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江西省乐平中学等校2026届高考全真模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知数列，若，则正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知点在椭圆：上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.若函数，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的命题是( )
A. ，使；
B. 若，则；
C. 已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；
D. 若角的终边在第一象限，则的取值集合为．
10.若，满足，则( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线，设为坐标原点，，，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，异于点，则下列结论正确的是( )
A. 若，可能为锐角三角形
B. 若，点在直线上的投影为定点
C. 若，且直线，分别交轴于点，，则
D. 若，且直线，分别交轴于点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为奇函数，则实数的值是 ．
13.已知等比数列的前项和为，公比为，若，，则的公比 ．
14.切比雪夫不等式是世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“”和“”是等可能的记发射信号“”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，对应边分别是，，已知，，成等差数列，且．
求的值；
若的外接圆半径为，求的面积．
16.本小题分
某市近年的新能源汽车保有量数据如下表
年份代号
保有量万辆
从这年中任意选取年，在已知至少有年的新能源汽车保有量大于万辆的前提下，求这年的新能源汽车保有量全都大于万辆的概率；
用函数模型对变量，的关系进行拟合，根据表中数据求出关于的回归方程参数的估计值精确到．
参考数据：，，，；
设，，
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
17.本小题分
如图，平行六面体中，底面是边长为的菱形，，
求平行六面体的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知曲线上的动点满足，且，
求的方程；
已知，，为上的动点点与不重合，直线和直线交于点，直线交于点．
求证：直线过定点；
设直线的倾斜角为，的面积分别为，当时，求取值范围．
19.本小题分
设函数．
求曲线在处的切线方程；
若对任意，都有，求的最大值；
已知数列满足：；均大于，设，求证：．
附：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：保有量大于万辆的年份有第，，年，共年，
保有量不大于万辆的年份有第，，年，共年，
设至少有年保有量大于万辆为事件，年保有量全都大于万辆为事件，
事件的对立事件为年都不大于万辆，总选法有，
两年都不大于万辆的选法为，所以，
两年都大于万辆的选法为，所以，
则．
已知模型，两边取对数得，
令，则，即转化为线性回归方程，
其中，由题意得，
则，
，
因为，所以，
则．

17.解：如图，过作平面，垂足为，
因为平面，所以，
过作，，垂足分别为，，
连接，，平面，所以平面，平面，所以，同理得，
又，为公共边，所以，所以，
又，为公共边，所以，
所以，所以在的平分线上．
又底面是菱形，所以在上
又，，
所以，
所以，所以为中点．
，，，所以，
菱形的面积为，所以平行六面体的体积为；
由可得，，两两垂直，建系如图所示，

则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则
取，则，
所以为平面的一个法向量，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．

18.解：因为，可得，
又因为，可得，
由双曲线的定义，可得曲线是以为焦点，
实轴长为的双曲线的左支，所以，则，
所以双曲线的方程为．
解：设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则且，
则，可得，
直线，令，可得，所以
又三点共线，可得，所以，
即，即，
即，
所以，
整理得恒成立，所以，
所以直线方程为，所以直线过定点；
由知，，，
所以，
又由，
令，则，且，
因为直线的，可得，则，
所以，即，
所以，解得，
故．

19.解：，，
，
故，
故曲线在处的切线方程为；
对任意，都有，
其中，，
令，
则，，
令，
则，其中，
令，即，解得，
下面证明时，在上恒成立，
，
令，，注意到，
则，注意到，
令，则，注意到，
令，则，
其中在上恒成立，令，，
故，故在上单调递减，
其中，故在上恒成立，
故在上恒成立，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
故，故在上单调递增，
，故在上单调递增，
，故，
所以，的最大值为；
令，则，
均大于，设，
因为，，
所以，，
显然，，若，，上式不成立，
由于在上单调递增，
故，，，
故为等差数列，首项和公差均为，故，，
故，，
，
由知，，
所以，，
，
因为，所以，
所以，，
所以，
其中，
所以．

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