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云南昆明市第一中学等校2026届新高考自主命题考前自测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，其中，是实数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.设向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知曲线在点处的切线与直线平行，则( )
A. B. C. D.
8.已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. 该函数的解析式为
B. 是该函数图象的一个对称中心
C. 该函数的减区间是，
D. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移，可得到该函数图象
10.记，分别为，的对立事件，且，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.由个不同的实数，，，构成一个数表，若中每行个数之和、每列个数之和、两条对角线个数之和均相等，则称为一个阶幻方，这个和称为幻和，例如就是一个阶幻方，幻和为则下列结论正确的是( )
A. 设是一个阶幻方，则
B. 设是一个阶幻方，则是，，，的中位数
C. 将正整数，，，填入数表中构成一个阶幻方，可能为奇数
D. 将正整数，，，填入数表中构成一个阶幻方，一定为奇数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为 ．
13.中，内角，，所对的边分别为，，，若，则 ．
14.设函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两个口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的小球，已知甲口袋有个红球和个白球，乙口袋有个红球和个白球，现在小明从甲口袋有放回地连续摸球次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球次，每次摸出一个球．
求小明次摸球中，至少摸出个白球的概率；
设小明次摸球中，摸出白球的个数为，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知正项数列的前项和为，且满足．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，三棱锥中，，，两两垂直，且．

当表示面积取得最大值时，求点到平面的距离；
记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，，，证明：．
18.本小题分
已知函数，．
若恒成立，求的值；
比较与其中为自然对数的底数的大小，请说明理由；
证明：．
19.本小题分
已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，点在双曲线上
求双曲线的方程；
点在第一象限内的双曲线上，过作圆：的切线，切点为，过且垂直于轴的直线与第一象限内的双曲线的渐近线交于，求的最小值；
如图，将双曲线的左支绕轴翻折，使左右支所在的两个半平面所成的二面角大小为，对于任意的，过点的直线总与左支相交，以原双曲线所在坐标平面的为原点，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
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15.解：设事件小明次摸球中，至少摸出个白球，
则．
由题可知，可能的取值为，，，，，
甲口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为，
乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为，
，
，
，
，
，
分布列如下，
所以．
16.解：由，得，当时，，即，
又，所以当时，，
所以，
即，整理得，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．
由得
当为偶数时，
，
设，则，
令，所以，
两式相减得：，
，
所以，所以；
当为奇数时，
，
所以．

17.解：设，，，则，且，，，
所以
，
当且仅当时等号成立，取得最大值，
此时，记点到平面的距离为，
因为，
又，
所以，解得，所以点到平面的距离为．
证明：以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
显然平面的一个法向量为，设平面的法向量为，
则可取，
所以，
同理得，，
所以．
因为，
化简得，
所以，
当且仅当，即时等号成立．

18.解：函数的定义域为，且．
若，则，从而函数在上为增函数，
又，所以当时，，不满足恒成立，不符合题意；
若，令，解得，
当时，，当时，，
从而函数在上单调递增，在上单调递减，故，
要使恒成立，且有，则，
所以．
，理由：
由知，当时，恒成立，
故当且时，有，
令，则，
两边同乘，即，
则有，所以．
证明：
由知，当时，恒成立，
以替换，得恒成立当且仅当时等号成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
故当时，，
所以，
所以．

19.解：由已知得：，，所以，
所以双曲线的方程为：
设，则，
因为在双曲线上，所以，
所以，
由题意，，
因为位于第一象限时，
所以，，
故，设直线，
而，
所以可看作是双曲线上的点到直线距离的倍，
设平行于的双曲线的切线为，
联立，
消得，，
，解得，
所以第一象限内的双曲线的切线为，
故两直线距离为，
当且仅当，时，．
因为左半支双曲线旋转时，曲线上的任意一点绕作圆周运动，轨迹是以为圆心，为半径的圆，
在空间直角坐标系中，设旋转后的点坐标为，
则，
因为，所以经过旋转后的点满足，
由题意，，设直线的方向向量为，
则直线上任意点的坐标，，
若总是在左支上，则，
化简得，
同理，，也在左支上，
代入化简得：，
则由两式分别相加减得，与，
由对任意成立，则，且，
令，则，，
故直线的一个方向向量可以为或，
设直线与平面所成角为，
因为平面的法向量为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

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