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北京市第八十中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测
数学试题
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.下列求导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球有白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为( )
A. ，，，，， B. ，，，，，，
C. ，，，，， D. ，，，，，，，
4.甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有( )
A. B. C. D.
5.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用局胜制先胜局者获胜，比赛结束，已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
9.在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则( )维“立方体”的顶点有个；；；．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
10.已知随机变量服从两点分布，且，则 ， ．
11.书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的文艺书，第层放有本不同的体育书从书架的第层，第层，第层各取本书，共有不同的取法种数为 ．
12.已知，则 ．
13.端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽某礼盒中有盒粽子，其中盒是豆沙粽，盒是鲜肉粽，从中任取盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则 ．
14.已知函数，则下列说法正确的是 ．
若，则在单调递减，在单调递增
若，则
若，则存在一个极值点
若，则恒成立
三、解答题：本题共4小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
求的极大值．
16.本小题分
教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足小时的学生视为“运动不达标”现随机抽取名学生的问卷，获得数据如下表：
男生人 女生人 合计人
运动达标
运动不达标
合计
用频率估计概率．
从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；
从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望；
从该校随机抽取名学生，记其中“运动达标”的人数为求使概率取得最大值时的的值．直接写出结论
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为的菱形．
求椭圆的标准方程；
已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点均不与点重合，且满足直线与直线的斜率之积为求证：直线过定点．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点．
求证：点在轴的下方；
设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
的定义域为，．
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
若，则当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
若，则恒成立，所以在上单调递增．
若，则当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
由得当或时，无极大值．
当时，在处取极大值，极大值为．
当时，在处取极大值，极大值为．

16.解：设“从抽取问卷的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件，
由表可知男生共人，运动不达标的人，
，
这两人均为“运动不达标”的概率为．
由表可知，从男生中抽取一人“运动达标”的概率为，
从女生中抽取一人“运动达标”的概率为，
随机变量的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望．
由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为，
服从二项分布，
则要使得使概率取得最大值需且，
则且，
解得，
为整数，所以，
使概率取得最大值时的值为．

17. 由题意可知：，直线的斜率存在，
设直线：，，，
联立方程，可得，
则，可得，
则，，
因为，
可得，
即，
可得，得或，
若，则直线：过定点，符合题意；若，则直线：过定点，不合题意；即直线过定点
18.解：定义域为，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
对于：在点处，切线方程为，
令得，即，
令，则，
当时，，单调递减，所以；
当时，，单调递增，所以
故，即，点在轴下方．
对于：切线与轴交于点，令，得
即．
在处切线斜率为，切线方程为，
令，得，即，
因为，所以，所以
因为，
令，则，
令，则，
当时，，在单调递增，所以，
即，所以在单调递增，所以，即，
又时，，所以，即，所以．

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