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安徽省淮北市第一中学等校2026届高三下学期5月最后一卷数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若体积为的圆锥的高为，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
2.已知平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知一组数据：的平均数为，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字，则插入后这个数的方差为( )
A. B. C. D.
5.已知虚数满足，则( )
A. B. C. D.
6.用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面或模型表面、不重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“笔”则遍历一个正五棱柱的所有棱，至少需要( )
A. 笔 B. 笔 C. 笔 D. 笔
7.已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点．为坐标原点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，是函数的两个不同的零点．若，则的外接圆半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中有两条不同的直线，三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
10.已知定义域为的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有若，则下列说法正确的是( )
A. 的一个周期为 B. 直线为的图象的一条对称轴
C. D.
11.已知双曲线：的左、右顶点分别为，，离心率为，且过点点在双曲线上，线段与的两条渐近线分别交于点，，为坐标原点，的面积记为，则( )
A. 的实轴长为
B. 不存在点，使得
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则向量在向量上的投影向量为 ．
13.某超市为了回馈消费者，现举行大额消费返现活动，规则如下：现有、两个不透明的盒子，其中盒中放有，，三张卡牌，盒中放有，，三张卡牌．现进行三轮抽取，每一轮从、两个盒子中各随机抽取张卡牌，抽取的卡牌均不放回原盒中；每轮抽取中，若抽出的两张卡牌互质，则小明获得元现金奖励，否则该轮无奖励．三轮抽取结束后，小明获得的返现奖励为元的概率为 ．
14.已知，若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，面试采取三场两胜制进行假设甲每场面试获胜的概率为，且每场面试不存在平局的情况，每场面试的结果相互独立．
求乙最终获得主播岗位的概率；
面试结束时，记甲获胜的场数为随机变量，求随机变量的分布列以及数学期望．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，其中，．
求数列的通项公式；
若，求的值；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与轴垂直，求的单调区间；
若函数在上不单调，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图所示的平面四边形，其中，，，．
求的值；
现将平面四边形沿进行翻折，使得点翻折至的位置，且．
(ⅰ)求平面与平面所成角的余弦值；
(ⅱ)依次过点作四个相互平行的平面，使得任意两个相邻平面之间的距离均为，求的值．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且椭圆过点，直线的倾斜角为．
求椭圆的方程；
过点作两条不重合直线，，与椭圆交于另一点，与轴交于点；与椭圆交于另一点，与轴交于点．
(ⅰ)若直线的斜率为，求的面积；
(ⅱ)若，关于坐标原点对称，过点作的垂线，垂足为，探究：是否存在定点使得是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：记面试结束的时候乙最终获得主播岗位为事件，
乙获胜分为两种情况：乙胜前两场乙连胜概率为，
乙：胜前两场一胜一负，第三场乙胜概率为，
依题意，的所有可能取值为，，，
，，
的分布列为：
则．
16.解：依题意，，解得
故．
由，
．
依题意，
当为偶数时，，
此时
；
当为奇数时，；
故．

17.解：由题意得，
故，解得，
则，
令，则，
令，解得，
故当时，，即在上单减；
当时，，即在上单增；
故恒成立，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以的单调递增区间为，递减区间为；
由知，，
在上不单调，即方程在上有变号解，
即在上有变号解，．
令，，则，
令，解得，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去．
当时，，当，，
故实数的取值范围为．

18.解：中，因为，，
故，
故BD，
所以
而，，
由余弦定理，，
所以．
故AC
以的中点为坐标原点，，方向为，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，由可知，，，，
故
则，则，而，
设为平面的法向量，
则令，则
取平面的一个法向量，设平面与平面所成角为，
则
因为四个平面相互平行且相邻间距均为，
所以直线被这四个平面截得的三段线段长度相等．
即平面过必过近的三等分点，
平面过必过靠近的三等分点．
同时，因为平面过点，平面过点，
且，，平行等距，
由平行线分线段成比例可知，中间的平面必过线段的中点即坐标原点．
由可知，，，，
，
平面经过点，，，设平面的法向量为，
则故取，
因为平面过点且平行于，
所以相邻平面间的距离等于点到平面的距离，
19.解：由，
则，解得，即，
将点代入得，解得，，
故椭圆的方程为．
依题意，直线：，即，
联立
得，解得对应点或；
将代入直线方程得，故，
而直线与轴交点为，
故的面积．
(ⅱ)依题意，直线存在斜率，设直线方程是，
联立，消去得，
则，
设，，则，，
直线：，令，得，同理，
依题意知，即，
则，
即，
则，
即，
整理得，即，
若，则直线过点，不合题意，舍去；
若，则直线过点，
令，则点在以为直径的圆上，
所以当为的中点，即以为直径的圆的圆心时，等于圆的半径，
故存在定点，使得为定值．

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