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浙江省北斗星盟2026届高三下学期二模数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是( )
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法构成四边形
5.算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理．设正整数，其中，，，，，记则( )
A. B. C. D.
6.已知且，若函数有唯一零点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：，，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，由个边长为的小正方形拼成一个边长为的大正方形网格，质点从顶点出发，沿着网格线运动至顶点停止，规定运动过程中任意顶点含起点和终点均不可重复经过．设随机变量表示质点从到经过的路径总长度，若质点所有可能的运动路径是等可能的，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若经过点的直线与抛物线：恒有公共点，则的准线可能是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则在上单调递增
B. 若，则的最小值为
C. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象与关于轴对称，则的最小值为
D. 若在上无零点，则的取值范围为
11.“杨辉三角”由南宋数学家杨辉在所著详解九章算法中首次提出，它揭示了二项式系数在三角形数表中的几何排列规律．如图所示，记“杨辉三角”第行第个数为，并由此构造新的数表，记数表的第行第个数为，满足，数表第行所有数字之和记为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当，时，，，
C. 除以的余数为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数为纯虚数，则实数的值为 ．
13.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ．
14.已知正四面体的棱长为，点为的重心，点在正四面体表面上的动点，且满足点到点的距离恒为，则点的运动轨迹的总长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
已知，为的中点，且，求的周长．
16.本小题分
近年来，我国新能源汽车市场持续扩容，某市为研究新能源汽车市场增长规律，统计了连续年的年度销售数据，设年份编码为第年第年第年，年度总销量为单位：千辆，对应数据如下：
年份编码
销售量
求这年销售量数据的极差与第百分位数；
从这年销售量数据中随机抽取个数据，已知其中一个数据不小于千辆，求另一个数据也不小于千辆的概率；
销售量与年份编码具有较强的线性相关关系，试求关于的经验回归方程，并预测第年该市新能源汽车的年度销售量单位：千辆，结果保留小数后两位．
参考公式及数据：
．
17.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线翻折至的位置．
若，求证：平面；
记平面与平面的夹角为，求的最小值．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，直线与双曲线交于两点，且．
求双曲线的标准方程；
若是双曲线的左右顶点，点是线段上一点异于两点，直线与双曲线交于点，直线与双曲线交于点，直线与直线交于点．
求四边形面积的最大值；
是否存在定点，使得以为直径的圆始终与某条定直线相切？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”．
试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？直接写出结论，无需证明
； ； ；
已知实数是在区间上的“下域函数”，求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
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3.
4.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：由正弦定理，，
因为，所以，
代入上式：，
因为，
所以整理得，，所以，
又，所以．
因为为中点，所以，
两边平方，，
已知，，代入整理得：，
在中，根据余弦定理，，
已知，，代入整理得：，
由知，，，
又，
所以，
的周长为
16.解：由题意得极差为，
而，向上取整可得第百分位数为．
设事件表示：其中一个数据不小于千辆，
事件表示：另一个数据不小于千辆，
则，
由题意得，
法一：可得，
，
则关于的经验回归方程为，
将代入回归方程，得到，
故预测第年新能源车的年销量为千辆．
法二：可得，
此时，
此时回归方程为，将代入回归方程，得到，
故预测第年新能源车的年销量为千辆．

17.解：
连接、，如下图所示：
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，，又因为，
所以，则，所以，
因为四边形为平行四边形，则，
由余弦定理计算得，
，所以，
，所以，故，因为，，
所以，所以，翻折前，翻折后则有，
因为，、平面，
所以平面，而平面，所以，
又因为，，、平面，
所以平面．
以点为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，
设平面的法向量为，，，
则
令，则，
所以，
令，则，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为．

18.解：依题意，，可得，
因为直线与双曲线交于两点，
将代入，解得，．
因为，所以，，解得，．
故双曲线的标准方程为：．

如图所示：
不妨设点是双曲线上异于、的任意一点，下证直线和的斜率之积为定值．
由，得由题知，，，．
则
设且，则，，
因为点、、三点共线，所以，，
因为点、、三点共线，所以，，
因为点是双曲线上的点，所以，则，
因为点是双曲线上的点，所以，则，
故，
联立，解得，，故，此时．
因为且，所以，，得，
则，
故当时，取得最大值为．

由得，设，则可得，如图知点的轨迹为抛物线，其中且，
对比抛物线的标准形式可得，，即，该抛物线的顶点为，
开口向上，焦点在顶点上方处，准线在顶点下方处，
所以焦点的纵坐标为，
准线方程为：，
所以，以为直径的圆始终与直线相切．
故存在定点为和定直线满足题意．

19.解：对于，令，定义域为
而，当时，恒成立，
则在上单调递减，且，
则，可得，
得到是在上的上域函数，
对于，令，定义域为
而，当时，恒成立，
则在上单调递增，且，
则，可得，
得到是在上的下域函数，
对于，令，
则，当时，恒成立，
则在上单调递增，且，
则，可得，
得到是在上的下域函数，
综上可得，是“上域函数”，是“下域函数”．
由题意知，当时，；
当时，，符合题意；当时，应有；
构造函数，可得，
令，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，，
故在上单调递增，而时，，
综上可得，的取值范围为．
构造函数
代入，
累加可得，
故仅需证即可，
构造函数
其中，在上单调递减，，
即
当时，，
可得
，原命题得证．

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