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浙江省桐浦富兴教研联盟2025-2026学年高二下学期5月调研测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据、、、、、的中位数为( )
A. B. C. D.
2.某物体沿直线运动，位移单位：与时间单位：的关系为，则该物体在时的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
4.甲乙两位同学从种课外读物中各自选读种，则这两人选读的课外读物中恰有种相同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，每次正面向上得分，反面向上得分，记总得分为，则( )
A. B. C. D.
7.已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据的残差的绝对值为
A. B. C. D.
8.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点成中心对称
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点成中心对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C. 由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，不独立，且该推断犯错误的概率不超过
D. 两组数据，，，，和，，，，的方差分别为和，则
10.设函数，则( )
A. 是的极大值点 B. 在上单调递增
C. 是曲线的对称中心 D. 曲线存在平行于轴的切线
11.已知编号为，，的三个盒子，每个盒子内都装有个球这个球的编号分别为，，若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是
A. 在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为
B. 第二次抽到号球的概率为
C. 如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小
D. 按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 ．
14.无人机送物成为人工智能时代的一种流行的物流方式．现在有部不同无人机可供调用给个街区送物如图，若每部无人机只能给个区块或者两个相邻区块进行送物，所有区块均需配送，则不同分配方案种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中的所有二项式系数的和为．
求的值；
求展开式中各项系数的和；
求展开式中所有的有理项．
16.本小题分
在一次数学模拟测试中，多项选择题部分按如下规则给分：没有四个选项全对的，全部选对的得分，部分选对得部分分没有选错选项但没选全时，若正确答案是两个选项：只选对个得分；若正确答案是三个选项：只选对个得分，选对个得分，有选错的得分小马同学在一次考试中做第题多选题，他已经确保、选项正确以及选项错误，对较难的选项，根据对题目的分析和感觉，预估有的可能性这个选项是正确的因此小马同学有两种方案可供选择，方案一：选择，方案二：选择．
记小马同学的得分为，试写出上述两种方案下的分布列；
小马同学在这道题中做何种选择更为合理？从期望的角度作出解释．
17.本小题分
为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量单位：间与价格单位：千元间满足，其中，该民宿的综合成本为千元间．
将该民宿每日所获利润表示为价格的函数；
当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？
参考数据：，，
18.本小题分
王同学每天午餐固定在，两家餐厅用餐，他第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果前一天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果前天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为记为小王第天去餐厅的概率．
求、；
求；
记前天午餐王同学去餐厅的次数为，求
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
令，解不等式；
若函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意有，解得；
时，，
则展开式中各项系数的和为；
二项式展开式的通项为
，当时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为，，
．

16.解：方案一：选择，由题意可知的可能取值有、，
若，则选项为其中一个正确选项，则，
若，则选项为错误选项，则，
小马最终得分为随机变量的分布列为
方案二：选择，由题意可知的可能取值有、，
若，则选项为错误选项，则，
若，则选项为其中一个正确选项，则，
小马最终得分为随机变量的分布列为
若小马同学选择方案一，则其得分的期望为，
若小马同学选择方案二，则其得分的期望为，
因为，因此小马在这道题中选择更为合理．

17.解：由题意： ，
因为，
设，
则，因为，所以，
所以函数在上单调递增，
又，，
又，
当时，，所以，所以在上单调递减，
当时，，所以，所以在上单调递增，
因此是的极小值点，也是区间内的最小值点．
计算区间端点的函数值：
又，，
故，即最大值在处取得．
故利润最大时价格为千元间，利润最小时价格为千元间．
18.解：记小王第天去餐厅为，第天去餐厅为，
则，，，
由全概率公式可知，
由对立事件的概率公式可知，
同理，，
即：；
由全概率公式可知：
，
即．，
从而，，而，
则是首项为，公比为的等比数列，
则，可知；
令，则，
从而，
而，
可知．
19.解：由得，即，
当且仅当时，即当时，，
所以函数在上为增函数．
因为，所以，
所以，则为偶函数，
令，则，
令，则，
所以函数在上为增函数，
当时，，故函数在上为增函数，
由可得，所以，即或，
解得或，故不等式的解集为．
由题意可知或对任意的恒成立．
因为，
则，
令，，其中，
由题意可知或对任意的恒成立，且，
当时，，由可得；由可得，不符合题意；
当时，即当时，函数的图象开口向下，当时，，不符合题意；
当时，即当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，即当时，函数在上为增函数，
此时，符合题意；
当时，即当时，
只需，
令，其中，则，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
可知对任意的，，
由可得，即．
综上所述，实数的取值范围是．

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