资源简介

第2节　两直线的位置关系
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l的方程是（　　）
A.3x－2y－1＝0 B.3x－2y＋1＝0
C.2x＋3y－5＝0 D.2x－3y＋1＝0
3.已知点A（1，2）与B（3，3）关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为（　　）
A.2，－ B.－2，－
C.－2， D.2，
4.垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P（－1，0）的距离是的直线l的方程为（　　）
A.3x－y＋9＝0
B.3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
C.3x－y＋3＝0
D.3x－y－9＝0或3x－y＋3＝0
5.四边形ABCD的四个顶点是A（3，0），B（0，4），C（4，7），D（11，6），则四边形ABCD为（　　）
A.矩形 B.菱形
C.等腰梯形 D.直角梯形
6.〔多选〕已知直线l1：4x＋3y－2＝0，l2：（m＋2）x＋（m－1）y－5m－1＝0（m∈R），则（　　）
A.直线l2过定点（2，3）
B.当m＝10时，l1∥l2
C.当m＝－1时，l1⊥l2
D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为3
7.直线2x＋4y－5＝0关于直线x＝2对称的直线的方程为　　　　　　　.
8.已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P（2，－1）到直线l距离的最大值为　　　　.9.（13分）已知直线l经过点P（－2，1），且与直线x＋y＝0垂直.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程；
（3）若直线n与直线l相交于点P，且在x轴、y轴上截距相等，求直线n的方程.
10.〔一题多解〕（2026·江苏泰州模拟）若直线l1：2x－y＋1＝0与x轴交于点A，直线l2：x－3y－3＝0与x轴交于点B，直线l1与l2交于点P，则∠APB＝（　　）
A. B.
C.π D.
11.若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（　　）
A.3 B.2
C. D.4
12.〔多选〕已知在以C（2，3）为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是（　　）
A.斜边AB的中点坐标是（3，2）
B.｜AB｜＝2
C.△ABC的面积等于4
D.点C关于直线AB的对称点的坐标是（4，1）
13.如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，点A与坐标原点重合，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，将矩形折叠，使点A落在线段DC上，若折痕所在直线的斜率为k，则折痕所在直线的方程为　　　　.
14.（15分）已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）.
（1）试在l上求一点P，使｜AP｜＋｜CP｜最小；
（2）试在l上求一点Q，使｜｜AQ｜－｜BQ｜｜最大.
15.〔创新交汇〕设a∈R，则直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x－ay＋a－2＝0与l3：x－y－1＝0围成的三角形的面积的最大值为　　　　.
第2节　两直线的位置关系
1.C　2.C　3.A　4.B　5.D　6.ABD　
7.2x－4y－3＝0　8.　
9.解：（1）直线l与直线x＋y＝0垂直，且直线x＋y＝0的斜率为－1，则直线l的斜率为1.
又直线l经过点P（－2，1），故直线l的方程为y－1＝x－（－2），化简得x－y＋3＝0.
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0（c≠3），
又点P（－2，1）到直线m的距离为，则＝，解得c＝1或c＝5.
故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
（3）由于直线n在x轴、y轴上截距相等，
①当截距都为0时，则直线n过原点，且过点P（－2，1），
故直线n的方程为y＝－x，即x＋2y＝0；
②当截距都不为0时，则可设直线n的方程为＋＝1，
由直线n过点P（－2，1），得＋＝1，解得a＝－1，
则直线n的方程为x＋y＋1＝0.
综上，直线n的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.
10.D　法一　直线l1：2x－y＋1＝0与x轴交于点A，令y＝0得x＝－，即A（ －，0）.直线l2：x－3y－3＝0与x轴交于点B，令y＝0得x＝3，即B（3，0）.由得则直线l1与l2的交点为P（ －，－），则＝（ ，），＝（ ，），则cos＜，＞＝＝＝，又＜，＞∈[0，π]，则＜，＞＝，则∠APB＝.故选D.
法二　设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为β，则∠APB＝α－β，又tan α＝2，tan β＝，则tan∠APB＝tan（α－β）＝＝＝1，故∠APB＝.
11.A　由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，得c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.故选A.
12.ABD　如图，取AB的中点为P（x，y），因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝＝－1，且x－y＝1，解得则AB的中点P的坐标为（3，2），故A正确；｜CP｜＝＝，｜AB｜＝2｜CP｜＝2，故B正确；所以S△ABC＝｜AB｜｜CP｜＝×2×＝2，故C错误；设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3，所以＝4，所以＝－1，解得＝1，即点C关于直线AB的对称点的坐标是（4，1），故D正确.
13.2kx－2y＋k2＋1＝0（－2≤k≤0）
解析：当k＝0时，点A和点D重合，此时折痕所在直线的方程为y＝；当k≠0时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点设为G（a，1）（0＜a≤2），所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，所以kOG×k＝－1，即×k＝－1，解得a＝－k，故G（－k，1）（－2≤k＜0），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标为（ －，），所以折痕所在直线的方程为y－＝k（ x＋），即y＝kx＋＋（－2≤k＜0）.综上所述，折痕所在直线的方程为2kx－2y＋k2＋1＝0（－2≤k≤0）.
14.解：（1）如图1，设点C关于l的对称点为C'（a，b），
则
解得
所以C'（－1，1），所以直线AC'的方程为y＝1.
由得直线AC'与直线l的交点为P（，1），此时｜AP｜＋｜CP｜取最小值.
（2）如图2，设点B关于l的对称点为B'（m，n），
则解得
所以B'（3，3），所以直线AB'的方程为2x＋y－9＝0，
由得直线AB'与直线l的交点为Q（2，5），此时｜｜AQ｜－｜BQ｜｜取最大值.
15.2　解析：由题知直线l1⊥l2，直线l1过定点A（0，－1），直线l2过定点B（2，1），且点A，B在直线l3上.设直线l1，l2交于点P，则三条直线围成的三角形为△PAB，且PA⊥PB，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝（2－0）2＋（1＋1）2＝8.因为8＝｜PA｜2＋｜PB｜2≥2｜PA｜·｜PB｜，所以｜PA｜·｜PB｜≤4，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝2时，等号成立，所以S△PAB＝｜PA｜·｜PB｜≤2，所以（S△PAB）max＝2.
1 / 1第2节　两直线的位置关系
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知识梳理
1.两条直线的位置关系
类别 斜截式 一般式
方程 y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0（＋≠0），A2x＋B2y＋C2＝0（＋≠0）
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝　　
平行 k1＝k2，且　　　　 或
重合 k1＝k2，且　　　　 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
提醒：在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略一条直线或两条直线斜率不存在的情形.
2.两直线相交
（1）交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应；
（2）相交 方程组有　　　　　，交点坐标就是方程组的解；
（3）平行 方程组　　　　；
（4）重合 方程组有　　　　　　.
3.距离公式
点点距 两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离 ｜P1P2｜＝　　　　　　　
点线距 点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝　　　　　　
线线距 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝　　　　　　
提醒：（1）利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式；（2）利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为x，y的系数对应相等的一般式.
与对称问题相关的六个结论 （1）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（－x，－y）； （2）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a－x，2b－y）； （3）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y），关于y轴的对称点为（－x，y）； （4）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，2b－y）； （5）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x的对称点为（－y，－x）； （6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y，k－x），关于直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.（　　）
（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.（　　）
（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.（　　）
（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.（　　）
2.若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m＝（　　）
A.4　　　B.－4　　　C.1　　　D.－1
3.已知点P（－1，2）到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C＝　　　　.
4.两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0间的距离为　　　　.
5.已知直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0相交，则这两条直线的交点坐标为　　　　，过交点并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为　　　　.
两条直线的位置关系
（基础自学过关）
1.已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知直线l1：ax＋（a－1）y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是（　　）
A.0或－1 B.－1或1
C.－1 D.1
3.若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（　　）
A.（ －，） B.（ －，）
C.［－，－］ D.［－，］
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为　　　　.
判断两直线位置关系的注意点 （1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件； （2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
距离问题
（师生共研过关）
（1）〔多选〕已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－2）到l的距离相等，则l的方程可能是（　　）
A.x－2y＋2＝0
B.2x－y－2＝0
C.2x＋3y－18＝0
D.2x－3y＋6＝0
（2）已知直线l：（m＋1）x－y－3m－2＝0，则点P（－1，－1）到直线l的距离的最大值为　　　　.
听课记录
求解距离问题的思路 （1）点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式； （2）两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式.
训练1 （1）若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是　　　　；
（2）设直线l：3x＋2y－6＝0，P（m，n）为直线l上的动点，则（m－1）2＋n2的最小值为　　　　.
对称问题
（定向精析突破）
考向1　中心对称
（1）直线x－2y－3＝0关于定点M（－2，1）对称的直线方程是　　　　；
（2）过点P（0，1）作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为　　　　　　　.
听课记录
中心对称问题的类型及解题策略 （1）点关于点对称：若点M（x1，y1）和点N（x，y）关于点P（a，b）对称，则由中点坐标公式得进而求解； （2）直线关于点对称：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
考向2　轴对称问题
（1）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为　　　　；
（2）直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是　　　　.
听课记录
轴对称问题的类型及解题策略 （1）点关于直线对称：若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中B≠0，x1≠x2）； （2）直线关于直线对称：设直线l1关于直线l的对称直线为l2.①当l1与l相交时，则交点必在l2上，再求出l1上某个点P1关于直线l对称的点P2，那么由交点及点P2的坐标即可求出直线l2的方程；②当l1∥l时，借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程，再利用两平行直线间的距离公式列出方程，求得直线l2的方程中的常数项，从而得l2的方程.
训练2 （1）坐标原点（0，0）关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是（　　）
A. B.
C. D.
（2）光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有（　　）
A.a＝，b＝6 B.a＝－3，b＝
C.a＝3，b＝－ D.a＝－，b＝－6
直线系方程
直线系方程的设法
（1）过点（x0，y0）的直线系方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0（其中A，B不全为零）；
（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋C0＝0（C≠C0）；
（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋C0＝0；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0.（这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意）
（1）〔一题多解〕过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为　　　　；
（2）经过点A（2，1）且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为　　　　；
（3）已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为　　　　　　.
听课记录
第2节　两直线的位置关系
【夯实必备知识】
知识梳理
1.－1　A1A2＋B1B2＝0　b1≠b2　b1＝b2
2.（2）唯一解　（3）无解　（4）无数个解
3.　
　
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.A　3.5或15　4.
5.（ －，）　4x－3y＋9＝0
【研透核心考点】
考点1
1.A　2.A　3.A　4.　
考点2
【例1】　（1）BC　（2）2　解析：（1）A，B在直线l同侧时，kl＝kAB＝＝－，∴l：y＝－（x－3）＋4，即2x＋3y－18＝0；A，B在直线l异侧时，l过AB中点M（1，0），∴kl＝＝2，∴l：y＝2（x－3）＋4，即2x－y－2＝0.故选B、C.
（2）直线l：（m＋1）x－y－3m－2＝0，即x－y－2＋m（x－3）＝0，由解得x＝3，y＝1，所以直线l恒过定点A（3，1），当直线l与直线AP垂直时，点P（－1，－1）到直线l的距离最大，最大值为｜AP｜＝＝2，所以点P（－1，－1）到直线l的距离的最大值为2.
训练1　（1）2或－6　（2）
解析：（1）由题意得 ＝≠，∴a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋ ＝0.由两平行线间的距离公式得 ＝，即｜＋1｜＝2，解得c＝2或c＝－6.
（2）（m－1）2＋n2表示点P（m，n）到点A（1，0）距离的平方，该距离的最小值为点A（1，0）到直线l的距离，即＝，则（m－1）2＋n2的最小值为.
考点3
【例2】　（1）x－2y＋11＝0　（2）x＋4y－4＝0　解析：（1）设所求直线上任一点（x，y），则关于M（－2，1）的对称点（－4－x，2－y）在已知直线上，所以所求直线方程为（－4－x）－2（2－y）－3＝0，即x－2y＋11＝0.
（2）设l1与l的交点为A（a，8－2a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a，2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4，即点A（4，0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
【例3】　（1）6x－y－6＝0　（2）x－2y＋3＝0　解析：（1）设点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M'（a，b），则反射光线所在直线过点M'，所以解得又反射光线经过点N（2，6），所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
（2）设所求直线上任意一点P（x，y），点P关于x－y＋2＝0的对称点为P'（x0，y0），由得因为点P'（x0，y0）在直线2x－y＋3＝0上，所以2（y－2）－（x＋2）＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
训练2　（1）A　（2）D　解析：（1）设对称点的坐标为（x0，y0），则解得即所求点的坐标是.
（2）由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点（0，2）关于直线y＝－x的对称点（－2，0）在直线y＝－3x＋b上，所以（－3）×（－2）＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点（0，－6）关于直线y＝－x的对称点（6，0）在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－.
衔接教材
【例】　（1）2x＋3y＋10＝0　（2）x－2y＝0
（3）4x＋3y－6＝0　解析：（1）法一　设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知2×1＋3×（－4）＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
法二　过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线为2（x－1）＋3（y＋4）＝0，即2x＋3y＋10＝0.
（2）因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A（2，1）， 所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.
（3）设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，即（1＋λ）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3（1＋λ）－4（λ－2）＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
1 / 1(共71张PPT)
第2节　两直线的位置关系
课标要求
1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3. 探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 两条直线的位置关系
类别 斜截式 一般式
方程 y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0（ ＋ ≠0），A2x
＋B2y＋C2＝0（ ＋ ≠0）
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝
－1　
A1A2＋B1B2＝0　
类别 斜截式 一般式
平行 k1＝k2，
且
或
重合 k1＝k2， 且 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1
＝0
b1≠b2　
b1＝b2　
提醒：在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略一条直线或两条直线
斜率不存在的情形.
2. 两直线相交
（1）交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点
的坐标与方程组 的解一一对应；
（2）相交 方程组有 ，交点坐标就是方程组的解；
（3）平行 方程组 ；
（4）重合 方程组有 .
唯一解　
无解　
无数个解　
3. 距离公式
点点距 两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）之间的距离 ｜P1P2｜
＝

点线距 点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
线线距 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0
与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝
　
　
提醒：（1）利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般
式；（2）利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程
化为x，y的系数对应相等的一般式.
与对称问题相关的六个结论
（1）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（－x，－y）；
（2）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a－x，2b－y）；
（3）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y），关于y轴的对称点为
（－x，y）；
（4）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y），关于直线y
＝b的对称点为（x，2b－y）；
（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y，k－x），关于
直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k）.
（5）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x
的对称点为（－y，－x）；
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2. （　×　）
（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.
（　×　）
（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.
（　√　）
（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.
（　√　）
×
×
√
√
2. 若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m＝（　　）
A. 4 B. －4 C. 1 D. －1
√
解析： 　因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以 ＝
≠ ，解得m＝4.
3. 已知点P（－1，2）到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C＝
.
解析：利用点P（－1，2）到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，得
＝1，解得C＝5或15.
5或
15　
4. 两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0间的距离为 .
解析：由直线2x－4y－3＝0可得，x－2y－ ＝0，根据两条平行直线间
的距离公式知d＝ ＝ .
　
解析：由方程组 解得 即交点坐标为
（ － ， ），因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线
的斜率为k＝ .由点斜式得所求直线方程为y－ ＝ （ x＋ ），即4x－
3y＋9＝0.
5. 已知直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0相交，则这两条直线的交点坐
标为 ，过交点并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程
为 .
（ － ， ）　
4x－3y＋9＝0　
02
PART
研透核心考点
两条直线的位置关系（基础自学过关）
1. 已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是
“l1∥l2”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
解析： 　当l1∥l2时， ＝ ≠ ，则a＝±2，所以“a＝2”是“l1∥l2”
的充分不必要条件.故选A.
2. 已知直线l1：ax＋（a－1）y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，
则实数a的值是（　　）
A. 0或－1 B. －1或1
C. －1 D. 1
√
解析： 　由题意可知l1⊥l2，故2a＋a（a－1）＝0，解得a＝0或a＝－
1，经验证，符合题意.故选A.
3. 若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－ x＋2的交点在第一象限，则实数k
的取值范围是（　　）
A. （ － ， ） B. （ － ， ）
C. ［－ ，－ ］ D. ［－ ， ］
√
解析： 　 即交点为（ ， ），
因为交点在第一象限，所以 － ＜k＜ .故选A.
4. 已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成
三角形，则实数m的取值集合为 .
解析：由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平
行，或直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直
线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝ 或m＝
－ ；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，
m＝－ .所以实数m的取值集合为{－ ，－ ， }.
　
判断两直线位置关系的注意点
（1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要
考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还
要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件；
（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的
关系得出结论.
距离问题（师生共研过关）
（1）〔多选〕已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－
2）到l的距离相等，则l的方程可能是（　BC　）
A. x－2y＋2＝0 B. 2x－y－2＝0
C. 2x＋3y－18＝0 D. 2x－3y＋6＝0
BC
解析： A，B在直线l同侧时，kl＝kAB＝ ＝－ ，∴l：y＝－ （x－
3）＋4，即2x＋3y－18＝0；A，B在直线l异侧时，l过AB中点M（1，
0），∴kl＝ ＝2，∴l：y＝2（x－3）＋4，即2x－y－2＝0.故选
B、C.
（2）已知直线l：（m＋1）x－y－3m－2＝0，则点P（－1，－1）到直
线l的距离的最大值为 .
解析：直线l：（m＋1）x－y－3m－2＝0，即x－y－
2＋m（x－3）＝0，由 解得x＝3，y
＝1，所以直线l恒过定点A（3，1），当直线l与直线
AP垂直时，点P（－1，－1）到直线l的距离最大，
最大值为｜AP｜＝ ＝2 ，所以点P（－1，－
1）到直线l的距离的最大值为2 .
2 　
求解距离问题的思路
（1）点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但
要注意此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间的距
离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的
距离公式.
训练1 （1）若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为
，则c的值是 ；
解析： 由题意得 ＝ ≠ ，∴a＝－4，c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可
化为3x－2y＋ ＝0.由两平行线间的距离公式得 ＝ ，即｜ ＋
1｜＝2，解得c＝2或c＝－6.
2或－6　
（2）设直线l：3x＋2y－6＝0，P（m，n）为直线l上的动点，则（m
－1）2＋n2的最小值为 .
解析： （m－1）2＋n2表示点P（m，n）到点A（1，0）距离的平方，
该距离的最小值为点A（1，0）到直线l的距离，即 ＝ ，则
（m－1）2＋n2的最小值为 .
　
对称问题（定向精析突破）
考向1　中心对称
（1）直线x－2y－3＝0关于定点M（－2，1）对称的直线方程是
；
解析： 所求直线上任一点（x，y），则关于M（－2，1）的对称点（－
4－x，2－y）在已知直线上，所以所求直线方程为（－4－x）－2（2－
y）－3＝0，即x－2y＋11＝0.
x
－2y＋11＝0　
（2）过点P（0，1）作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y
＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 .
解析：设l1与l的交点为A（a，8－2a），则由题意知，点A关于点P的
对称点B（－a，2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10
＝0，解得a＝4，即点A（4，0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y
－4＝0.
x＋4y－4＝0　
中心对称问题的类型及解题策略
（1）点关于点对称：若点M（x1，y1）和点N（x，y）关于点P（a，
b）对称，则由中点坐标公式得 进而求解；
（2）直线关于点对称：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出
它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直线方程；②求出
一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
考向2　轴对称问题
（1）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反
射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为
；
6x－y
－6＝0　
解析： 点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M'（a，
b），则反射光线所在直线过点M'，所以 解得
又反射光线经过点N（2，6），所以所求直线的方程为 ＝
，即6x－y－6＝0.
（2）直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是
.
解析：设所求直线上任意一点P（x，y），点P关于x－y＋2＝0的对称
点为P'（x0，y0），由 得 因为点P'
（x0，y0）在直线2x－y＋3＝0上，所以2（y－2）－（x＋2）＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
x－2y
＋3＝0　
轴对称问题的类型及解题策略
（1）点关于直线对称：若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：
Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组 可得到
点P1关于直线l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中B≠0，x1≠x2）；
（2）直线关于直线对称：设直线l1关于直线l的对称直线为l2.①当l1与l相
交时，则交点必在l2上，再求出l1上某个点P1关于直线l对称的点P2，那么
由交点及点P2的坐标即可求出直线l2的方程；②当l1∥l时，借助两直线平
行所满足的条件设出对称直线l2的方程，再利用两平行直线间的距离公式
列出方程，求得直线l2的方程中的常数项，从而得l2的方程.
训练2 （1）坐标原点（0，0）关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是
（　A　）
A. B.
C. D.
A
解析： 对称点的坐标为（x0，y0），则 解得
即所求点的坐标是 .
（2）光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线
y＝ax＋2射出，则有（　D　）
A. a＝ ，b＝6 B. a＝－3，b＝
C. a＝3，b＝－ D. a＝－ ，b＝－6
解析：由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对
称，所以直线y＝ax＋2上的点（0，2）关于直线y＝－x的对称点（－2，
0）在直线y＝－3x＋b上，所以（－3）×（－2）＋b＝0，所以b＝－
6，所以直线y＝－3x－6上的点（0，－6）关于直线y＝－x的对称点
（6，0）在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－ .
D
直线系方程
直线系方程的设法
（1）过点（x0，y0）的直线系方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＝0（其
中A，B不全为零）；
（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋C0＝0
（C≠C0）；
（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋C0＝0；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点
的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0.（这个直线系
不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意）
（1）〔一题多解〕过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直
线方程为 ；
解析：法一　设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知2×1＋
3×（－4）＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
2x＋3y＋10＝0　
法二　过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线为2（x－1）
＋3（y＋4）＝0，即2x＋3y＋10＝0.
（2）经过点A（2，1）且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为
；
解析：因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－
2y＋c＝0.又直线过点A（2，1）， 所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
故所求直线方程为x－2y＝0.
x
－2y＝0　
（3）已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，过点
P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为 .
解析：设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，即（1＋λ）x
＋（λ－2）y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3（1＋λ）－4（λ－2）
＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
4x＋3y－6＝0　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－
a＝0平行”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 　若直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行，则a2－1
＝0，解得a＝1或a＝－1，当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y
－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，
即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此时l1，l2重合，不符合题意，所
以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充
要条件.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜
率为－ ，则直线l的方程是（　　）
A. 3x－2y－1＝0 B. 3x－2y＋1＝0
C. 2x＋3y－5＝0 D. 2x－3y＋1＝0
√
解析： 　解方程组 得 所以两直线的交点坐标为
（1，1）.因为直线l的斜率为－ ，所以直线l的方程为y－1＝－ （x－
1），即2x＋3y－5＝0.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 已知点A（1，2）与B（3，3）关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b
的值分别为（　　）
A. 2，－ B. －2，－
C. －2， D. 2，
√
解析： 　易知kAB＝ ，则直线ax＋y＋b＝0的斜率为－2，所以－a＝－
2，即a＝2.易知AB的中点坐标为（2， ），代入2x＋y＋b＝0，得b＝
－ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P（－1，0）的距离是 的直线l的
方程为（　　）
A. 3x－y＋9＝0
B. 3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
C. 3x－y＋3＝0
D. 3x－y－9＝0或3x－y＋3＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线方程为3x－y＋m＝0，则由
点到直线的距离公式知， ＝ ＝ .所以｜m－
3｜＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y
＋9＝0或3x－y－3＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 四边形ABCD的四个顶点是A（3，0），B（0，4），C（4，7），D
（11，6），则四边形ABCD为（　　）
A. 矩形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 直角梯形
√
解析： 　由题意得kBC＝ ＝ ，kAD＝ ＝ ，kAB＝ ＝－ ，kCD
＝ ＝－ ，∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，
∴四边形ABCD为梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四边形
ABCD为直角梯形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕已知直线l1：4x＋3y－2＝0，l2：（m＋2）x＋（m－1）y
－5m－1＝0（m∈R），则（　　）
A. 直线l2过定点（2，3）
B. 当m＝10时，l1∥l2
C. 当m＝－1时，l1⊥l2
D. 当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为3
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　直线l2：（m＋2）x＋（m－1）y－5m－1＝0（m∈R）
可化为m（x＋y－5）＋2x－y－1＝0，由 得
因此直线l2过定点（2，3），故A正确；当m＝10时，直线l1：4x＋3y－2
＝0，l2：12x＋9y－51＝0，因为 ＝ ≠ ，故两直线平行，故B正
确；当m＝－1时，直线l1：4x＋3y－2＝0，l2：x－2y＋4＝0，因为4×1
＋3×（－2）≠0，故两直线不垂直，故C错误；当l1∥l2时，则满足 ＝ ≠ ，解得m＝10，此时直线l1：4x＋3y－2＝0，l2：12x＋9y－51＝0，即4x＋3y－17＝0，则两直线l1，l2之间的距离为 ＝3，故D正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 直线2x＋4y－5＝0关于直线x＝2对称的直线的方程为
.
解析：设直线2x＋4y－5＝0上任意一点P（x0，y0）关于直线x＝2对称的
点为Q（x，y），则 所以 代入2x0＋4y0－5＝
0，得2（4－x）＋4y－5＝0，整理得2x－4y－3＝0.
2x－4y－3＝
0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P（2，－1）到直线l距离的最
大值为 .
解析：直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m（y－2）＝0，由
得 所以直线l过定点A（1，2），当直线l垂直于直
线AP时，距离最大，此时最大值为｜AP｜＝
＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. （13分）已知直线l经过点P（－2，1），且与直线x＋y＝0垂直.
（1）求直线l的方程；
解： 直线l与直线x＋y＝0垂直，且直线x＋y＝0的斜率为－1，则直
线l的斜率为1.
又直线l经过点P（－2，1），故直线l的方程为y－1＝x－（－2），化简
得x－y＋3＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为 ，求直线m的方
程；
解： 由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0
（c≠3），
又点P（－2，1）到直线m的距离为 ，则 ＝ ，解得c＝1
或c＝5.
故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）若直线n与直线l相交于点P，且在x轴、y轴上截距相等，求直线n
的方程.
解： 由于直线n在x轴、y轴上截距相等，
①当截距都为0时，则直线n过原点，且过点P（－2，1），
故直线n的方程为y＝－ x，即x＋2y＝0；
②当截距都不为0时，则可设直线n的方程为 ＋ ＝1，
由直线n过点P（－2，1），得 ＋ ＝1，解得a＝－1，
则直线n的方程为x＋y＋1＝0.
综上，直线n的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 〔一题多解〕（2026·江苏泰州模拟）若直线l1：2x－y＋1＝0与x轴交
于点A，直线l2：x－3y－3＝0与x轴交于点B，直线l1与l2交于点P，则
∠APB＝（　　）
A. B.
C. π D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　法一　直线l1：2x－y＋1＝0与x轴交于点A，令y＝0得x＝－
，即A（ － ，0）.直线l2：x－3y－3＝0与x轴交于点B，令y＝0得x
＝3，即B（3，0）.由 得 则直线l1与l2的交
点为P（ － ，－ ），则 ＝（ ， ）， ＝（ ， ），则 cos ＜
， ＞＝ ＝ ＝ ，又＜ ， ＞
∈[0，π]，则＜ ， ＞＝ ，则∠APB＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
法二　设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为β，则∠APB＝α－β，又
tan α＝2，tan β＝ ，则tan∠APB＝tan（α－β）＝ ＝ ＝1，故
∠APB＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：
x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（　　）
A. 3 B. 2
C. D. 4
√
解析： 　由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线
上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则 ＝ ，得c＝－6，
∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到
直线x＋y－6＝0的距离，即 ＝3 .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕已知在以C（2，3）为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，
顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是（　　）
A. 斜边AB的中点坐标是（3，2）
B. ｜AB｜＝2
C. △ABC的面积等于4
D. 点C关于直线AB的对称点的坐标是（4，1）
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　如图，取AB的中点为P（x，y），因为
△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以
CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝ ＝－
1，且x－y＝1，解得 则AB的中点P的坐标为
（3，2），故A正确；｜CP｜＝ ＝ ，｜AB｜＝2｜CP｜＝2 ，故B正确；所以S△ABC＝ ｜AB｜·｜CP｜＝ ×2 × ＝2，故C错误；设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝ ＝3，所以 ＝4，所以 ＝－1，解得 ＝1，即点C关于直线AB的对称点的坐标是（4，1），故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，
点A与坐标原点重合，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，将矩形折
叠，使点A落在线段DC上，若折痕所在直线的斜率为k，则折痕所在直线
的方程为 .
2kx－2y＋k2＋1＝0（－2≤k≤0）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：当k＝0时，点A和点D重合，此时折痕所在直线的方程为y＝ ；
当k≠0时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点设为G（a，1）（0＜
a≤2），所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，所以kOG×k＝－1，
即 ×k＝－1，解得a＝－k，故G（－k，1）（－2≤k＜0），从而折痕
所在的直线与OG的交点坐标为（ － ， ），所以折痕所在直线的方程
为y－ ＝k（ x＋ ），即y＝kx＋ ＋ （－2≤k＜0）.综上所述，折痕
所在直线的方程为2kx－2y＋k2＋1＝0（－2≤k≤0）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. （15分）已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C
（2，0）.
（1）试在l上求一点P，使｜AP｜＋｜CP｜最小；
解： 如图1，设点C关于l的对称点为C'（a，b），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
则 解得
所以C'（－1，1），所以直线AC'的方程为y＝1.
由 得直线AC'与直线l的交点为P（ ，1），此时｜
AP｜＋｜CP｜取最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）试在l上求一点Q，使｜｜AQ｜－｜BQ｜｜最大.
解： 如图2，设点B关于l的对称点为B'（m，n），
则 解得
所以B'（3，3），所以直线AB'的方程为2x＋y－9＝0，
由 得直线AB'与直线l的交点为Q（2，5），此时｜｜
AQ｜－｜BQ｜｜取最大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 〔创新交汇〕设a∈R，则直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x－ay＋a－2
＝0与l3：x－y－1＝0围成的三角形的面积的最大值为 .
解析：由题知直线l1⊥l2，直线l1过定点A（0，－1），直线l2过定点B
（2，1），且点A，B在直线l3上.设直线l1，l2交于点P，则三条直线围成
的三角形为△PAB，且PA⊥PB，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝
（2－0）2＋（1＋1）2＝8.因为8＝｜PA｜2＋｜PB｜2≥2｜PA｜·｜
PB｜，所以｜PA｜·｜PB｜≤4，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝2时，等号
成立，所以S△PAB＝ ｜PA｜·｜PB｜≤2，所以（S△PAB）max＝2.
2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑