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安徽合肥市第十中学等校2026届高三年级高考适应性考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，复数，则( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.已知是函数的对称轴，则的值可以是( )
A. B. C. D.
4.向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的极小值点为，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为达到最大涨幅时称为“涨停板”，最大跌幅也为达到最大跌幅时称为“跌停板”，现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到元每股，则的最小值为 参考数据：，
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于，两点，与轴负半轴交于点，，与轴分别交于点，，若，则( )
A. B. C. D.
8.下列曲线上，不存在四个点能构成正方形的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合是第一象限角，，则( )
A. B.
C. ， D. ，
10.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于点，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若的面积为，则
11.某闯关游戏中，玩家初始积分分，每次闯关成功的概率都为，闯关成功则玩家积分，失败则积分，每次闯关结果相互独立．记第关后玩家累积积分为，的数学期望为，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 事件“”与事件“”相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，已知，，，则 ．
13.已知，当取得最大值时，则 ．
14.在四棱锥中，底面正方形边长为，，，则四棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设数列的前项和为，已知是公比大于的等比数列，，．
求通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，四棱台中，平面，底面为梯形，，，，．

证明：平面平面；
若直线与平面所成角正弦值为，且，求四棱台体积．
17.本小题分
某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率单位：已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，．
从该助手解答的题目中随机抽取道，求其成功率满足的概率；
附：若，则，
现有同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有道．现从这道测试题中随机抽取道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量．
当时，求的分布列及数学期望；
若，试估计的值即使得取得最大值时的的值．
18.本小题分
设椭圆：的离心率为，为椭圆的左端点．
求椭圆的标准方程：
设动点，在椭圆上且在第三象限，点，射线，关于直线对称，记，的斜率分别为，．
若，求；
求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若恒成立，求实数的取值范围；
若存在，，且，使，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设，则，
由题可设，则，
则，解得，
，
．
，
．

16.解：在中，，，，
由余弦定理得，
代入数据解得，
所以，则，
又，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以平面平面．
因为，平面，分别以，，所在直线为，，轴建系，如图所示：

设，则，，，，
由得，故
，
设平面法向量为，则，令，则，则，
设直线与平面所成角为，为锐角，
则，化简得，又，故得，
设梯形与梯形面积为，，则，
因为，则，所以．

17.解：由题意，
．
服从超几何分布，且，，，
故的所有可能取值为：，，，，
，，
，，
故的分布列为：
期望．
记，，
则，解得，
故当时，，当时，，
当时，，
故，
所以或时，最大．

18.解：由题意，，又离心率，故，
所以椭圆的标准方程为；
由题，，设直线，的倾斜角分别为，，
由题意，，即，故．
于是，，
故时，
设直线：，由在第三象限可知，．
与椭圆联立得．
则，且，．
由知，即，
即，
即，
即，即．
又，，故，
因此直线：恒过定点．

19.解：，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，即，解得；
由，即，解得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
由知，当时，，与矛盾，舍；
当时，的最大值为，即，解得
综上，实数的取值范围是
因为，，且，可得，
则在不单调，故，且，解得
由，则，所以
即，解得．
由，故．

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