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安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测
数学试题（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是
A. 直四棱柱是长方体
B. 五棱锥是六面体
C. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角所对的边分别为，若，则的形状是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
5.在正三角形中，分别为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，构成三棱锥如图所示，则异面直线所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
6.飞行器飞行中的地速是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速向量加减风速向量得出，其中顺风为加，逆风为减已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示单位：，则飞行器在该时刻的地速大小为( )
A. B. C. D.
7.在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8.在中，是边上一点，且平分，若是的外心，且，则边的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A.
B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D.
10.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若是异面直线，且，则
11.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 角的最大值为
C. 若是锐角三角形，且，则是等边三角形
D. 若是钝角三角形，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
13.若复数满足，则的取值范围是 ．
14.在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则平面截正方体所得截面的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，复数，且为纯虚数．
求的值；
若，求．
16.本小题分
如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．

求证：平面；
求证：平面．
17.本小题分
已知非零向量满足，且．
求的值；
证明：；
设与的夹角为，求及的值．
18.本小题分
在中，角所对的边分别为，且．
求证：；
若的面积为，求；
若是边不含端点上的动点，且，求的面积的最小值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，平面平面，点分别是的中点．
求证：平面平面；
求三棱锥外接球的表面积；
设与平面所成角为，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为复数为纯虚数，所以
解得．
由得，
所以，
所以．

16.解：如图，连接，交于点，连接．

在长方体中，四边形是矩形，
因为对角线与交于点，所以为的中点，
又点是棱的中点，所以，
又平面平面，所以平面．
连接．
在长方体中，四边形是矩形，所以，
因为点分别是棱的中点，，
所以，所以四边形是正方形，．
在长方体中，平面，
又平面，所以．
因为平面，
所以平面．

17.解：因为，
所以，故．
又，所以．
证明：因为，所以，又，所以，
所以，所以
因为，
所以．
因为，又，
所以．

18.解：证明：由及正弦定理，得，
所以．
因为，所以，
所以或，解得或舍．
因为，
所以，
又，所以，即．
因为，所以．
因为，
所以的面积，解得．
由，得，即，
又，所以．
不妨设在线段上，设，则．
在中，，所以，
即．
在中，，
所以，
即．
所以的面积．
令，
因为，所以，
所以当时，取到最大值，
所以，
即的面积的最小值为．

19.解：证明：因为底面是边长为的菱形，且，
所以是等边三角形，，
因为点是的中点，所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
因为为直角三角形，平面平面，所以三棱锥的外接球球心一定在平面内，且为的外心．
因为底面是边长为的菱形，且，所以是等边三角形，，
由正弦定理，得为的外接圆半径，
解得，即三棱锥的外接球半径为．
所以三棱锥外接球的表面积为．
取的中点，作，垂足为，连接．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，为与平面所成的角，．
若在线段不含端点上，如图，设，
因为为的中点，所以，
因为分别是的中点，所以，
又，所以，由余弦定理，得
所以．
令，由，得，
所以，
当且仅当，即时取“”
又，所以的取值范围为．
若在线段上不含端点，如图，设，
因为，所以，
又，所以，
由余弦定理，得，
所以．
令，由，得，
所以．
令，任取，
则，
因为，所以，故，即，
所以在上单调递增，且，所以的取值范围为．
若与重合，则．
综上所述，的取值范围为．

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