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浙江省县域教研2025-2026学年高二第二学期学业水平模拟考试
数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
5.已知直线，和平面，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.某校举行“校园歌手”大赛，有位评委对某选手打分已知这个分数的平均数是，方差是，现从这个分数中去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，则剩余个分数的方差为( )
A. B. C. D.
10.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
11.已知定义域为，且为偶函数，，当时，，则( )
A. B. C. D.
12.在一个棱长为的正方体封闭容器中，放入两个半径为的小球，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.已知，，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
14.设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
15.在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 的周长可以是 D. 的外接圆半径可以是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
16.在不透明的袋子中装有个大小质地完全相同的球，其中有个红球，个黄球，从中随机摸出个球，则事件“摸到红球”的概率为 ．
17.已知函数为奇函数，则实数 ．
18.已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共3小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
某校统计了高二年级名学生的身高数据，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．
求身高在区间的人数；
求这组样本数据的分位数．
20.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，且．
求的值；
若，求的最大值．
21.本小题分
已知函数，为自然对数的底数，若，为方程的两个实数根，其中．
求实数的取值范围；
证明：为定值；
若，证明：．
参考答案
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19.解：身高在区间的频率为，
频数为，所以身高在区间的人数为人
由于，，
所以样本数据的分位数在区间，设为，
由，解得，
所以样本数据的分位数为．
20.解：由及正弦定理，可得，
其中，
所以，
所以，
因为、，则，
所以，则，得．
若，由正弦定理，，
所以，，
由知，，则，
所以，
，其中，，且为锐角，
因为，则，所以，
当时，即时，取得最大值．

21.解：由，可得，
令，则方程在上有两个不相等的实数根，
即函数与在上有两个不同的交点，
根据对勾函数的性质可知，即．
由可知，和为方程的两个不相等的实数根，
即方程的两个不相等的实数根，
由韦达定理可知，，即，
所以
，
因此为定值．
由可知，，
记，则，，且，
所以，
易知函数在上单调递增，
所以要证明，即证明，等价于证明，
即证明，
因为，所以，即，
所以．

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