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四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（十二）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3.如图，汽车内胎不考虑物体的内部结构可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是( )
A. B. C. D.
4.函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
5.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D.
6.已知是定义域为的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正三角形的边长为，以为圆心的圆与直线相切，若点是圆上的动点，则的最大值是 ．
A. B. C. D.
8.已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记若在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，，则下列结论正确的有
A. 数列是等差数列
B. 数列是等比数列
C. 的通项公式为
D. 数列是递增数列
10.设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是( )
A. B. C. D.
11.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个阶的杨辉三角，则下列说法正确的是( )
A. 第行的第个数最大
B. 第行所有数字之和为
C. 从第行起到第行，每一行的第个数字之和为
D. 第行的所有数字之和被除的余数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知数列为虚数单位，则的前项和为 ．
14.将上底面半径为，下底面半径为，母线长为的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记三角形的内角，，的对边分别为，，，且．
求
若，三角形的面积为，求三角形的周长．
16.本小题分
某市场上工业品零件的三种品牌公司的产品，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 丙
市场占有率
优质率
记，，表示买到的工业品零件的品牌分别为甲、乙、丙，表示从市场上买的一个工业品零件是优质品．
求事件发生的概率；
用比例分配的分层随机抽样方法，从该市场选取个工业品零件，再从这个零件中任选个，用表示这个零件中品牌甲的个数，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示．
当时，证明：平面平面
当时，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的短轴长为，一个焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与交于两点．
求的方程．
若线段的垂直平分线交轴于点，交直线于点．
求；
证明：．
19.本小题分
已知函数．
证明：；
将所有正零点排列为严格递增数列
证明：；
设表示不超过的最大整数，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.解：由，有，即，
，，，；
由的结论有，又，，由三角形面积公式有
，，在中，由余弦定理有，，的周长．

16.解：由题得，市场占有率：，，，
优质率：，，，
则由全概率公式得．
由题意，个工业品零件中品牌甲个，品牌乙个，品牌丙个，
，，，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望．

17.证明：在图一中，因为是菱形，，，为中点，
所以，，，．
现将沿着折起，使得点到达点，则，，，．
在中，因为，，所以，
而，、平面，，因此平面，而平面，所以．
因为、平面，，所以平面，而平面，因此平面平面．
解：由知：折叠后，，，，．
因为、平面，，所以平面，而平面，因此平面平面．
在平面内，过作直线，由平面平面，平面平面得：平面，
而、平面，因此、．
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系如下图：
因为，所以是边长为的正三角形，
因此、、、、，
所以，，．
设平面的法向量为，
则由得：，取得：，，
因此是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则由得：，取得：，，
因此是平面的一个法向量．
设平面与平面所成角为，则，
因此平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：由题可知：，故；焦点，得；由得．
所以椭圆的方程为：
设直线：
与椭圆方程联立消去得：
则，中点

线段的垂直平分线：，
化简得： 令，得，
则，
所以．
由知直线：，令得
所以
由式可知，，所以
即得证．

19.解：证明：，，
所以在区间上单调递增，
．
证明：由在区间上单调递增，
则时，，即此时无零点，
当，，单调递增，
又，
，，
则在上有一个零点，
同理可得在上有一个零点，
又，，，
，
又，
，且在上单调递增，
，即；
，
，
，
，
又，
，
．

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