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第1节　直线的方程
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是（　　）
A.（2，3）　　　　　　　B.（3，2）
C.（2，－3） D.（3，－2）
2.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为（　　）
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x－ D.y＝－x－2
3.如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.若直线y＝ax＋1与连接A（2，3），B（－3，2）的线段总有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A.［－1，］
B.（－∞，－］∪[1，＋∞）
C.［－，1］
D.（－∞，－2]∪［，＋∞）
5.〔多选〕下列说法正确的有（　　）
A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限
B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2）
C.过点（2，－1）且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－（x－2）
D.斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
6.〔多选〕已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的是（　　）
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α如何变化，直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
7.若A（－2，3），B（3，－2），C（ ，m）三点共线，则m＝　　　　.
8.已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为　　　　.
9.（13分）设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）.
（1）若l在两坐标轴上的截距之和为0，求l的方程；
（2）是否存在实数a，使直线l不经过第三象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
10.若a＝，b＝，c＝，则（　　）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
11.〔多选〕已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α＜β，则下列关系可能成立的是（　　）
A.0＜k1＜k2 B.k1＜k2＜0
C.k2＜k1＜0 D.k2＜0＜k1
12.已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋2，则的取值范围为　　　　.
13.（2026·贵州六盘水第一次联考）在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线的斜率为2，则边AC所在直线斜率的可能值为　　　　.
14.（15分）〔一题多解〕已知一条直线l过点P（1，4），且分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，求：
（1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）｜PA｜·｜PB｜取最小值时直线l的倾斜角.
15.〔创新设问〕〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则直线l的倾斜角可能为（　　）
A.0　　　　　　　　　　 B.
C. D.
第1节　直线的方程
1.B　2.A　3.C　4.B　5.ABC　6.BD　
7.　8.x＝－或y＝（x＋）　
9.解：（1）当a＝－1时，直线l平行于x轴，在x轴上无截距，不符合题意，则a≠－1，
直线l在x，y轴上的截距分别为，a－2，
依题意，＋a－2＝0，解得a＝±2，
当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0，当a＝－2时，直线l的方程为x－y－4＝0，
所以直线l的方程为3x＋y＝0或x－y－4＝0.
（2）假设存在实数a，使直线l不经过第三象限，
直线l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，
则有解得a≥2，
所以存在实数a使直线l不经过第三象限，a的取值范围为[2，＋∞）.
10.B　a＝＝，b＝＝，c＝＝分别表示（2，ln 2），（3，ln 3），（5，ln 5）与（1，0）连线的斜率.由图可知，c＜b＜a.
11.ABD　若0＜α＜β＜，因为y＝tan θ在（ 0，）上单调递增，则0＜tan α＜tan β，即0＜k1＜k2，所以A可能成立；若＜α＜β＜π，因为y＝tan θ在（ ，π）上单调递增，则tan α＜tan β＜0，即k1＜k2＜0，所以B可能成立；对于C，由k2＜k1＜0可知α，β∈（ ，π），且tan β＜tan α，即β＜α，与题意矛盾，不可能成立；若0＜α＜＜β＜π，则tan α＞0，tan β＜0，即k2＜0＜k1，所以D可能成立.故选A、B、D.
12.（－∞，－）∪（0，＋∞）　解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为M（x0，y0），即x0＝，y0＝.由两式相加，得（x1＋x2）＋3（y1＋y2）＋4＝0，则2x0＋6y0＋4＝0，即x0＋3y0＋2＝0，由y0＜x0＋2，得x0＞－2，则＝＝－－∈（－∞，－）∪（0，＋∞）.
13.－或　解析：设直线AB的倾斜角为α，则kAB＝tan α＝2.设直线AC的倾斜角为θ，在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以当θ＝α＋60°时，kAC＝tan θ＝tan（α＋60°）＝＝＝－；当θ＝α－60°时，kAC＝tan θ＝tan（α－60°）＝＝＝.综上所述，kAC＝－或kAC＝.
14.解：设直线l在x轴、y轴的正半轴的截距分别为a，b，则｜OA｜＝a，｜OB｜＝b，直线l的方程为＋＝1.因为直线l过点P（1，4），所以＋＝1.
（1）因为1＝＋≥2，所以a·b≥16，
所以S△AOB＝ab≥8，当且仅当＝时取“＝”，即＝＝，此时a＝2，b＝8，
所以△AOB面积的最小值为8，此时直线l的方程为＋＝1，即4x＋y－8＝0.
（2）法一 设直线l与x轴所成锐角为θ，则｜PA｜＝，｜PB｜＝，
所以｜PA｜·｜PB｜＝·＝≥8，当且仅当sin 2θ＝1即θ＝时取“＝”.
此时直线l的倾斜角为π－θ＝.
法二 ｜PA｜·｜PB｜＝－·＝－（a－1，－4）·（－1，b－4）＝a＋4b－17＝（a＋4b）·（＋）－17＝＋≥2＝8，当且仅当a＝b时取“＝”，此时直线l的倾斜角为.
15.BD　将点A（－2，－1）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝－1，再将点B（2，2）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝1，故点A，B不可能同时在直线l上，又因为｜AB｜＝＝5，且｜PA｜＋｜PB｜＝5，所以点P的轨迹为线段AB，即直线l与线段AB恒有交点，又因为直线l：2ax－2y＋3a－3＝0，即a（2x＋3）＋（－2y－3）＝0，所以直线l恒过定点C（－，－），作出示意图，此时kAC＝＝－1，kBC＝＝1，故直线l的斜率的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞），且直线的斜率存在，故直线l的倾斜角的取值范围是［，）∪（，］.故选B、D.
1 / 1第1节　直线的方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.
知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的方向向量
设A，B为直线上两点，则就是这条直线的方向向量，斜率为k的直线的一个方向向量为（1，k）.直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一个方向向量为a＝（－B，A）.
（2）直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
②规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为　　　；
③范围：直线的倾斜角α的取值范围为　　　　　　.
（3）直线的斜率
①定义式：直线l的倾斜角为α（α≠90°），则斜率k＝tan α；
②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝　　　　　　.
提醒：如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在.
2.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于x轴的直线
斜截式 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ （x1≠x2，y1≠y2） 不含垂直于x轴，y轴的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
1.当直线l的倾斜角α∈［0，）时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈（ ，π）时，α越大，直线l的斜率越大. 2.特殊直线的方程 （1）过点P1（x1，y1），垂直于x轴的直线方程为x＝x1； （2）过点P1（x1，y1），垂直于y轴的直线方程为y＝y1； （3）y轴的方程为x＝0；x轴的方程为y＝0.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（　　）
（2）直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.（　　）
（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（　　）
（4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）·（y2－y1）表示.（　　）
2.已知点A（2，0），B（3，），则直线AB的倾斜角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.已知直线l过点（1，1），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（　　）
A.x＋y＝1 B.x－y＝1
C.y＝1 D.x＝1
4.直线y＝k（x＋1）（k＞0）的图象可能是（　　）
5.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程为　　　　.
直线的倾斜角与斜率
（基础自学过关）
1.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）
A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2
C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1
2.直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）
A.[0，π）
B.［0，］∪［，π）
C.［0，］
D.［0，］∪（ ，π）
3.直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为　　　　；倾斜角的取值范围为　　　　.
4.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　，　　　　.
解决直线的倾斜角与斜率问题的方法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性求解； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可. 提醒：根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0，）与（ ，π）两种情况讨论.
直线的方程
（师生共研过关）
求符合下列条件的直线方程：
（1）直线过点A（－1，－3），且斜率为－；
（2）〔一题多解〕直线过点A（0，－1）和B（－1，5）；
（3）直线过点A（2，1），且横截距为纵截距的两倍.
求直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数. 提醒：（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在；（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
训练1 （1）〔一题多解〕已知直线l的一个方向向量为n＝（2，3），若l过点A（－4，3），则直线l的方程为（　　）
A.y－3＝－（x＋4）
B.y＋3＝（x－4）
C.y－3＝（x＋4）
D.y＋3＝－（x－4）
（2）已知A（－1，1），B（3，1），C（1，3），则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为　　　　　　；
（3）已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），则过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为　　　　　　.
直线方程的综合应用
（师生共研过关）
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.
直线方程综合问题的两大类型及解法 （1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决； （2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
训练2 （1）已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为　　　　；
（2）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝　　　　.
第1节　直线的方程
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（2）①向上　②0°　③0°≤α＜180°
（3）②
2.y－y0＝k（x－x0）　y＝kx＋b
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.B　3.D　4.B　5.x＋y＋1＝0
【研透核心考点】
考点1
1.A　2.B　
3.（－∞，－]∪[1，＋∞）　　4.　－3　
考点2
【例1】　解：（1）∵所求直线过点A（－1，－3），且斜率为－，
∴所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），即x＋4y＋13＝0.
（2）法一（两点式）　由直线过点A（0，－1）和B（－1，5）得两点式方程为＝，
整理得6x＋y＋1＝0.
法二（点斜式）　由直线过点A（0，－1）和B（－1，5）得kAB＝＝－6，
直线方程为y＋1＝－6（x－0），整理得6x＋y＋1＝0.
（3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点（2，1），∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
训练1　（1）C　（2）x－y＋2＝0　（3）2x＋3y＋1＝0　解析：（1）法一　因为直线l的一个方向向量为n＝（2，3），所以直线l的斜率k＝，故直线l的方程为y－3＝（x＋4）.故选C.
法二　设P（x，y）是直线l上的任意一点（不同于A），则＝（x＋4，y－3），因为直线l的一个方向向量为n＝（2，3），所以3（x＋4）－2（y－3）＝0，故直线l的方程为y－3＝（x＋4）.故选C.
（2）因为B（3，1），C（1，3），所以kBC＝＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A（－1，1），所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0.
（3）因为P（2，3）在已知直线上，所以2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0.所以过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
考点3
【例2】　解：（1）证明：直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）＝0，令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点（－2，1）.
（2）由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，
则解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞）.
（3）由题意可知k＞0，由l的方程，得A（－，0），B（0，1＋2k）.
∵S＝·｜OA｜·｜OB｜＝·｜·｜1＋2k｜＝·＝（4k＋＋4）≥×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
训练2　（1）　（2）　解析：（1）由题得A（2，0），B（0，1），由动点P（a，b）在线段AB上.可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝（2－2b）b＝－2b2＋2b＝－2（b－）2＋.由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.
（2）由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×（2－a）＋×2×（a2＋2）＝a2－a＋4＝（ a－）2＋.又0＜a＜2，所以当a＝时，四边形的面积最小.
1 / 1(共58张PPT)
第1节　直线的方程
课标要求
1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过
程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 直线的倾斜角与斜率
（1）直线的方向向量
设A，B为直线上两点，则 就是这条直线的方向向量，斜率为k的直线
的一个方向向量为（1，k）.直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一个方
向向量为a＝（－B，A）.
（2）直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l
的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
②规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 ；
③范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
向上　
0°　
0°≤α＜180°　
（3）直线的斜率
①定义式：直线l的倾斜角为α（α≠90°），则斜率k＝tan α；
②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且x1≠x2，则
l的斜率k＝ .
　
提醒：如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果
y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在.
2. 直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式
不含垂直于x轴的直线
斜截式 不含垂直于x轴的直线
y－y0＝k（x－
x0）　
y＝kx＋b　
名称 方程 适用范围
两点式 ＝ （x1≠x2，y1≠y2） 不含垂直于x轴，y轴的直线
截距式 ＋ ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是
零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
1. 当直线l的倾斜角α∈［0， ）时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈
（ ，π）时，α越大，直线l的斜率越大.
2. 特殊直线的方程
（1）过点P1（x1，y1），垂直于x轴的直线方程为x＝x1；
（2）过点P1（x1，y1），垂直于y轴的直线方程为y＝y1；
（3）y轴的方程为x＝0；x轴的方程为y＝0.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大. （　×　）
（2）直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α. （　×　）
（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. （　×　）
（4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用
方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）·（y2－y1）表示. （　√　）
×
×
×
√
2. 已知点A（2，0），B（3， ），则直线AB的倾斜角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
√
解析： 　由题意得直线AB的斜率k＝ ＝ ，设直线AB的倾斜角为
α，则tan α＝ ，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.
3. 已知直线l过点（1，1），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（　　）
A. x＋y＝1 B. x－y＝1
C. y＝1 D. x＝1
√
解析： 　因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线的斜率不存在，与x轴
垂直.又因为直线l过点（1，1），所以直线l的方程为x＝1.
4. 直线y＝k（x＋1）（k＞0）的图象可能是（　　）
√
解析： 　因为k＞0，故A、C不正确；当x＝－1时，y＝0，直线过点
（－1，0）.故选B.
5. 倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程为 .
解析：直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即
x＋y＋1＝0.
x＋y＋1＝0　
02
PART
研透核心考点
直线的倾斜角与斜率（基础自学过关）
1. 如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）
A. k1＜k3＜k2
B. k3＜k1＜k2
C. k1＜k2＜k3
D. k3＜k2＜k1
√
解析： 　当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，
斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1＜k3＜k2.
2. 直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）
A. [0，π） B. ［0， ］∪［ ，π）
C. ［0， ］ D. ［0， ］∪（ ，π）
√
解析： 　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－ sin α.因为 sin α∈[－
1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤ 或 ≤θ＜
π.故选B.
3. 直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0， ）为端点的线段
有公共点，则直线l斜率的取值范围为
；倾斜角的取值范围为 .
解析：如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1
＝ ＝－ ；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，
则k2＝ ＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直
线l的斜率的取值范围是（－∞，－ ]∪[1，＋∞），倾斜角的取值范围是 .
（－∞，－ ]∪[1，＋
∞）　
　
4. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在
直线的斜率分别为 ， .
解析：如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜
率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在
直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线
OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故
kOA＝tan（θ－45°）＝ ＝ ＝ ，kOC＝tan（θ＋45°）＝ ＝ ＝－3.
　
－3　
解决直线的倾斜角与斜率问题的方法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图
形，结合正切函数的单调性求解；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之
亦可.
提醒：根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0， ）与（ ，π）两种情况
讨论.
直线的方程（师生共研过关）
求符合下列条件的直线方程：
（1）直线过点A（－1，－3），且斜率为－ ；
解： ∵所求直线过点A（－1，－3），且斜率为－ ，
∴所求直线方程为y＋3＝－ （x＋1），即x＋4y＋13＝0.
（2）〔一题多解〕直线过点A（0，－1）和B（－1，5）；
解： 法一（两点式）　由直线过点A（0，－1）和B（－1，5）得两点式
方程为 ＝ ，
整理得6x＋y＋1＝0.
法二（点斜式）　由直线过点A（0，－1）和B（－1，5）得kAB＝ ＝
－6，
直线方程为y＋1＝－6（x－0），整理得6x＋y＋1＝0.
（3）直线过点A（2，1），且横截距为纵截距的两倍.
解：当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点（2，1），∴1＝2k，解得k＝ ，
∴直线方程为y＝ x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为 ＋ ＝1，
由题意可得 解得
∴直线方程为 ＋ ＝1，即x＋2y－4＝0.
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
求直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线
方程；
（2）待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定
的系数，再由题设条件求出待定系数.
提醒：（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否
存在；（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是
否为0；（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是
否为0.
训练1 （1）〔一题多解〕已知直线l的一个方向向量为n＝（2，3），若l
过点A（－4，3），则直线l的方程为（　C　）
A. y－3＝－ （x＋4） B. y＋3＝ （x－4）
C. y－3＝ （x＋4） D. y＋3＝－ （x－4）
解析： 法一　因为直线l的一个方向向量为n＝（2，3），所以直线l
的斜率k＝ ，故直线l的方程为y－3＝ （x＋4）.故选C.
C
法二　设P（x，y）是直线l上的任意一点（不同于A），则 ＝（x＋
4，y－3），因为直线l的一个方向向量为n＝（2，3），所以3（x＋4）
－2（y－3）＝0，故直线l的方程为y－3＝ （x＋4）.故选C.
（2）已知A（－1，1），B（3，1），C（1，3），则△ABC的边BC上
的高所在的直线方程为 ；
解析：因为B（3，1），C（1，3），所以kBC＝ ＝－1，故BC边上的
高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A（－1，1），所以其所在的直线
方程为x－y＋2＝0.
x－y＋2＝0　
（3）已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，
3），则过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
为 .
解析：因为P（2，3）在已知直线上，所以2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1
＝0.所以过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为2x
＋3y＋1＝0.
2x＋3y＋1＝0　
直线方程的综合应用（师生共研过关）
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.
（1）证明：直线l过定点；
解： 证明：直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）＝0，令
解得
∴无论k取何值，直线总经过定点（－2，1）.
（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－ ，在y轴上的截
距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，
则 解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞）.
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积
为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.
解：由题意可知k＞0，由l的方程，得A（－ ，0），B（0，1＋2k）.
∵S＝ ·｜OA｜·｜OB｜＝ ·｜ ｜·｜1＋2k｜＝ · ＝
（4k＋ ＋4）≥ ×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝
，即k＝ ，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
直线方程综合问题的两大类型及解法
（1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题
转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决；
（2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知
识来解决.
训练2 （1）已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动
点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为 ；
解析： 由题得A（2，0），B（0，1），由动点P（a，b）在线段AB
上.可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝（2－2b）b＝
－2b2＋2b＝－2（b－ ）2＋ .由于0≤b≤1，故当b＝ 时，ab取得最
大值 .
　
（2）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a＜2
时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则
实数a＝ .
解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1在y轴上的截距为2
－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝ ×2×（2－
a）＋ ×2×（a2＋2）＝a2－a＋4＝（ a－ ）2＋ .又0＜a＜2，所以
当a＝ 时，四边形的面积最小.
　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是（　　）
A. （2，3） B. （3，2）
C. （2，－3） D. （3，－2）
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√
解析： 　2x－3y＋1＝0 y＝ x＋ ，所以该直线的一个方向向量为
（ 1， ），因为（3，2）＝3（ 1， ），所以向量（3，2）与向量（ 1，
）是共线向量，其他选项的向量与向量（ 1， ）不是共线向量，故选B.
2. 已知直线l的斜率为 ，在y轴上的截距为直线x－2y－4＝0的斜率的
倒数，则直线l的方程为（　　）
A. y＝ x＋2 B. y＝ x－2
C. y＝ x－ D. y＝－ x－2
√
解析： 　直线x－2y－4＝0的斜率为 ，所以直线l在y轴上的截距为2，
所以直线l的方程为y＝ x＋2.故选A.
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3. 如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
√
解析： 　由AB＞0且BC＜0，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C
也是异号，令x＝0，得y＝－ ＞0；令y＝0，得x＝－ ＞0，所以直线
Ax＋By＋C＝0不经过第三象限.故选C.
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4. 若直线y＝ax＋1与连接A（2，3），B（－3，2）的线段总有公共点，
则实数a的取值范围是（　　）
A. ［－1， ］
B. （－∞，－ ］∪[1，＋∞）
C. ［－ ，1］
D. （－∞，－2]∪［ ，＋∞）
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解析： 　由直线y＝ax＋1可得直线的斜率为a，且过定点P（0，1），
又A（2，3），B（－3，2），则由图可得，要使直线与线段AB总有公共
点，需满足a≥kPA或a≤kPB，又kPA＝ ＝1，kPB＝ ＝－ ，所以
a≥1或a≤－ .故选B.
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5. 〔多选〕下列说法正确的有（　　）
A. 若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限
B. 直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2）
C. 过点（2，－1）且斜率为－ 的点斜式方程为y＋1＝－ （x－2）
D. 斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3
√
√
√
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解析： 　对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线
的斜率k＜0，截距b＞0，故点（k，b）在第二象限，所以A正确；对于
B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a（x－3）＋（－y＋2）＝0，所
以无论a取何值，点（3，2）都满足方程，所以B正确；对于C，过点
（2，－1）且斜率为－ 的点斜式方程为y＋1＝－ （x－2），所以C
正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋
3，所以D错误.故选A、B、C.
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6. 〔多选〕已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的
是（　　）
A. 直线的倾斜角是π－α
B. 无论α如何变化，直线不过原点
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
√
√
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解析： 　根据直线倾斜角的范围为[0，π），而π－α∈R，A不正确；
当x＝y＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正
确；当α＝ 时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交
时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝ ｜ ｜·｜ ｜＝
≥1，D正确.
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7. 若A（－2，3），B（3，－2），C（ ，m）三点共线，则m
＝ .
解析：因为kAB＝－1，且A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC＝
＝－1.解得m＝ .
　
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8. 已知点M是直线l：y＝ x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转
30°，则所得到的直线l'的方程为 .
解析：在y＝ x＋3中，令y＝0，得x＝－ ，即M（－ ，0）.因为
直线l的斜率为 ，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转
30°，则得到的直线l'的倾斜角为90°，此时直线l'的斜率不存在，故其方
程为x＝－ ；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角
为30°，此时直线l'的斜率为tan 30°＝ ，故其方程为y＝ （x＋ ）.
x＝－ 或y＝ （x＋ ）　
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9. （13分）设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）.
（1）若l在两坐标轴上的截距之和为0，求l的方程；
解： 当a＝－1时，直线l平行于x轴，在x轴上无截距，不符合题
意，则a≠－1，
直线l在x，y轴上的截距分别为 ，a－2，
依题意， ＋a－2＝0，解得a＝±2，
当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0，当a＝－2时，直线l的方程为x－
y－4＝0，
所以直线l的方程为3x＋y＝0或x－y－4＝0.
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（2）是否存在实数a，使直线l不经过第三象限？若存在，求实数a的取
值范围；若不存在，请说明理由.
解： 假设存在实数a，使直线l不经过第三象限，
直线l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，
则有 解得a≥2，
所以存在实数a使直线l不经过第三象限，a的取值范围为[2，＋∞）.
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10. 若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（　　）
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. b＜a＜c
√
解析： 　a＝ ＝ ，b＝ ＝ ，c＝ ＝
分别表示（2，ln 2），（3，ln 3），（5，ln 5）
与（1，0）连线的斜率.由图可知，c＜b＜a.
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11. 〔多选〕已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，
β.若α＜β，则下列关系可能成立的是（　　）
A. 0＜k1＜k2 B. k1＜k2＜0
C. k2＜k1＜0 D. k2＜0＜k1
√
√
√
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解析： 　若0＜α＜β＜ ，因为y＝tan θ在（ 0， ）上单调递增，则0
＜tan α＜tan β，即0＜k1＜k2，所以A可能成立；若 ＜α＜β＜π，因为y＝
tan θ在（ ，π）上单调递增，则tan α＜tan β＜0，即k1＜k2＜0，所以B可
能成立；对于C，由k2＜k1＜0可知α，β∈（ ，π），且tan β＜tan α，即β
＜α，与题意矛盾，不可能成立；若0＜α＜ ＜β＜π，则tan α＞0，tan β＜
0，即k2＜0＜k1，所以D可能成立.故选A、B、D.
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12. 已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段
PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋2，则 的取值范围为
.
解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为M（x0，y0），即x0
＝ ，y0＝ .由 两式相加，得（x1＋x2）＋
3（y1＋y2）＋4＝0，则2x0＋6y0＋4＝0，即x0＋3y0＋2＝0，由y0＜x0＋
2，得x0＞－2，则 ＝ ＝－ － ∈（－∞，－ ）∪（0，＋
∞）.
（－∞，
－ ）∪（0，＋∞）　
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13. （2026·贵州六盘水第一次联考）在平面直角坐标系中，等边三角形
ABC的边AB所在直线的斜率为2 ，则边AC所在直线斜率的可能值
为 .
－ 或 　
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解析：设直线AB的倾斜角为α，则kAB＝tan α＝2 .设直线AC的倾斜角
为θ，在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以当θ＝α＋60°时，kAC＝
tan θ＝tan（α＋60°）＝ ＝ ＝－ ；当θ＝α－60°
时，kAC＝tan θ＝tan（α－60°）＝ ＝ ＝ .综上所
述，kAC＝－ 或kAC＝ .
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14. （15分）〔一题多解〕已知一条直线l过点P（1，4），且分别交x
轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点，求：
（1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
解：设直线l在x轴、y轴的正半轴的截距分别为a，b，则｜OA｜＝
a，｜OB｜＝b，直线l的方程为 ＋ ＝1.因为直线l过点P（1，4），
所以 ＋ ＝1.
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（1）因为1＝ ＋ ≥2 ，所以a·b≥16，
所以S△AOB＝ ab≥8，当且仅当 ＝ 时取“＝”，即 ＝ ＝ ，此时a
＝2，b＝8，
所以△AOB面积的最小值为8，此时直线l的方程为 ＋ ＝1，即4x＋y－
8＝0.
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（2）｜PA｜·｜PB｜取最小值时直线l的倾斜角.
解：法一 设直线l与x轴所成锐角为θ，则｜PA｜＝ ，｜PB｜＝ ，
所以｜PA｜·｜PB｜＝ · ＝ ≥8，当且仅当 sin 2θ＝1即θ＝ 时
取“＝”.
此时直线l的倾斜角为π－θ＝ .
法二 ｜PA｜·｜PB｜＝－ · ＝－（a－1，－4）·（－1，b－4）＝a
＋4b－17＝（a＋4b）·（ ＋ ）－17＝ ＋ ≥2 ＝8，当且仅
当a＝b时取“＝”，此时直线l的倾斜角为 .
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15. 〔创新设问〕〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：
2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则直线l的倾
斜角可能为（　　）
A. 0 B. C. D.
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解析： 将点A（－2，－1）代入直线l：2ax－2y＋3a
－3＝0得a＝－1，再将点B（2，2）代入直线l：2ax－
2y＋3a－3＝0得a＝1，故点A，B不可能同时在直线l
上，又因为｜AB｜＝ ＝5，
且｜PA｜＋｜PB｜＝5，所以点P的轨迹为线段AB，即直线l与线段AB恒有交点，又因为直线l：2ax－2y＋3a－3＝0，即a（2x＋3）＋（－2y－3）＝0，所以直线l恒过定点C（－ ，－ ），作出示意图，此时kAC＝ ＝－1，kBC＝ ＝1，故直线l的斜率的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞），且直线的斜率存在，故直线l的倾斜角的取值范围是［ ， ）∪（ ， ］.故选B、D.
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