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安徽省明光中学等校2026届高三5月最后一卷数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.某班级去历史博物馆参观，全班同学分成，，三个小组，并从名班委中安排人分别担任组长，则组长的不同安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：经过点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象经过点和，且在区间内没有极值点，则( )
A. B. C. D.
7.已知一个圆柱、一个圆锥、一个圆台，它们的高均为，圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，且，记圆柱、圆锥、圆台的体积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知双曲线：的一条渐近线经过点，左、右焦点分别为，，且，点为的右支上任意一点，则下列结论中正确的是( )
A. 的离心率为
B.
C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有条
D. 的最小值为
11.已知函数的定义域为，值域为，若，且，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 设函数，则
D. 设函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和，若，，则 ．
13.已知函数的值域为，则的取值范围是 ．
14.一个箱子里有个球，分别以标号，甲从箱中有放回地随机抽取两次，记其取出的球的编号集合为，乙也从箱中有放回地随机抽取两次，记其取出的球的编号集合为记随机变量为集合中元素的个数，则 ．附：已知为两个随机变量，则．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着信息技术的普及，阅读内容的载体逐渐实现了从纸质到数字化的转变某机构为了解不同年龄段人群阅读偏好的差异，随机调查了人，调查结果如下：
偏好数字化阅读 偏好纸质阅读
青少年
中老年
根据小概率值的独立性检验，能否认为不同年龄段的人群阅读偏好有差异？
采用按比例分层随机抽样的方法，从被调查的偏好纸质阅读的人中抽取人体验新型数字化阅读产品，再从这人中任选人进行深度采访，求深度采访的这人中恰有名青少年的概率．
附．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求
若是锐角三角形，，延长至点，使，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点．
证明：；
点在棱上含端点，且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置．
18.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线与轴交于点，求；
当时，证明：；
若存在，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，是上横坐标为的点，，且直线的倾斜角为锐角．
求的方程；
若按照如下方式依次构造点：作轴，垂足为，过点作直线与第一象限的部分相切于点，记点的坐标为，证明：是等比数列；
若以为圆心作圆与轴相切于点，按照如下方式依次构造点和：在上找一点，以为圆心作圆与圆外切，同时与轴相切于点，且点在线段上为坐标原点，设，证明：．
参考答案
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15.解：零假设不同年龄段的人群阅读偏好没有差异，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故可以认为不同年龄段的人群阅读偏好有差异．
因为偏好纸质阅读的人中，青少年与中老年一样多，
故抽取的人中，有名青少年和名中老年．
设事件“深度采访的这人中恰有名青少年”为，
则．

16.解：由得，
整理得，所以，
因为，所以．
如图，分别作，垂足为，，垂足为，与射线交于点．
当点在线段上不含，时，满足是锐角三角形．
因为，，所以，，
故
在中，因为，
所以，
由正弦定理得，，得，
故的取值范围是．

17.解：连接、，为等边三角形，为中点，，
又底面为边长为的菱形，，故为等边三角形，
为中点，故B，
平面，平面，，
平面，
又平面，故．
平面平面，平面平面，平面且，
平面，
以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标：，，，，．
设在棱上，令，，，
故的坐标为，则．
设平面的法向量为，，，
则，令，解得，，
故，．
设直线与平面所成角为，由题意，
又线面角满足，
解得或，
结合得，即与点重合．
18.解：，，则，
又，故切线方程为．
令，即，则，
解得．
证明：当时，，定义域为，，
易知单调递减，又，，
所以存在，使得，即，也即
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
故．
又，当且仅当时取等号，但，所以．
所以．
若存在，使得对任意的，都有，即．
令，则，
因为单调递减，且当时，，当时，，
故存在，使得，即，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以．
则条件等价于：存在，使得．
令，，则，
令，则，可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
故的取值范围为．

19.解：
设，由题意知，所以
的准线方程为，由抛物线的定义可知，
，解得或．
当时，，，，，
直线的倾斜角为钝角，不符合题意；
当时，，，，，
直线的倾斜角为锐角，符合题意．
故的方程为．
，点的坐标为，则，，
直线的斜率
由：可得，所以在点处的切线斜率为，
则在出的切线方程为，
即，
因为轴，垂足为，所以，
又因为过作直线与在第一象限的部分相切于，
所以点在切线上，
将代入在出的切线方程为，
得到，
因为点都在第一象限，所以，所以，
解得，所以是首项，公比为的等比数列．
由题意可知圆：，，，，
记，由圆与轴相切，得圆的半径
由圆与圆外切，得，
所以．
两边平方得，
整理得．
由于点在线段上，所以，
则，即，又，
则是以为首项，为公差的等差数列．
则．
当时，，，不等式成立，
当时，，
故．

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