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第3节　圆的方程
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.圆心为（2，1）且和x轴相切的圆的方程是（　　）
A.（x－2）2＋（y－1）2＝1
B.（x＋2）2＋（y＋1）2＝1
C.（x－2）2＋（y－1）2＝5
D.（x＋2）2＋（y＋1）2＝5
2.（2026·甘肃兰州模拟）若点（a＋1，a－1）在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部，则a的取值范围是（　　）
A.a＞1 B.0＜a＜1
C.－1＜a＜ D.a＜1
3.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知点P（4，－2），点Q是圆x2＋y2＝4上任意一点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（　　）
A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1
B.（x－2）2＋（y＋1）2＝4
C.（x＋2）2＋（y－1）2＝1
D.（x＋4）2＋（y－2）2＝4
5.〔一题多解〕（2023·全国乙卷11题）已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（　　）
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.7
6.〔多选〕已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（　　）
A.圆M的圆心坐标为（1，3）
B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x＋y＝0对称
D.点（2，3）在圆M内
7.若圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为　　　　.
8.（2026·江苏徐州模拟）已知点A（－3，0），B（1，0），平面内的动点P满足｜PB｜－3｜PA｜＝0，则点P的轨迹形成的图形周长是　　　　.
9.（13分）已知圆C过点A（4，0），B（0，4），且圆心C在直线l：x＋y－6＝0上.
（1）求圆C的方程；
（2）若从点M（4，1）发出的光线经过x轴反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程.
10.（2025·河南新乡模拟）曲线y＝（x≤）的长度为（　　）
A.2π　　　B. C.π　　　D.
11.〔多选〕设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（　　）
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点（3，0）
C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
12.〔多选〕在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C（0，7），动点P满足｜PA｜＝｜PB｜，则（　　）
A.点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8
B.△PAB面积最大时，｜PA｜＝2
C.∠PAB最大时，｜PA｜＝2
D.点P到直线AC的距离的最小值为
13.已知点P（x，y）为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则·（O为坐标原点）的取值范围是　　　　.
14.（15分）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点.
15.〔创新考法〕〔多选〕在平面直角坐标系中，曲线C：x2＋y2＝｜x｜＋｜y｜，对于此曲线，下列结论正确的是（　　）
A.曲线C围成的图形的周长是2π
B.曲线C围成的图形的面积是2π
C.曲线C上的任意两点间的距离不超过2
D.若P（m，n）是曲线C上任意一点，｜3m＋4n－12｜的最小值是
第3节　圆的方程
1.A　2.D　3.A　4.A
5.C　法一　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9，表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距离d＝≤3，解得1－3≤t≤1＋3.
法二　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3cos θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3cos θ－3sin θ＝1＋3·cos（θ＋）≤1＋3，当θ＝时取等号.
6.ABD　7.1　8.3π　
9.解：（1）由A（4，0），B（0，4），得直线AB的斜率为kAB＝＝－1，
线段AB的中点为D（2，2），所以kCD＝1，直线CD的方程为y－2＝x－2，即y＝x，
联立解得即C（3，3），
所以半径r＝｜AC｜＝＝，
所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－3）2＝10.
（2）M（4，1）关于x轴的对称点为N（4，－1），且N在直线l1上，
由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C（3，3），
＝＝－4，l1的方程为y－3＝－4（x－3），即4x＋y－15＝0.
10.D　由y＝（x≤），得x2＋y2＝4（x≤，y≥0），所以曲线y＝（x≤）是以坐标原点O为圆心，2为半径的圆弧，其中点A的横坐标为，则∠AOx＝，∠AOB＝π－＝，故曲线y＝（x≤）的长度为×2＝.
11.ABD　A选项，圆心为（k，k），一定在直线y＝x上，故A正确；B选项，将（3，0）代入得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4＜0，方程无解，即所有圆Ck均不经过点（3，0），故B正确；C选项，将（2，2）代入得k2－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8＞0，故经过点（2，2）的圆Ck有两个，故C错误；所有圆的半径均为2，面积均为4π，故D正确.故选A、B、D.
12.ABD　设P（x，y），由｜PA｜＝｜PB｜得，｜PA｜2＝2｜PB｜2，所以[x－（－1）]2＋（y－0）2＝2[（x－1）2＋（y－0）2]，化简得（x－3）2＋y2＝8，A项正确；由对A的分析知y∈[－2，2]，所以△PAB的面积S＝｜AB｜·｜y｜∈（0，2]，当△ABP面积最大时，P点坐标为（3，2）或（3，－2），此时｜PA｜＝＝2，B项正确；记圆（x－3）2＋y2＝8的圆心为D，则D（3，0），当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD（图略），则｜PA｜2＝｜AD｜2－｜PD｜2＝42－（2）2＝8，｜PA｜＝2，C项错误；直线AC的方程为7x－y＋7＝0，所以圆心D（3，0）到直线AC的距离为＝，所以点P到直线AC的距离的最小值为－2＝，D项正确.故选A、B、D.
13.[－1，3]　解析：将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为（x－2）2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为（2，0）.所以＝（2－x，－y），又＝（－x，－y），所以·＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以·＝4x－3－2x＝2x－3.因为（x－2）2＋y2＝1，所以1≤x≤3.所以－1≤2x－3≤3，从而·的取值范围为[－1，3].
14.解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R），令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A（x1，0），B（x2，0），可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）.
（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0（舍去）或m＝－.
此时C（0，－1），AB的中点M为圆心，
半径r＝｜CM｜＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
（2）证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C（0，2m）代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－（1＋2m）y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m（x＋2y－2）＝0.
令可得
或故过A，B，C三点的圆过定点（0，1）和.
15.AD　当x≥0，y≥0时，曲线C的方程可化为（ x－）2＋（ y－）2＝；当x≤0，y≥0时，曲线C的方程可化为（ x＋）2＋（ y－）2＝；当x≥0，y≤0时，曲线C的方程可化为（ x－）2＋（ y＋）2＝；当x≤0，y≤0时，曲线C的方程可化为（ x＋）2＋（ y＋）2＝.曲线C如图所示，由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，即曲线C围成的图形的周长是4××2×π×＝2π，故A正确；曲线C所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线C所围成图形的面积为4×π×＋（）2＝2＋π，故B错误；由曲线C可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即×2＋＝2＞2，故C错误；因为P（m，n）到直线3x＋4y－12＝0的距离为d＝＝，所以｜3m＋4n－12｜＝5d，当d最小时，易知P（m，n）在第一象限内，因为曲线C在第一象限内的部分是圆心为（ ，），半径为的半圆，所以圆心（ ，）到3x＋4y－12＝0的距离d'＝＝，从而dmin＝d'－＝，即｜3m＋4n－12｜min＝，故D正确.故选A、D.
1 / 1第3节　圆的方程
1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
知识梳理
1.圆的定义与方程
定义 平面上到　　　　的距离等于　　　　的点的集合叫做圆
标准方程 （x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0） 圆心C（a，b）
半径为r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0） 充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心C　　　　　　
半径r＝
提醒：当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点（ －，－）；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形.
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系：
（1）｜MC｜＞r 点M在　　　　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；
（2）｜MC｜＝r 点M在　　　　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；
（3）｜MC｜＜r 点M在　　　　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.
1.以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0. 2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上. 3.圆心在任一弦的垂直平分线上.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.（　　）
（2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.（　　）
（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.（　　）
（4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.（　　）
2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）
A.（x－1）2＋（y－1）2＝1 B.（x＋1）2＋（y＋1）2＝1
C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.（x－1）2＋（y－1）2＝2
3.（2026·河南郑州模拟）已知圆C以P1P2为直径，P1（4，9），P2（6，3），则下列各点在圆C外的是（　　）
A.M（6，9） B.N（3，3）
C.Q（5，3） D.R（4，4）
4.（2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，则实数t＝（　　）
A.－3 B.1
C.－1 D.3
5.（2026·广东佛山模拟）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为　　　　.
求圆的方程
（基础自学过关）
1.已知点A（－2，1），B（－1，0），C（2，3），M（a，2）四点共圆，则a＝（　　）
A.－　　B.　　C.±　　D.±
2.〔一题多解〕设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为（　　）
A.x2＋y2＝5
B.（x－1）2＋（y＋1）2＝5
C.x2＋y2＝3
D.（x－1）2＋（y＋1）2＝3
3.已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为　　　　.
求圆的方程的两种方法
与圆有关的轨迹问题
（师生共研过关）
（1）已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最大值为（　　）
A.8 B.8
C.4 D.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷5题）已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　　）
A.＋＝1（y＞0）
B.＋＝1（y＞0）
C.＋＝1（y＞0）
D.＋＝1（y＞0）
听课记录
求解与圆有关的轨迹（方程）的方法 （1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法：根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法：利用圆的几何性质列方程； （4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解. 提醒：要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.
训练1 （1）〔一题多解〕已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0）.则直角顶点C的轨迹方程为（　　）
A.x2＋y2＝4
B.（x－1）2＋y2＝4
C.x2＋y2＝4（y≠0）
D.（x－1）2＋y2＝4（y≠0）
（2）已知O为坐标原点，点M（－3，4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
与圆有关的最值问题
（定向精析突破）
考向1　利用几何性质求最值
〔多选〕已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则（　　）
A.当x≠0时，的最小值是－
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x的最小值是2－
D.｜x＋y＋3｜的最小值为2
听课记录
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
考向2　利用对称性求最值
（2026·陕西西安质检）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是（　　）
A.2 B.2
C.4 D.2
听课记录
　　求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路： （1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； （2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
考向3　建立函数关系求最值
设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为　　　　.
听课记录
　　根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式的性质求最值.
训练2 （1）（2026·山西大同模拟）若实数x，y满足x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则的取值范围为（　　）
A.［0，］
B.（ －∞，－］
C.［，＋∞）
D.［－，0）
（2）（2026·黑龙江模拟）已知点P是圆C：（x－2）2＋（y－）2＝1上的动点，点A（1，0），B（0，），则当∠PAB最大时，sin∠PAB＝　　　　.
利用三角换元巧设圆的方程
教材母题：〔人A选一P89习题T10〕在平面直角坐标系中，如果点P的坐标（x，y）满足其中θ为参数，r＞0.证明：点P的轨迹是圆心为（a，b），半径为r的圆.
细研教材：由教材母题，我们可以把圆心为（x0，y0），半径为r 的圆上的点设为（x0＋rcos θ，y0＋rsin θ）（θ∈[0，2π）），简称设“点参”.
特别地，若原点为圆心，常用（rcos θ，rsin θ）来表示半径为r 的圆上的任一点.
（1）若实数x，y满足条件x2＋y2＝1，则2x＋y的取值范围是（　　）
A.[0，] B.[－，0]
C.[－，] D.[－，]
（2）已知实数a，b满足a2＋b2＋1＝2a＋2b，则（3a＋4b－1）2的最大值为（　　）
A.11 B.12
C.121 D.144
听课记录
第3节　圆的方程
【夯实必备知识】
知识梳理
1.定点　定长　（－，－）
2.（1）圆外　（2）圆上　（3）圆内
诊断自测
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.D　3.B　4.D　5.（－∞，－2）∪（0，＋∞）
【研透核心考点】
考点1
1.D　2.B　3.x2＋（y－8）2＝5　
考点2
【例1】　（1）A　（2）A　解析：（1）以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设M（x，y），且A（－2，0），B（2，0），由｜MA｜＝｜MB｜，得（x＋2）2＋y2＝2（x－2）2＋2y2，化简得M的轨迹方程为（x－6）2＋y2＝32（y≠0），半径r＝4，所以S△MAB≤·｜AB｜·r＝8.所以△MAB面积的最大值为8.
（2）设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M为PP'的中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0）上，所以x2＋4y2＝16（y＞0），即＋＝1（y＞0），即点M的轨迹方程为＋＝1（y＞0）.故选A.
训练1　（1）D　法一　设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（y≠0），即（x－1）2＋y2＝4（y≠0）.
法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知｜CD｜＝｜AB｜＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）.
（2）解：设P（x，y），N（x0，y0），
∵四边形MONP为平行四边形，
则＝＋，即（x，y）＝（－3，4）＋（x0，y0），
即则
又N（x0，y0）在圆x2＋y2＝4上，
∴＋＝4，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4，
易知直线OM的方程为y＝－x，
联立
得或
∴点P的轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－，）和（－，）.
考点3
【例2】　BC　由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋（y－2）2＝1.该方程表示圆心为C（0，2），半径r＝1的圆.设＝k（x≠0），则k表示圆上的点（除去点（0，1）和（0，3））与原点O（0，0）连线的斜率，由y＝kx（x≠0），则≤1，解得k≥或k≤－，故A错误；因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确；设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，则≤1，解得2－≤b≤2＋，即y－x的最小值是2－，故C正确；｜x＋y＋3｜表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，圆心（0，2）到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝，则｜x＋y＋3｜的最小值为×（ －1）＝5－，故D错误.
【例3】　D　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C（2，1）为圆心，半径r＝的圆.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'（m，n），所以解得故A'（－4，－2）.连接A'C交圆C于Q（图略），交直线x＋y＋2＝0于P，此时，｜PA｜＋｜PQ｜取得最小值，由对称性可知｜PA｜＋｜PQ｜＝｜A'P｜＋｜PQ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－r＝2.
【例4】　12　解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
训练2　（1）C　（2）1　解析：（1）令＝k，可得kx－y＋3－2k＝0，将圆的方程化为标准方程得（x－1）2＋（y－1）2＝1，圆心坐标为（1，1），半径为1，则直线kx－y＋3－2k＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1有公共点，可得≤1，整理可得3－4k≤0，解得k≥.因此的取值范围为［，＋∞）.故选C.
（2）圆C：（x－2）2＋（y－）2＝1的圆心为C（2，），半径为1，当点P位于如图所示的位置时∠PAB最大，PA与圆C相切，连接CP，AC，则PC⊥PA，易知｜AC｜＝＝2，｜AB｜＝｜BC｜＝2，故∠CAP＝30°，∠BAC＝60°，所以∠PAB＝90°，sin∠PAB＝1.
衔接教材
证明：由可得又因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以（ ）2＋（ ）2＝1，即（x－a）2＋（y－b）2＝r2，所以点P的轨迹是圆心为（a，b），半径为r的圆.
【例】　（1）D　（2）C　解析：（1）令x＝cos α，y＝sin α，则2x＋y＝2cos α＋sin α＝sin（α＋φ）∈[－，].故选D.
（2）因为a2＋b2＋1＝2a＋2b，所以（a－1）2＋（b－1）2＝1，令a－1＝cos θ，b－1＝sin θ得3a＋4b－1＝3cos θ＋4sin θ＋6＝5sin（θ＋φ）＋6，其中tan φ＝，因为sin（θ＋φ）∈[－1，1]，所以3a＋4b－1∈[1，11]，所以（3a＋4b－1）2的最大值是121.
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第3节　圆的方程
课标要求
1. 理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 圆的定义与方程
定义 平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆
标准方程 （x－a）2＋（y－
b）2＝r2（r＞0） 圆心C（a，b）
半径为r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＝0（D2＋E2－4F＞
0） 充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心C
半径r＝
定点　
定长　
（－ ，－ ）　
提醒：当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0
时，此方程表示一个点（－ ，－ ）；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示
任何图形.
2. 点与圆的位置关系
平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在
着下列关系：
（1）｜MC｜＞r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；
（2）｜MC｜＝r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；
（3）｜MC｜＜r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.
圆外　
圆上　
圆内　
1. 以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x
－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.
2. 圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
3. 圆心在任一弦的垂直平分线上.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）确定圆的几何要素是圆心与半径. （　√　）
（2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆. （　×　）
（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆. （　×　）
（4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝
C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0. （　√　）
√
×
×
√
2. 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　）
A. （x－1）2＋（y－1）2＝1
B. （x＋1）2＋（y＋1）2＝1
C. （x＋1）2＋（y＋1）2＝2
D. （x－1）2＋（y－1）2＝2
√
解析： 　因为圆心为（1，1）且过原点，所以该圆的半径r＝
＝ ，则该圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.故选D.
3. （2026·河南郑州模拟）已知圆C以P1P2为直径，P1（4，9），P2（6，
3），则下列各点在圆C外的是（　　）
A. M（6，9） B. N（3，3）
C. Q（5，3） D. R（4，4）
√
解析： 　由线段的中点坐标公式，可得圆心为C（5，6）.因为｜P1P2｜
＝ ＝2 ，所以圆C的方程为（x－5）2＋（y
－6）2＝10.因为｜CM｜＝ ＝r，所以点M在圆上；因为｜CN｜＝
＞r，所以点N在圆外；因为｜CQ｜＝3＜r，所以点Q在圆内；因
为｜CR｜＝ ＜r，所以点R在圆内.
4. （2026·豫西北教研联盟第一次质检）已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关
于直线x－y＋t＝0对称，则实数t＝（　　）
A. －3 B. 1
C. －1 D. 3
√
解析： 　由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝4，则圆
心坐标为（－1，2），又因为圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t
＝0对称，故由圆的对称性可知，圆心（－1，2）在直线x－y＋t＝0上，
则t＝y－x＝2－（－1）＝3.
5. （2026·广东佛山模拟）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示
圆，则实数a的取值范围为 .
解析：由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得（x＋a）2＋（y－2a）2＝5a2
＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a＞0，解得a＞0或a＜－2.
（－∞，－2）∪（0，＋∞）
02
PART
研透核心考点
求圆的方程（基础自学过关）
1. 已知点A（－2，1），B（－1，0），C（2，3），M（a，2）四点共
圆，则a＝（　　）
A. － B.
C. ± D. ±
√
解析： 　设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋
E2－4F＞0，则 解得 所以过A，
B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4
－8－1＝0，解得a2＝5，所以a＝± .
2. 〔一题多解〕设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均
在☉M上，则☉M的方程为（　　）
A. x2＋y2＝5
B. （x－1）2＋（y＋1）2＝5
C. x2＋y2＝3
D. （x－1）2＋（y＋1）2＝3
√
解析： 　法一　设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则
解得 ∴☉M的方程为（x－1）2＋（y
＋1）2＝5.
法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则
M（－ ，－ ），
∴ 解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法三　设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝ ＝－ ，
AB的中点坐标为（ ， ），∴AB的垂直平分线方程为y－ ＝3（x－
），即3x－y－4＝0.联立得 解得M（1，－1），∴r2
＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2
＋（y＋1）2＝5.
解析：如图所示，由圆心C（0，m）与切点A的连线与切
线垂直，得 ＝－ ，解得m＝8.所以圆心坐标为（0，
8），半径为r＝ ＝ .所以圆
C的标准方程为x2＋（y－8）2＝5.
3. 已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于
点A（2，7），则圆C的标准方程为 .
x2＋（y－8）2＝5　
求圆的方程的两种方法
与圆有关的轨迹问题（师生共研过关）
（1）已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离
的 倍，则△MAB面积的最大值为（　A　）
A. 8 B. 8
A
解析： 线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐
标系，设M（x，y），且A（－2，0），B（2，0），由｜MA｜＝
｜MB｜，得（x＋2）2＋y2＝2（x－2）2＋2y2，化简得M的轨迹方程
为（x－6）2＋y2＝32（y≠0），半径r＝4 ，所以S△MAB≤ ·｜
AB｜·r＝8 .所以△MAB面积的最大值为8 .
C. 4 D.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷5题）已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上
任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程
为（　A　）
A. ＋ ＝1（y＞0） B. ＋ ＝1（y＞0）
C. ＋ ＝1（y＞0） D. ＋ ＝1（y＞0）
A
解析：设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M为PP'的
中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0）上，
所以x2＋4y2＝16（y＞0），即 ＋ ＝1（y＞0），即点M的轨迹方程
为 ＋ ＝1（y＞0）.故选A.
求解与圆有关的轨迹（方程）的方法
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
求解.
提醒：要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.
训练1 （1）〔一题多解〕已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），
B（3，0）.则直角顶点C的轨迹方程为（　D　）
A. x2＋y2＝4 B. （x－1）2＋y2＝4
C. x2＋y2＝4（y≠0） D. （x－1）2＋y2＝4（y≠0）
D
解析：　法一　设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝
，kBC＝ ，所以 · ＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直
角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（y≠0），即（x－1）2＋y2＝4
（y≠0）.
法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形
的性质知｜CD｜＝ ｜AB｜＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D
（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去
与x轴的交点）.所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4
（y≠0）.
（2）已知O为坐标原点，点M（－3，4），动点N在圆x2＋y2＝4上运
动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
解：设P（x，y），N（x0，y0），∵四边形MONP为平行四边形，
则 ＝ ＋ ，即（x，y）＝（－3，4）＋（x0，y0），
即 则
又N（x0，y0）在圆x2＋y2＝4上，
∴ ＋ ＝4，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4，
易知直线OM的方程为y＝－ x，
联立 得 或
∴点P的轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－ ， ）和
（－ ， ）.
与圆有关的最值问题（定向精析突破）
考向1　利用几何性质求最值
〔多选〕已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则（　BC　）
A. 当x≠0时， 的最小值是－
B. x2＋y2的最小值是1
C. y－x的最小值是2－
D. ｜x＋y＋3｜的最小值为2
BC
解析：　由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋（y－2）2＝1.该方程表示圆心为C
（0，2），半径r＝1的圆.设 ＝k（x≠0），则k表示圆上的点（除去点
（0，1）和（0，3））与原点O（0，0）连线的斜率，由y＝kx
（x≠0），则 ≤1，解得k≥ 或k≤－ ，故A错误；因
为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，所以当x＝
0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确；
设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与
圆有公共点时，直线在y轴上的截距，则
≤1，解得2－ ≤b≤2＋ ，即y－x的最小值是2－
，故C正确；｜x＋y＋3｜表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的 倍，圆心（0，2）到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝ ，则｜x＋y＋3｜的最小值为 ×（ －1）＝5－ ，故D错误.
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
考向2　利用对称性求最值
（2026·陕西西安质检）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0
上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值
是（　　）
A. 2 B. 2
C. 4 D. 2
√
解析： 　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C（2，1）为圆
心，半径r＝ 的圆.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'
（m，n），所以 解得 故A'（－4，－
2）.连接A'C交圆C于Q（图略），交直线x＋y＋2＝0于P，此时，｜
PA｜＋｜PQ｜取得最小值，由对称性可知｜PA｜＋｜PQ｜＝｜A'P｜
＋｜PQ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－r＝2 .
　　求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点
有关的折线段的最值问题的基本思路：
（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一
般要通过对称性解决.
考向3　建立函数关系求最值
设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，
0），B（－2，0），则 · 的最大值为 .
解析：由题意，知 ＝（2－x，－y）， ＝（－2－x，－y），所以
· ＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以 · ＝－（y－3）2
＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以
当y＝4时， · 的值最大，最大值为6×4－12＝12.
12　
　　根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式的性
质求最值.
训练2 （1）（2026·山西大同模拟）若实数x，y满足x2＋y2－2x－2y＋1
＝0，则 的取值范围为（　C　）
A. ［0， ］ B. （ －∞，－ ］
C. ［ ，＋∞） D. ［－ ，0）
C
解析： ＝k，可得kx－y＋3－2k＝0，将圆的方程化为标准方程得（x
－1）2＋（y－1）2＝1，圆心坐标为（1，1），半径为1，则直线kx－y＋
3－2k＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1有公共点，可得 ≤1，整
理可得3－4k≤0，解得k≥ .因此 的取值范围为［ ，＋∞）.故选C.
（2）（2026·黑龙江模拟）已知点P是圆C：（x－2）2＋（y－ ）2＝1
上的动点，点A（1，0），B（0， ），则当∠PAB最大时， sin ∠PAB
＝ .
解析： C：（x－2）2＋（y－ ）2＝1的圆心为C
（2， ），半径为1，当点P位于如图所示的位置时
∠PAB最大，PA与圆C相切，连接CP，AC，则
PC⊥PA，易知｜AC｜＝
＝2，｜AB｜＝｜BC｜＝2，故∠CAP＝30°，∠BAC＝60°，所以∠PAB＝90°， sin ∠PAB＝1.
1　
利用三角换元巧设圆的方程
教材母题：〔人A选一P89习题T10〕在平面直角坐标系中，如果点P的坐
标（x，y）满足 其中θ为参数，r＞0.证明：点P的轨迹
是圆心为（a，b），半径为r的圆.
证明：由 可得 又因为 cos 2θ＋ sin 2θ＝1，所
以（ ）2＋（ ）2＝1，即（x－a）2＋（y－b）2＝r2，所以点P的
轨迹是圆心为（a，b），半径为r的圆.
细研教材：由教材母题，我们可以把圆心为（x0，y0），半径为r 的圆上
的点设为（x0＋r cos θ，y0＋r sin θ）（θ∈[0，2π）），简称设“点参”.
特别地，若原点为圆心，常用（r cos θ，r sin θ）来表示半径为r 的圆上的
任一点.
（1）若实数x，y满足条件x2＋y2＝1，则2x＋y的取值范围是
（　D　）
A. [0， ] B. [－ ，0]
C. [－ ， ] D. [－ ， ]
解析： x＝ cos α，y＝ sin α，则2x＋y＝2 cos α＋ sin α＝ sin （α＋φ）
∈[－ ， ].故选D.
D
（2）已知实数a，b满足a2＋b2＋1＝2a＋2b，则（3a＋4b－1）2的最大
值为（　C　）
A. 11 B. 12
C. 121 D. 144
C
解析：因为a2＋b2＋1＝2a＋2b，所以（a－1）2＋（b－1）2＝1，令a－
1＝ cos θ，b－1＝ sin θ得3a＋4b－1＝3 cos θ＋4 sin θ＋6＝5 sin （θ＋
φ）＋6，其中tan φ＝ ，因为 sin （θ＋φ）∈[－1，1]，所以3a＋4b－
1∈[1，11]，所以（3a＋4b－1）2的最大值是121.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 圆心为（2，1）且和x轴相切的圆的方程是（　　）
A. （x－2）2＋（y－1）2＝1
B. （x＋2）2＋（y＋1）2＝1
C. （x－2）2＋（y－1）2＝5
D. （x＋2）2＋（y＋1）2＝5
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√
解析： 　圆心为（2，1）且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程
是（x－2）2＋（y－1）2＝1.
2. （2026·甘肃兰州模拟）若点（a＋1，a－1）在圆x2＋y2－2ay－4＝0
的内部，则a的取值范围是（　　）
A. a＞1 B. 0＜a＜1
C. －1＜a＜ D. a＜1
√
解析： 　由题可知，半径r＝ ，所以a∈R，把点（a＋1，a－
1）代入方程，由题意得（a＋1）2＋（a－1）2－2a（a－1）－4＜0，解
得a＜1，所以a的取值范围是a＜1.故选D.
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3. 设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
√
解析： 　方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4
－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不
必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的充
分不必要条件.故选A.
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4. 已知点P（4，－2），点Q是圆x2＋y2＝4上任意一点，则线段PQ的中
点M的轨迹方程是（　　）
A. （x－2）2＋（y＋1）2＝1
B. （x－2）2＋（y＋1）2＝4
C. （x＋2）2＋（y－1）2＝1
D. （x＋4）2＋（y－2）2＝4
√
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解析： 　设Q（x1，y1），M（x，y），则 可得
又点Q在圆x2＋y2＝4上，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝
4，化简得（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
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5. 〔一题多解〕（2023·全国乙卷11题）已知实数x，y满足x2＋y2－4x－
2y－4＝0，则x－y的最大值是（　　）
A. 1＋ B. 4
C. 1＋3 D. 7
√
解析： 　法一　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9，
表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与
圆（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距
离d＝ ≤3，解得1－3 ≤t≤1＋3 .
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法二　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3
cos θ，y＝1＋3 sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3 cos θ－3 sin θ＝1＋
3 · cos （θ＋ ）≤1＋3 ，当θ＝ 时取等号.
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6. 〔多选〕已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C
（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（　　）
A. 圆M的圆心坐标为（1，3）
B. 圆M的半径为
C. 圆M关于直线x＋y＝0对称
D. 点（2，3）在圆M内
√
√
√
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解析： 　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2＋E2－4F＞0），则 解得
所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即（x－1）2
＋（y－3）2＝5.故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为 ，因为
直线x＋y＝0不经过圆M的圆心（1，3），所以圆M不关于直线x＋y＝0
对称.因为（2－1）2＋（3－3）2＝1＜5，故点（2，3）在圆M内.
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7. 若圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过坐
标原点，则实数m的值为 .
解析：∵圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过
坐标原点，∴2m2－6m＋4＝0，解得m＝1或m＝2，当m＝2时，x2＋y2
＝0，不符合题意舍去，当m＝1时，x2＋y2＋2x－2y＝0，即（x＋1）2＋
（y－1）2＝2，满足题意，综上所述，则实数m的值为1.
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8. （2026·江苏徐州模拟）已知点A（－3，0），B（1，0），平面内的动
点P满足｜PB｜－3｜PA｜＝0，则点P的轨迹形成的图形周长是 .
解析：设平面内的动点P（x，y），由｜PB｜－3｜PA｜＝0得｜PB｜
＝3｜PA｜，所以 ＝3 ，化简得x2＋y2
＋7x＋10＝0，整理得（x＋ ）2＋y2＝ ，所以点P的轨迹是以（－ ，
0）为圆心，半径为 的圆，所以周长是2π× ＝3π.
3π　
1
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解： 由A（4，0），B（0，4），得直线AB的斜率为kAB＝ ＝－1，
线段AB的中点为D（2，2），所以kCD＝1，直线CD的方程为y－2＝x
－2，即y＝x，
联立 解得 即C（3，3），
所以半径r＝｜AC｜＝ ＝ ，
所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－3）2＝10.
9. （13分）已知圆C过点A（4，0），B（0，4），且圆心C在直线l：x
＋y－6＝0上.
（1）求圆C的方程；
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（2）若从点M（4，1）发出的光线经过x轴反射，反射光线l1恰好平分圆
C的圆周，求反射光线l1的一般方程.
解： M（4，1）关于x轴的对称点为N（4，－1），
且N在直线l1上，
由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C（3，3），
＝ ＝－4，l1的方程为y－3＝－4（x－3），即4x
＋y－15＝0.
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10. （2025·河南新乡模拟）曲线y＝ （x≤ ）的长度为
（　　）
A. 2π B.
C. π D.
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解析： 　由y＝ （x≤ ），得x2＋y2＝4（x≤ ，y≥0），
所以曲线y＝ （x≤ ）是以坐标原点O为圆心，2为半径的圆弧
，其中点A的横坐标为 ，则∠AOx＝ ，∠AOB＝π－ ＝ ，故曲
线y＝ （x≤ ）的长度为 ×2＝ .
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11. 〔多选〕设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列
命题正确的是（　　）
A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点（3，0）
C. 经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π
√
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√
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解析： 　A选项，圆心为（k，k），一定在直线y＝x上，故A正确；
B选项，将（3，0）代入得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4＜0，方程无解，
即所有圆Ck均不经过点（3，0），故B正确；C选项，将（2，2）代入得k2
－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8＞0，故经过点（2，2）的圆Ck有两个，
故C错误；所有圆的半径均为2，面积均为4π，故D正确.故选A、B、D.
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12. 〔多选〕在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C
（0，7），动点P满足｜PA｜＝ ｜PB｜，则（　　）
A. 点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8
B. △PAB面积最大时，｜PA｜＝2
C. ∠PAB最大时，｜PA｜＝2
D. 点P到直线AC的距离的最小值为
√
√
√
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解析： 　设P（x，y），由｜PA｜＝ ｜PB｜得，｜PA｜2＝2｜
PB｜2，所以[x－（－1）]2＋（y－0）2＝2[（x－1）2＋（y－0）2]，化
简得（x－3）2＋y2＝8，A项正确；由对A的分析知y∈[－2 ，2 ]，
所以△PAB的面积S＝ ｜AB｜·｜y｜∈（0，2 ]，当△ABP面积最大
时，P点坐标为（3，2 ）或（3，－2 ），此时｜PA｜＝
＝2 ，B项正确；
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记圆（x－3）2＋y2＝8的圆心为D，则D（3，0），当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD（图略），则｜PA｜2＝｜AD｜2－｜PD｜2＝42－（2 ）2＝8，｜PA｜＝2 ，C项错误；直线AC的方程为7x－y＋7＝0，所以圆心D（3，0）到直线AC的距离为 ＝ ，所以点P到直线AC的距离的最小值为 －2 ＝ ，D项正确.故选A、B、D.
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13. 已知点P（x，y）为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则
· （O为坐标原点）的取值范围是 .
解析：将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为（x－2）2＋y2＝1，所以圆心
C的坐标为（2，0）.所以 ＝（2－x，－y），又 ＝（－x，－
y），所以 · ＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝
4x－3，所以 · ＝4x－3－2x＝2x－3.因为（x－2）2＋y2＝1，所以
1≤x≤3.所以－1≤2x－3≤3，从而 · 的取值范围为[－1，3].
[－1，3]　
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14. （15分）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m
（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R），令y＝0，得x2－mx＋2m＝
0.设A（x1，0），B（x2，0），可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞
8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）.
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不
存在，请说明理由；
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（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则 · ＝0，得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，所以m＝0（舍去）或m＝－ .
此时C（0，－1），AB的中点M 为圆心，
半径r＝｜CM｜＝ ，
故所求圆的方程为 ＋y2＝ .
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（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点.
解：证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C（0，2m）代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－（1＋2m）y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m（x＋2y－2）＝0.
令 可得 或
故过A，B，C三点的圆过定点（0，1）和 .
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15. 〔创新考法〕〔多选〕在平面直角坐标系中，曲线C：x2＋y2＝｜x｜
＋｜y｜，对于此曲线，下列结论正确的是（　　）
A. 曲线C围成的图形的周长是2 π
B. 曲线C围成的图形的面积是2π
C. 曲线C上的任意两点间的距离不超过2
D. 若P（m，n）是曲线C上任意一点，｜3m＋4n－12｜的最小值是
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解析： 　当x≥0，y≥0时，曲线C的方程可化为（ x
－ ）2＋（ y－ ）2＝ ；当x≤0，y≥0时，曲线C的方
程可化为（ x＋ ）2＋（ y－ ）2＝ ；当x≥0，y≤0
时，曲线C的方程可化为（ x－ ）2＋（ y＋ ）2＝ ；当x≤0，y≤0时，曲线C的方程可化为（ x＋ ）2＋（ y＋ ）2＝ .曲线C如图所示，由图可知，曲线C是四个半径为 的半圆围成的图形，即曲线C围成的图形的周长是4× ×2×π× ＝2 π，故A正确；
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曲线C所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为
的正方形的面积之和，从而曲线C所围成图形的面积为
4× π× ＋（ ）2＝2＋π，故B错误；由曲线C可知，
曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方
形的边长之和，即 ×2＋ ＝2 ＞2，故C错误；因为P（m，n）到直线3x＋4y－12＝0的距离为d＝ ＝ ，所以｜3m＋4n－12｜＝5d，当d最小时，易知P（m，n）在第一象限内，因为
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曲线C在第一象限内的部分是圆心为（ ， ），半径为 的半圆，所以圆心（ ， ）到3x＋4y－12＝0的距离d'＝ ＝ ，从而dmin＝d'－ ＝ ，即｜3m＋4n－12｜min＝ ，故D正确.故选A、D.
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