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北京市育才学校2026届高三第二学期数学高考仿真测试试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，定义域和值域相同的是( )
A. B. C. D.
4.设，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与直线交于点，点在抛物线上，且满足，则( )
A. B. C. D.
6.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知圆心为的圆与双曲线：交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了，系列的纸张尺寸．设型号为，，，，，，的纸张的面积分别是，，，，，，，它们组成一个公比为的等比数列，设型号为，，，，，的纸张的面积分别是，，，，，，已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上有点，满足，则点的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知，若，则 ．
12.的展开式中的系数是 用数字填写答案
13.在中，，，，则的面积为 ．
14.已知矩形中，，若点为中点，则 ；若点满足，则的取值范围是 ．
15.已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列．
给出下列四个结论：
数列不是等比数列；
若与都是递增数列，则数列是递增数列；
对任意的，、、不是等差数列；
存在数列，对任意的、、，且，使得、、不能构成等比数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
求的解析式；
设，求函数在上的单调递增区间．
条件：；
条件：为偶函数；
条件：的最大值为；
条件：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
17.如图，在多面体中，四边形为正方形，，为线段的中点，．
求证：平面；
若平面，求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技术，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈某教师尝试使用系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分如果两个系统评分相差分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：
试卷序号
系统甲评分
系统乙评分
最后得分
从这份试卷中随机选取份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过分的概率；
从这份试卷中随机选取份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过分的份数记为，求的分布列和数学期望；
从上述的份试卷中随机抽取份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为令，，试比较方差和的大小结论不要求证明
19.设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为．
求椭圆的方程及离心率；
过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
20.已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若，求的单调区间；
当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为？若能，求的值，若不能，说明理由．
21.已知集合对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义约定
若，求和；
若满足且，求的所有可能结果；
是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.
16.解：因为，所以，
显然当时为奇函数，故不能选，
若选择，即最大值为，所以，解得，
所以，又，
所以，即，，
解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，
所以，又，所以，解得，所以；
若选择，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，所以，
又的最大值为，所以，解得，所以；
由可得
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，所以在上的单调递增区间有和；
17.解：连接，设，因为四边形为正方形，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以且，由已知且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以即，因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的坐标系，
因为，所以，
，，
，设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为
．
由可知平面的一个法向量为，又，
所以点到平面的距离．

18.设事件为从这篇份试卷中随机抽取份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过分，
又在这篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过分的有篇，
所以；
由已知的可能取值为，，，
，，
所以的分布列为
所以的数学期望为；
，证明如下：
的取值依次为：，，，，，，，，，，，，
平均数为：，
的取值依次为：，，，，，，，，，，，，
平均数为：
，
所以．

19.解：由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点．
因为，所以，即．
因为，所以．
椭圆的方程为，离心率为．
由题可知
当直线斜率不存在时，，
所以
当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为．
由可得．
．
设则
因为，
所以

因为，所以．
所以
综上所述，的取值范围为

20.解：当时，则，
，
，
所以在点处的切线方程为．
当时，函数的定义域是，
所以，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值，
又，故恒成立，
所以的单调减区间为，无增区间．
由题意知，因为，
所以，即有，
令
则，
故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，
即方程有唯一实根，所以．
所以曲线在点处的切线斜率能为，此时．

21.解：由题意，，，，
，，，，
由且，，，，，
同理，或时，，
或时，，
或时，，
所以等价于，则，，
当，，则为满足；
当，，则为满足，
当，，则为满足，
当，，则为满足，
综上，的所有可能结果、、、．
存在正整数使且，理由如下：
由，则，
所以，
若，，
所以，
若，
则，，，
所以，对都有，
当时，恒成立，
综上，所有取值为使成立．
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