．已知，下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（　　）
A．垂线段相等
B．两点确定一条直线
C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条
D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
3．如图，在下列条件中，不能说明的是（　　）
A． B． C． D．
4．用下列长度的三根木条首尾顺次联结，不能做成三角形框架的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，．
5．作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明，需要证明△△，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，△和△均为等边三角形，且点、、在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．△是等边三角形
二、填空题（共12小题，每题2分，满分24分）
7．用不等式表示“7与的积减16的差是负数”是 　　 ．
8．不等式的解集为　 　．
9．命题“对顶角相等”的逆命题是 　　 ．
10．在△中，若，，则　　 ．
11．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 　　 ．
12．在△中，，，为的中点，则边上的中线的取值范围是　　 ．
13．若线段是等边△的中线，则的度数是 　　 ．
14．如图，一束平行光线照射在等边△上，如果，那么　　 ．
15．如图，在的正方形网格中，则　　 ．
16．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是 　　．
17．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△是“准直角三角形”，且，，则的度数为　　 ．
18．如图，在△中，，，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　　 时，△与△全等．
三、解答题【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．解不等式．
20．利用数轴确定不等式组的整数解．
21．如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整．
解：如图，将与相邻的补角记为．
，，
．
　　 ．
，
　　 　　 　　 ．
　　 ．
，
　　 ．
22．如图，四边形中，，，．
（1）求证：△△；
（2）求证：．
23．如图，在△中，的垂直平分线与交于点．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？
24．如图，已知：在△中，点、分别在边、上，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点，求证：．
25．已知：在△中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、．
（1）如图（1），如果，证明：．
（2）如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：．
26．在△中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作△，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 　　度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
参考答案
一、选择题（本大题共有6题，每题3分，满分18分）
1．已知，下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：．原式变为，故错误，不符合题意．
．原式变为，故错误，不符合题意．
．原式变为，故错误，不符合题意．
．原式变为，故正确，符合题意．
故选：．
2．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（　　）
A．垂线段相等
B．两点确定一条直线
C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条
D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
解：直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，
直线与直线重合，
故选：．
3．如图，在下列条件中，不能说明的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，
（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
、，
（内错角相等，两直线平行），故本选不项符合题意；
、，
（同位角相等，两直线平行），不能判定，故本选项符合题意；
、，
（同旁内角互补，两直线平行），故本选不项符合题意；
故选：．
4．用下列长度的三根木条首尾顺次联结，不能做成三角形框架的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，．
解：、，能构成三角形，故此选项不符合题意；
、，不能构成三角形，故此选项符合题意；
、，能构成三角形，故此选项不符合题意；
、，能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
5．作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明，需要证明△△，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
解：如图，在△与△中，
，
△△，
，
故选：．
6．如图，△和△均为等边三角形，且点、、在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．△是等边三角形
解：△和△均为等边三角形，点、、在同一直线上，
，，，
，
，，
在△和△中，
，
△△，
，，
故不符合题意；
，
，
故不符合题意；
假设成立，则，
，
，与已知条件不符合，
不一定成立，
故符合题意；
在△和△中，
，
△△，
，
，
△是等边三角形，
故不符合题意，
故选：．
二、填空题（共12小题，每题2分，满分24分）
7．用不等式表示“7与的积减16的差是负数”是 　　 ．
解：用不等式表示“7与的积减16的差是负数”是，
故答案为：．
8．不等式的解集为　　．
解：，
，
，即．
故答案为：．
9．命题“对顶角相等”的逆命题是 　相等的角为对顶角　 ．
解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
10．在△中，若，，则 ．
解：，
而，，
，
解得．
故答案为：．
11．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为时，则另一腰也为，
底边为，
，
边长分别为3，3，7不能构成三角形；
（2）当底边长为时，腰的长，
，
边长为3，4.5，4.5，能构成三角形，
则该等腰三角形的一腰长是．
故答案为：．
12．在△中，，，为的中点，则边上的中线的取值范围是 ．
解：如图，延长至，使，连接，
在△和△中，
，
△△，
，
在△中，，即，
，
故答案为：．
13．若线段是等边△的中线，则的度数是 ．
解：△是等边三角形，
，
线段是等边△的中线，
根据等边三角形“三线合一”的性质得：是的平分线，
．
故答案为：．
14．如图，一束平行光线照射在等边△上，如果，那么　85　 ．
解：如图所示：
△是等边三角形，
，
，
，
光线，
．
故答案为：．
15．如图，在的正方形网格中，则　180　 ．
解：和所在的三角形全等，
，
和所在的三角形全等，
，
十．
故答案为：180．
16．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是 　6　．
解：延长交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
．
故答案为：6．
17．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△是“准直角三角形”，且，，则的度数为　或　 ．
解：△是“准直角三角形”，
或，
当，
而，
，
，
，
当，
，
，
，
解得，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
18．如图，在△中，，，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　2或或12　 时，△与△全等．
解：①如图1，点在上，点在上时，
由题意得，，，
，，
，，
，，
，
，
，
当△△时，
则，
即，
解得：；
②如图2，当点与点重合时，
，，
，，
，，
当△△，
则，
，
；
③如图3，当点与重合时，
，，
，，
，
，
当△△，
则，
即，
；
故答案为：2或或12．
三、解答题【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．解不等式．
解：，
，
，
，
，
则．
20．利用数轴确定不等式组的整数解．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集为，
则其整数解为、、、0．
21．如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整．
解：如图，将与相邻的补角记为．
，，
．
　同位角相等，两直线平行　．
，
　　 　　 　　 ．
　　 ．
，
　　 ．
解：如图，将与相邻的补角记为．
，
．
（同位角相等，两直线平行）．
，
（平行于同一直线的两条直线互相平行）
（两直线平行，同位角相等）
．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；120．
22．如图，四边形中，，，．
（1）求证：△△；
（2）求证：．
【解答】证明：（1），
，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）由（1）可知：△△，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
．
23．如图，在△中，的垂直平分线与交于点．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？
解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点，
则点即为所求．
（2）的垂直平分线与交于点，
，
．
，
．
与的度数之比为，
，
．
答：的度数是．
24．如图，已知：在△中，点、分别在边、上，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）连接并延长交于点，求证：．
【解答】证明：（1）点、分别在边、上，与相交于点，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
．
（2）连接并延长交于点，
，，
，
，
由（1）得△△，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，平分，
．
25．已知：在△中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、．
（1）如图（1），如果，证明：．
（2）如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：．
【解答】证明：（1），是的中点，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2），
，
，，
△△，
，，
，
，
，
，
△是等边三角形，
，，
，
，
，，
△△，
，
．
26．在△中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作△，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 　90　度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
解：（1）90．
理由：，
．
即．
在△与△中，
△△，
．
，
，
又
；
故答案为：90．
（2）①，
理由：，
．
即．
在△与△中，
△△，
．
．
，
，
；
②当点在射线上时，；
理由：，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
；
当点在射线的反向延长线上时，．
理由：，
，
在△和△中，
△△，
，
，，
，
即．

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