资源简介

北京市陈经纶中学2026届高三考前模拟练习一
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，点对应的复数为，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，则下列结论一定错误的是( )
A. B.
C. D.
4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”已知点声源在空间中传播时，衰减量单位：与传播距离单位：的关系式为，其中为常数当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为若，则约为 参考数据：
A. B. C. D.
6.已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.对于无穷数列，定义，则“为递增数列”是“为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图所示已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点，，，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
10.在直角坐标系中，全集，集合，已知集合的补集所对应区域的对称中心为，点是线段上的动点，点是轴上的动点，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ．
12.若的展开式共有项，则展开式中所有二项式系数之和为 ．
13.已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的值为 若在区间上有零点，则的最小值为 ．
14.已知函数，其中且若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为 ，且的取值范围为 ．
15.已知无穷数列满足下列三个性质：
，；
(ⅱ)对任意的，；
(ⅲ)对任意的，都有．
则下列说法正确的是 ．
当，时，；
当时，存在单调递增的数列满足上述条件；
当时，对任意的成立；
对于任意数列，总存在，使得对任意的，都有．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，已知
求的大小；
在下面个条件中选一个，使得唯一存在，并求其面积．
17.如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．
证明：；
在线段不含端点上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18.某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分现从该校随机抽取名学生，获得其科普测试成绩百分制，且均为整数及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩 科普过程性积分 人数
用频率估计概率．
从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于分的概率；
从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为分的概率；
从该校科普过程性积分不低于分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于的概率估计值记为，试判断和的大小结论不要求证明．
19.如图所示，已知点、、、均在椭圆上，点在第一象限，直线垂直于轴，直线分别与轴正半轴和轴负半轴交于点、，为线段的中点，直线经过点．
若为椭圆的左焦点，求的周长
求当直线的倾斜角取得最小值时点的坐标．
20.已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若存在极值，求实数的取值范围；
求证：对任意，都存在，使得．
21.记集合对任意，，记，对于非空集合，定义集合．
当时，写出集合；对于，写出；
当时，如果，求的最小值；
求证：．
注：本题中，表示有限集合中的元素的个数
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.解：，
由正弦定理得，
，
，，，即，
又，；
选：，，
或，所以不唯一存在；所以不能选；
选：，即，，，
，
；
选，即
或舍，．
17.证明：四边形为菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
．
取的中点，连接，，
是边长为的等边三角形，，
四边形为菱形，，为等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，由
令，则，，，
假设在线段不含端点上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为．
设，，
则，
平面的法向量为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
整理得，解得或，
所以在线段不含端点上存在点，当或时，
直线与平面所成角的正弦值为．

18.由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生，
科普过程性积分不低于分的人数的频率为，
所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于分的概率为；
随机抽取三人，得分为分的可能有：
情况：人分，人分；
情况：人分，人分，人分；
情况：人都是分，
结合图表知得分，分，分，分的概率分别为
，
所以随机抽取人得分的概率为
；
根据题意从样本中科普过程性积分不低于分的学生中抽取人，得分、分、分的频率依次为，
所以从全校科普过程性积分不低于分的学生中随机抽取名学生其积分，为分、分、分的概率估计依次为，
则任意取名同学，其积分之差的绝对值不超过的可能有：分，分；分，分；分，分；分，分；分，分五种可能，
即，
任意取名同学，其积分之差的绝对值不低于的可能有：分，分；分，分；分，分三种可能，
即，
显然．

19.解：设直线与轴交于点，
因为轴，为的中点，
所以为椭圆的右焦点，
所以周长为
设，则，，，
设直线斜率为，则，
直线的斜率，
则直线的方程为，直线的方程为，
将两直线方程分别代入椭圆方程，得
，，
设，，则，．
直线的斜率
，
由题意，所以，当时取等号．
所以当斜率取得最小值时，，即，
又因为，，，
所以，，
点的坐标为
20.解：当时，，，
，又，
曲线在点处的切线方程为：；
，，
当时，，在上单调递减，无极值；
当时，令，即，
解得，
当时，，
极大值
极小值
的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点，
故符合题意；
当时，，
在上单调递增，无极值．
综上，实数的取值范围为；
当时，由知，在上单调递减，
令，则，；
当时，为极大值，为极小值，
，
令，则；
当时，在上单调递增，令，
，；
综上，对任意，都存在，使．

21.；
若，则．
的最小值为．
证明如下：
设．
因为，除外，其它个元素需由两个不同的，计算得到，
所以，解得．
当时，有，符合题意．
证明：设中的所有元素为，，，，其中．
记，则这些互不相等．
证明如下：如果存在，，
则，的每一位都相等，
所以，的每一位都相等，
从而，与集合中元素的互异性矛盾．
定义集合，则．
又，
所以．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑