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第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.（2026·山东济宁模拟）已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜y＝x＋1}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（　　）
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
3.过点P（－1，1）的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　）
A.2 B.
C. D.2
4.圆C：x2＋（y－2）2＝R2（R＞0）上恰好存在2个点到直线y＝x－2的距离为1，则R的一个取值可能为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.〔多选〕已知圆（x－1）2＋（y－1）2＝4与直线x＋my－m－2＝0，则（　　）
A.直线与圆必相交
B.直线与圆不一定相交
C.直线与圆相交所截的最短弦长为2
D.直线与圆可以相切
6.〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则（　　）
A.两圆的圆心距｜O1O2｜＝2
B.直线AB的方程为x－y＋1＝0
C.圆O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜
D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
7.若圆x2＋y2＝1与圆（x＋4）2＋（y－a）2＝25相切，则常数a＝　　　　.
8.过点P（0，2）引一条直线l交圆（x－1）2＋y2＝4于A，B两点，若｜AB｜＝2，则直线l的方程为　　　　　　.9.（13分）已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A（0，－4）.
（1）若圆O2与圆O1相切于点B（2，2），求圆O2的方程；
（2）若圆O2过点C（4，0），圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程.
10.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）
A.π　　　 B.π　　　
C.π　　　 D.π
11.（2025·山东滨州模拟）已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N.若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝（　　）
A.1 B.3
C.5 D.7
12.〔多选〕已知圆C：（x－2）2＋y2＝1，点P是直线l：x＋y＝0上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的是（　　）
A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为
B.切线长｜PA｜的最小值为1
C.四边形ACBP面积的最小值为2
D.直线AB恒过定点（ ，－）
13.（2026·浙江杭州模拟）已知☉O是单位圆，正三角形ABC的顶点A，B在☉O上，则｜OC｜的最大值为　　　　.
14.（15分）已知直线x＋y＋2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切.
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与圆O交于A，B两点，若弦长｜AB｜＝，求直线AB的斜率的值；
（3）过点Q（1，1）作两条相异直线分别与圆O相交于M，N，且直线QM和直线QN的倾斜角互补，试着判断向量和是否共线？请说明理由.
15.〔创新设问〕“晩旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图1）.已知C1：x2＋y2－2ax－4y＋1＝0，C2：x2＋y2－ax－（4＋）y＋2＋2＝0，其中a＞0.如图2，A，B为圆C1与C2的交点，若弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧，则组成“月亮”的两段弧长之比为　　　　　.（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1）
第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.C　2.B　3.A　4.B　5.AC　6.BD
7.±2或0　
8.x＝0或3x＋4y－8＝0　
解析：当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，可求出它与圆（x－1）2＋y2＝4的两交点坐标分别为（0，），（0，－），所以弦长｜AB｜＝2，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.如图所示，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连接CD，AC，则CD⊥AB.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，｜AC｜＝r＝2，｜AD｜＝｜AB｜＝，故｜CD｜＝＝＝1，即＝1，解得k＝－，则直线l的方程为3x＋4y－8＝0.故所求直线方程为x＝0或3x＋4y－8＝0.
9.解：（1）由已知得圆O1的圆心坐标为（4，4），
∵圆O2与圆O1相切于点（2，2），∴圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设其圆心为（a，a）.
∵圆O2过点（2，2），（0，－4），∴a2＋（a＋4）2＝2（a－2）2，∴a＝0，∴a2＋（a＋4）2＝16，
∴圆O2的方程为x2＋y2＝16.
（2）∵圆O2过点（0，－4），（4，0），∴圆O2的圆心所在的直线为y＝－x，不妨设圆心坐标为O2（m，－m）.
∵两圆在交点处的切线相互垂直，且圆O1的圆心坐标为（4，4），半径为4，
∴（m－4）2＋（－m－4）2＝42＋m2＋（－m＋4）2，∴m＝－4，
∴圆O2的方程为（x＋4）2＋（y－4）2＝80，
圆O1与圆O2的方程相减，整理得直线MN的方程为x＋（3－2）y－12（－1）＝0.
10.A　圆C必过点O（0，0），故要使圆C的面积最小，则点O到直线l的距离为圆C的直径，即2r＝，所以r＝，所以S＝π.故选A.
11.C　由题意可知，圆C：（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1，0），半径r＝3，因为四边形PMCN为正方形，可知｜CP｜＝r＝3，若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，可知CP⊥l，则＝3，解得m＝5或m＝－7（舍去），所以正实数m＝5.故选C.
12.BD　对于A，由圆C：（x－2）2＋y2＝1，可得圆心C（2，0），半径r＝1，所以圆心C到直线l：x＋y＝0的距离为＝，因为－1＜＜＋1，故圆C上有两个点到直线l的距离为，故A错误；对于B，由圆的性质，可得切线长｜PA｜＝＝，当｜PC｜最小时，｜PA｜最小，又｜PC｜min＝，则｜PA｜min＝1，故B正确；对于C，
四边形ACBP的面积为2××｜PA｜·｜CA｜＝｜PA｜，因为｜PA｜min＝1，所以四边形ACBP的面积的最小值为1，故C错误；对于D，设P（t，－t），由题知A，B在以PC为直径的圆上，又由C（2，0），所以（x－t）（x－2）＋（y＋t）（y－0）＝0，即x2＋y2－（t＋2）x＋ty＋2t＝0，因为圆C：（x－2）2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0.两圆的方程相减得直线AB：（2－t）x＋ty－3＋2t＝0，即2x－3－t（x－y－2）＝0，由解得即直线AB恒过定点（ ，－），故D正确.故选B、D.
13.2　解析：等边三角形ABC的顶点A，B在圆O：x2＋y2＝1上，如图所示，根据圆与等边三角形的对称性知，当｜OC｜取最大值时，OC过AB的中点M，设｜AB｜＝x，则｜CM｜＝x，｜OM｜＝＝，所以｜OC｜＝｜OM｜＋｜CM｜＝＋x＝（＋x），0＜x≤2，设y＝＋x，则y'＝··（－2x）＋＝，令y'＝0，即－x＋·＝0，移项平方后化简可得x＝或x＝－（舍），所以当x∈（0，）时，y'＞0，y单调递增；当x∈（，2]时，y'＜0，y单调递减，当x＝时，ymax＝＋×＝4，所以｜OC｜的最大值为2.
14.解：（1）∵直线x＋y＋2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切.
∴圆O的半径r＝＝，∴圆O的方程为x2＋y2＝2.
（2）设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y－2＝k（x－2），即kx－y－2k＋2＝0，
圆心O（0，0）到直线的距离为d＝，
∵弦长｜AB｜＝，
∴（）2＝（）2＋（）2，
解得k＝2或k＝.
（3）向量和共线，理由如下：
由题意知，直线QM和直线QN的斜率存在，且互为相反数，
故可设QM：y－1＝k1（x－1），则QN：y－1＝－k1（x－1），
由得（1＋）x2＋2k1（1－k1）x＋（1－k1）2－2＝0.
∵点Q的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xM＝.
同理可得xN＝，
∴kMN＝
＝
＝＝1＝kOQ，
∴向量和共线.
15.　解析：由C1：x2＋y2－2ax－4y＋1＝0，C2：x2＋y2－ax－（4＋）y＋2＋2＝0，两圆方程相减可得lAB：ax－y＋2＋1＝0，又C1：x2＋y2－2ax－4y＋1＝0可化为（x－a）2＋（y－2）2＝a2＋3，因为弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧，可知∠AC1B＝120°，所以C1的圆心到直线AB的距离等于半径的一半，即＝，解得a2＝1，又a＞0，所以a＝1，所以圆C1的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝4，半径为2，所以圆C1被弦AB截得较长的弧长为×2π×2＝；圆C2：x2＋y2－x－（4＋）y＋2＋2＝0可化为（x－）2＋（y－2－）2＝3，圆心C2（，2＋）满足直线AB的方程lAB：x－y＋2＋1＝0，故“月亮”的长度较小的弧长为圆C2的半圆弧长π.所以组成“月亮”的两段弧长之比为＝.
1 / 1第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 　　个 　　个 　　个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d　　r d　　r d　　r
代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ　　0 Δ　　0 Δ　　0
2.圆与圆的位置关系
（1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＝　　 　 （r1≠r2） 0≤d＜ （r1≠r2）
（2）代数法：通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断：一元二次方程
提醒：两圆相切应注意是内切还是外切.
1.圆的切线方程常用结论 （1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； （2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2； （3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0. （1）若两圆相交，两式相减，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程（两圆圆心的连线垂直平分公共弦）； （2）若两圆相切，两式相减，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2公共切点的公共切线所在的直线方程.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直径是圆中最长的弦.（　　）
（2）若两圆没有公共点，则两圆外离.（　　）
（3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（　　）
（4）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（　　）
2.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（　　）
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
3.若圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为　　　　cm.
4.已知直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度是　　　　.
5.圆x2＋y2－4x＝0在点P（1，）处的切线方程为　　　　.
直线与圆的位置关系
（基础自学过关）
1.〔一题多解〕直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（　　）
A.相交、相切或相离 B.相交或相切
C.相交 D.相切
2.〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（　　）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
3.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是　　　　.
4.（2025·全国Ⅰ卷7题改编）若圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是　　　　.
判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系判断； （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断； （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 提醒：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
切线与弦长问题
（定向精析突破）
考向1　弦长问题
（1）（2025·天津高考12题）l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，｜AB｜＝3｜CD｜，则r＝　　　　；
（2）（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.
听课记录
直线被圆截得的弦长的两种求法
考向2　切线问题
（1）已知点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，则过点M的圆C的切线方程为　　　　，其切线长l＝　　　　；
（2）（2023·新高考Ⅰ卷6题改编）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝　　　　.
听课记录
　　求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
考向3　最值（范围）问题
（1）（2024·全国甲卷12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　）
A.1 B.2
C.4 D.2
（2）已知☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作☉C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为　　　　　　.
听课记录
求解与弦长（切线长）有关的最值问题 （1）几何法：利用有关几何性质求解.如①过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点与圆心连线的弦；②直线与圆相离，圆心到直线的距离为d，则圆上一点到直线的最小距离为d－r，最大距离为d＋r； （2）代数法：涉及与圆的弦、切线有关的线段长度范围（最值）问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
训练1 （1）（2026·天津和平模拟）过直线y＝x上的点P作圆C：（x＋3）2＋（y－5）2＝4的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝x对称时，点P的坐标为（　　）
A.（1，1） B.（ ，）
C.（ ，） D.（ ，）
（2）〔多选〕已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝16，直线l：（2m－1）x＋（m－1）y－3m＋1＝0.下列说法正确的是（　　）
A.直线l恒过定点（2，1）
B.圆C被y轴截得的弦长为2
C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0
D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0
圆与圆的位置关系
（师生共研过关）
（1）圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为　　　　，公共弦长为　　　　；
（2）〔一题多解〕（2022·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程　　　　.
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圆与圆位置关系相关问题的求解策略 （1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系； （2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
训练2 （1）〔多选〕已知点A（2，0），圆C：（x－a－1）2＋（y－a）2＝1上存在点P，满足｜PA｜2＋｜PO｜2＝10（O为坐标原点），则a的值可能是（　　）
A.1 B.－1 C. D.0
（2）（2026·山东德州模拟）已知圆M：x2＋（y＋1）2＝4与圆N：x2＋y2－2mx－2y＋1＝0（m＞0）相交于A，B两点，当△AMB为直角三角形时，m的值为　　　　.
圆系方程
1.同心圆系方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），其中a，b是定值，r是参数.
2.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）.
3.过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解）.
（1）过两圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0和x2＋y2－4x＋2y＋2＝0的交点，且圆心在直线x＋2y＋2＝0上的圆的方程为（　　）
A.x2＋y2－8x＋6y＋6＝0
B.x2＋y2－4x＋4y＋6＝0
C.x2＋y2－8x＋6y－6＝0
D.x2＋y2－4x＋4y－6＝0
（2）经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P（－1，－2）的圆的方程为　　　　.
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第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
【夯实必备知识】
知识梳理
1.2　1　0　＜　＝　＞　＞　＝　＜
2.（1）d＞r1＋r2　d＝r1＋r2　｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2　｜r1－r2｜　｜r1－r2｜
（2）相交　内切或外切　内含或外离
诊断自测
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　3.6或14　4.2　
5.x－y＋2＝0
【研透核心考点】
考点1
1.C　2.ABD　3.[－3，1]　4.（1，3）　
考点2
【例1】　（1）2　（2）2（ 2，－2，，－中任意一个皆可以）　解析：（1）对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－6，所以A（－6，0），B（0，6），所以｜AB｜＝6.因为｜AB｜＝3｜CD｜，所以｜CD｜＝2.圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2的圆心为（－1，3），圆心到直线l1的距离d＝＝，所以r＝＝＝2.
（2）设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得｜AB｜＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±或m＝±2.
【例2】　（1）x－3＝0或3x－4y－5＝0　1
（2）　解析：（1）∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，∴点M在圆C外.当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由圆心C到切线的距离d'＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝＝，∴过点M的圆C的切线长l＝＝＝1.
（2）由x2＋y2－4x－1＝0，
得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2，所以点（0，－2）与切点的距离为＝，
所以sin＝，cos＝，所以sin α＝2sincos＝2××＝.
【例3】　（1）C　（2）x＋2y＋1＝0
解析：（1）根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM（图略），则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为2＝4，故选C.
（2）☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4，则圆心C（1，1），半径r＝2.如图，连接MC，则四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝｜CA｜·｜AM｜＝2｜AM｜＝2.要使四边形MACB的面积最小，则需｜CM｜最小，此时CM与直线l垂直，直线CM的方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，联立得解得M（0，－1），则｜CM｜＝.则以CM为直径的圆的方程为（x－）2＋y2＝，与☉C的方程作差可得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0.
训练1　（1）A　（2）BD　
解析：（1）圆C：（x＋3）2＋（y－5）2＝4的圆心为C（－3，5），直线l1，l2关于直线y＝x对称时，CP与直线y＝x垂直，所以直线CP的方程为y－5＝－（x＋3），x＋y－2＝0，由解得所以P（1，1）.故选A.
（2）对于A，将直线l的方程整理为m（2x＋y－3）＋（－x－y＋1）＝0，由得无论m为何值，直线l恒过定点（2，－1），故A不正确；对于B，将x＝0代入圆C的方程，得（y－1）2＝15，解得y＝1±，故圆C被y轴截得的弦长为2，故B正确；对于C，无论m为何值，直线l不过圆心（1，1），即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C不正确；对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为y＋1＝（x－2），即x－2y－4＝0，故D正确.综上所述，选B、D.
考点3
【例4】　（1）x－2y＋4＝0　2
（2）x＝－1（答案不唯一）
解析：（1）联立两圆的方程得两式相减并化简，得两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组解得或所以｜AB｜＝＝2，即公共弦长为2.
（2）法一　如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），
半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点，设公切线l2的方程为y＋＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝（x＋1），即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－（舍去），所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
法二　根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意.
训练2　（1）ABC　（2）2　解析：（1）设P（x，y），由｜PA｜2＋｜PO｜2＝10，A（2，0），得（x－2）2＋y2＋x2＋y2＝10，整理得（x－1）2＋y2＝4.又点P在圆C上，即两圆有交点，则1＝2－1≤≤2＋1＝3，解得≤｜a｜≤.∴a的取值可能是1，－1，.故选A、B、C.
（2）x2＋（y＋1）2＝4与x2＋y2－2mx－2y＋1＝0（m＞0）相减得，－2mx－4y＋4＝0，即直线AB的方程为mx＋2y－2＝0，圆M：x2＋（y＋1）2＝4的圆心为M（0，－1），半径为2，因为△AMB为直角三角形，所以｜AB｜＝2，故M到直线AB的距离为｜AB｜＝，所以＝，因为m＞0，解得m＝2.
衔接教材
【例】　（1）A　（2）x2＋y2＋3x－3y－8＝0
解析：（1）设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＋λ（x2＋y2－4x＋2y＋2）＝0，则（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋（2－4λ）x－（4－2λ）y－4＋2λ＝0，则圆心坐标为（ ，），代入直线x＋2y＋2＝0，可解得λ＝－.故所求圆的方程为－x2－y2＋12x－9y－9＝0，即x2＋y2－8x＋6y＋6＝0.故选A.
（2）法一　解方程组得或∴直线与圆交于点A（1，－1），B（－4，4）.设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），将点A，B，P的坐标代入，得解得满足D2＋E2－4F＞0，故所求圆的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ（x＋y）＝0，又P（－1，－2）在圆上，则（－1）2＋（－2）2＋2×（－1）－4×（－2）－8＋λ（－1－2）＝0，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
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第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判定 方法 几何法：设圆心到直线的距
离d＝ d r d r d r
2　
1　
0　
＜　
＝　
＞　
位置关系 相交 相切 相离
判定 方法 代数法：由 消元得到一元二次方程根的
判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0
＞　
＝　
＜　
2. 圆与圆的位置关系
（1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的
位置关系的判断方法如下：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1， r2的关
系



d＝

（r1≠r2） 0≤d＜


（r1≠r2）
d＞
r1＋
r2　
d＝r1
＋r2　
｜r1－r2｜
＜d＜　
r1＋r2　
｜r1－
r2｜
｜r1－
r2｜
（2）代数法：通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断：
一元二次方程
提醒：两圆相切应注意是内切还是外切.
1. 圆的切线方程常用结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝
r2；
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方
程为（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2；
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2. 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2
＝0.
（1）若两圆相交，两式相减，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2
＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程（两圆圆心的连线垂
直平分公共弦）；
（2）若两圆相切，两式相减，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2
＝0，该方程表示圆C1与C2公共切点的公共切线所在的直线方程.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直径是圆中最长的弦. （　√　）
（2）若两圆没有公共点，则两圆外离. （　×　）
（3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.
（　×　）
（4）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交. （　×　）
√
×
×
×
2. 直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（　　）
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心 D. 相离
√
解析： 　圆心为（0，0），到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝
＝ ，而0＜ ＜1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心.故选B.
3. 若圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的
半径为 cm.
解析：当两圆外切时，d＝rA＋rB，即10＝4＋rB，所以rB＝6 cm；当两圆
内切时，rB－rA＝10.则rB＝10＋4＝14 cm.
4. 已知直线x＋ y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的
长度是 .
解析：由题意知，圆心（0，0）到直线x＋ y－2＝0的距离为
＝1，则｜AB｜＝2× ＝2 .
6或14　
2 　
5. 圆x2＋y2－4x＝0在点P（1， ）处的切线方程为 　x－ y＋2＝
.
解析：圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，圆心坐标为（2，0），半径为
2，点P在圆上，所以过点P的半径所在直线的斜率为－ ，所以过点P
的切线的斜率为 ，所以切线方程为y－ ＝ （x－1），即x－ y
＋2＝0.
x－ y＋2＝
0　
02
PART
研透核心考点
直线与圆的位置关系（基础自学过关）
1. 〔一题多解〕直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系
为（　　）
A. 相交、相切或相离 B. 相交或相切
C. 相交 D. 相切
√
解析： 　法一（代数法） 联立 消去y，整理得
（1＋k2）x2－（2k2－4k＋2）x＋k2－4k－4＝0　①，因为判别式Δ＝
36k2＋20＞0恒成立，所以①式有两个不相等的实数根，所以直线kx－y＋
2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.
法二（点与圆的位置关系法） 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k（x－
1）－（y－2）＝0，该直线恒过定点（1，2）.因为12＋22－2－8＝－5＜
0，所以点（1，2）在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－
k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交.
法三（几何法） 圆的方程可化为（x－1）2＋y2＝32，所以圆的圆心为
（1，0），半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为 ＝
≤2＜3，所以直线与圆相交.故选C.
2. 〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，
b），则下列说法正确的是（　　）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
√
√
√
解析： 　选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到
直线l的距离d＝ ＝r，∴直线l与圆C相切，A正确；选项B，
∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝
＞r，∴直线l与圆C相离，B正确；选项C，∵点A在圆C外，
∴a2＋b2＞r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝ ＜r.∴直线l与
圆C相交，C错误；选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C
（0，0）到直线l的距离d＝ ＝r.∴直线l与圆C相切，D正确.故
选A、B、D.
3. 若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值
范围是 .
解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为 ，∴
≤ ，即｜a＋1｜≤2，解得－3≤a≤1.
[－3，1]　
4. （2025·全国Ⅰ卷7题改编）若圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y
＝ x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是 .
解析：由题意，在圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）中，
圆心E（0，－2），半径为r，到直线y＝ x＋2的
距离为1的点有且仅有 2个，因为圆心E（0，－2）到
直线y＝ x＋2的距离d＝ ＝2，
（1，3）　
故由图可知，当r＝1时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点
（点A）到直线y＝ x＋2的距离等于1；当r＝3时，圆x2＋（y＋2）2＝
r2（r＞0）上有且仅有三个点（点B，C，D）到直线y＝ x＋2的距离
等于1；则当r的取值范围为（1，3）时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）
上有且仅有两个点到直线y＝ x＋2的距离等于1.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系判断；
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断；
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线
与圆相交.
提醒：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线
问题.
切线与弦长问题（定向精析突破）
考向1　弦长问题
（1）（2025·天津高考12题）l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴
交于点B，与圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，｜
AB｜＝3｜CD｜，则r＝ ；
2　
解析： 对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x
＝－6，所以A（－6，0），B（0，6），所以｜AB｜＝6 .因为｜
AB｜＝3｜CD｜，所以｜CD｜＝2 .圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2的
圆心为（－1，3），圆心到直线l1的距离d＝ ＝ ，所以r＝
＝ ＝2.
（2）（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2
＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值
.
解析： 设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得｜AB｜＝
2 ，所以S△ABC＝ ×d×2 ＝ ，解得d＝ 或d＝ ，
由d＝ ＝ ，所以 ＝ 或 ＝ ，解得m＝±
或m＝±2.
2
（ 2，－2， ，－ 中任意一个皆可以）　
直线被圆截得的弦长的两种求法
考向2　切线问题
（1）已知点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，则过点
M的圆C的切线方程为 ，其切线长l
＝ ；
x－3＝0或3x－4y－5＝0　
1　
解析： ∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，∴点M在圆C外.当过点M
的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到
直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的
斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由
圆心C到切线的距离d'＝ ＝r＝2，解得k＝ .∴切线方程为y
－1＝ （x－3），即3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝
＝ ，∴过点M的圆C的切线长l＝
＝ ＝1.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷6题改编）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0
相切的两条直线的夹角为α，则 sin α＝ .
解析：由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所
以圆心为点（2，0），半径为 .如图易知点（2，0）
与点（0，－2）的距离为2 ，所以点（0，－2）与切
点的距离为 ＝ ，所以 sin ＝
， cos ＝ ，所以 sin α＝2 sin cos ＝2× × ＝ .
　
　　求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切
线方程.若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆
外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
考向3　最值（范围）问题
（1）（2024·全国甲卷12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋
by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为
（　C　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 2
C
解析： 根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c
＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM（图
略），则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝
5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为
2 ＝4，故选C.
（2）已知☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直
线l上的动点，过点M作☉C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形
MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为 .
x＋2y＋1＝0　
解析：☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为（x－
1）2＋（y－1）2＝4，则圆心C（1，1），半径r＝2.如
图，连接MC，则四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝｜
CA｜·｜AM｜＝2｜AM｜＝2 .要使四边
形MACB的面积最小，则需｜CM｜最小，此时CM与直
线l垂直，直线CM的方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，联立得 解得M（0，－1），则｜CM｜＝ .则以CM为直径的圆的方程为（x－ ）2＋y2＝ ，与☉C的方程作差可得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0.
求解与弦长（切线长）有关的最值问题
（1）几何法：利用有关几何性质求解.如①过圆内一点的最长弦为过
此点的直径，最短弦为垂直于此点与圆心连线的弦；②直线与圆相
离，圆心到直线的距离为d，则圆上一点到直线的最小距离为d－r，最
大距离为d＋r；
（2）代数法：涉及与圆的弦、切线有关的线段长度范围（最值）问题，
解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数
的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
训练1 （1）（2026·天津和平模拟）过直线y＝x上的点P作圆C：（x＋
3）2＋（y－5）2＝4的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝x对称
时，点P的坐标为（　A　）
A. （1，1） B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ， ）
A
解析： 圆C：（x＋3）2＋（y－5）2＝4的圆心为C（－3，5），直线
l1，l2关于直线y＝x对称时，CP与直线y＝x垂直，所以直线CP的方程为
y－5＝－（x＋3），x＋y－2＝0，由 解得 所
以P（1，1）.故选A.
（2）〔多选〕已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝16，直线l：（2m－
1）x＋（m－1）y－3m＋1＝0.下列说法正确的是（　BD　）
A. 直线l恒过定点（2，1）
B. 圆C被y轴截得的弦长为2
C. 直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0
D. 直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0
BD
解析：对于A，将直线l的方程整理为m（2x＋y－3）＋（－x－y＋1）
＝0，由 得 无论m为何值，直线l恒过定点
（2，－1），故A不正确；对于B，将x＝0代入圆C的方程，得（y－1）2
＝15，解得y＝1± ，故圆C被y轴截得的弦长为2 ，故B正确；对
于C，无论m为何值，直线l不过圆心（1，1），即直线l被圆C截得的弦
长不存在最大值，故C不正确；对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直
于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为 ，此时直线l的方程为y＋1＝
（x－2），即x－2y－4＝0，故D正确.综上所述，选B、D.
圆与圆的位置关系（师生共研过关）
（1）圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8
＝0的公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长
为 ；
x－2y＋4＝0　　
2 　
解析： 联立两圆的方程得 两式相减并化
简，得两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.设两圆相交于A，B两
点，则A，B两点的坐标满足方程组 解得
或 所以｜AB｜＝ ＝
2 ，即公共弦长为2 .
（2）〔一题多解〕（2022·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆x2＋y2＝1和（x－
3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程 .
解析： 法一　如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为
O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－
4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所
以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋
r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知
公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝ x，
x＝－1（答案不唯一）
由 得 由对称性可知公切线l2过点 ，设公
切线l2的方程为y＋ ＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以
1＝ ，解得k＝ ，所以公切线l2的方程为y＋ ＝ （x＋1），即
7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝ x垂直，设公切线l3
的方程为y＝－ x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1
＝ ，解得t＝ 或t＝－ （舍去），所以公切线l3的方程
为y＝－ x＋ ，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－
24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
法二　根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出
直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意.
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与
两圆半径之间的关系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消
去x2，y2项得到.
训练2 （1）〔多选〕已知点A（2，0），圆C：（x－a－1）2＋（y－
a）2＝1上存在点P，满足｜PA｜2＋｜PO｜2＝10（O为坐标原点），则
a的值可能是（　ABC　）
A. 1 B. －1
C. D. 0
解析： 设P（x，y），由｜PA｜2＋｜PO｜2＝10，A（2，0），得（x
－2）2＋y2＋x2＋y2＝10，整理得（x－1）2＋y2＝4.又点P在圆C上，即
两圆有交点，则1＝2－1≤ ≤2＋1＝3，解得
≤｜a｜≤ .∴a的取值可能是1，－1， .故选A、B、C.
ABC
（2）（2026·山东德州模拟）已知圆M：x2＋（y＋1）2＝4与圆N：x2＋
y2－2mx－2y＋1＝0（m＞0）相交于A，B两点，当△AMB为直角三角
形时，m的值为 .
解析：x2＋（y＋1）2＝4与x2＋y2－2mx－2y＋1＝0（m＞0）相减得，－
2mx－4y＋4＝0，即直线AB的方程为mx＋2y－2＝0，圆M：x2＋（y＋
1）2＝4的圆心为M（0，－1），半径为2，因为△AMB为直角三角形，所
以｜AB｜＝2 ，故M到直线AB的距离为 ｜AB｜＝ ，所以
＝ ，因为m＞0，解得m＝2.
2　
圆系方程
1. 同心圆系方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），其中a，b是定
值，r是参数.
2. 过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）.
3. 过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2
＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋
F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时注意检验圆C2是否满足题
意，以防漏解）.
（1）过两圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0和x2＋y2－4x＋2y＋2＝0的交点，
且圆心在直线x＋2y＋2＝0上的圆的方程为（　A　）
A. x2＋y2－8x＋6y＋6＝0
B. x2＋y2－4x＋4y＋6＝0
C. x2＋y2－8x＋6y－6＝0
D. x2＋y2－4x＋4y－6＝0
A
解析： 设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＋λ（x2＋y2－4x＋2y
＋2）＝0，则（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋（2－4λ）x－（4－2λ）y－4＋2λ
＝0，则圆心坐标为（ ， ），代入直线x＋2y＋2＝0，可解得λ＝
－ .故所求圆的方程为－ x2－ y2＋12x－9y－9＝0，即x2＋y2－8x＋6y
＋6＝0.故选A.
（2）经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P
（－1，－2）的圆的方程为 .
解析：法一　解方程组 得 或
∴直线与圆交于点A（1，－1），B（－4，4）.设所求圆的方
程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），将点A，B，P的坐
标代入，得 解得 满足D2＋E2－
4F＞0，故所求圆的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
x2＋y2＋3x－3y－8＝0　
法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ（x＋y）＝0，又P（－
1，－2）在圆上，则（－1）2＋（－2）2＋2×（－1）－4×（－2）－8＋
λ（－1－2）＝0，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋
y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2026·山东济宁模拟）已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2＝1}，B＝
{（x，y）｜y＝x＋1}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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√
解析： 　因为圆x2＋y2＝1的圆心O（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝
＝ ＜1，所以直线与圆相交，所以集合A∩B中元素的个数为2.
故选C.
2. 过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线
的方程为（　　）
A. 2x＋y－5＝0 B. 2x＋y－7＝0
C. x－2y－5＝0 D. x－2y－7＝0
√
解析： 　因为过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一
条，所以点（3，1）在圆（x－1）2＋y2＝r2上，圆心与切点连线的斜率为
k＝ ＝ ，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2（x－
3），即2x＋y－7＝0.
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3. 过点P（－1，1）的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0交于A，B两点，
则｜AB｜的最小值为（　　）
A. 2 B.
√
解析： 将圆C：x2＋y2＋4x－1＝0化为（x＋2）2＋y2
＝5，圆心C（－2，0），半径r＝ ，因为（－1＋
2）2＋12＜5，所以点P（－1，1）在圆C内，记圆心
C到直线l的距离为d，则｜AB｜＝2 ，由图
可知，当d＝｜CP｜，即CP⊥l时，｜AB｜取得最小值，因为｜CP｜
＝ ＝ ，所以｜AB｜的最小值为2 ＝2 .故
选A.
C. D. 2
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4. 圆C：x2＋（y－2）2＝R2（R＞0）上恰好存在2个点到直线y＝ x－
2的距离为1，则R的一个取值可能为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
√
解析： 　圆C：x2＋（y－2）2＝R2的圆心C（0，2），半径为R，点C
到直线y＝ x－2的距离为 ＝2，圆C上恰好存在2个点到直
线y＝ x－2的距离为1，则1＜R＜3，故选B.
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5. 〔多选〕已知圆（x－1）2＋（y－1）2＝4与直线x＋my－m－2＝0，
则（　　）
A. 直线与圆必相交
B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交所截的最短弦长为2
D. 直线与圆可以相切
√
√
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解析： 　由题意，圆（x－1）2＋（y－1）2＝4的圆心C（1，1），半
径r＝2，直线x＋my－m－2＝0变形得x－2＋m（y－1）＝0，得直线过
定点A（2，1），因为｜CA｜＝ ＝1＜2，所以
直线与圆必相交，故A正确，B、D错误；由平面几何知识可知，当直线与
过定点A和圆心C的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为
2 ＝2 ，故C正确.故选A、C.
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6. 〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的
交点为A，B，则（　　）
A. 两圆的圆心距｜O1O2｜＝2
B. 直线AB的方程为x－y＋1＝0
C. 圆O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜
D. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
√
√
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解析： 　由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，可
得圆O1：（x－1）2＋y2＝4和圆O2：x2＋（y－1）2＝2，则圆O1的圆心
坐标为（1，0），半径为2，圆O2的圆心坐标为（0，1），半径为 .对
于A，两圆的圆心距｜O1O2｜＝ ＝ ，故A错
误；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方
程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心（0，1），
所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对
于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1
＝0的距离为 ＝ ，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
，故D正确.故选B、D.
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7. 若圆x2＋y2＝1与圆（x＋4）2＋（y－a）2＝25相切，则常数a
＝ .
解析：两圆的圆心距d＝ ，由两圆相切（外切或内切），
得 ＝5＋1或 ＝5－1，解得a＝±2 或a
＝0.
±2 或0　
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8. 过点P（0，2）引一条直线l交圆（x－1）2＋y2＝4于A，B两点，
若｜AB｜＝2 ，则直线l的方程为 .
解析：当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，可求出
它与圆（x－1）2＋y2＝4的两交点坐标分别为（0，
），（0，－ ），所以弦长｜AB｜＝2 ，满足题
意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋
2，即kx－y＋2＝0.如图所示，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连接CD，AC，则CD⊥AB. 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，｜AC｜＝r＝2，｜AD｜＝ ｜AB｜＝ ，故｜CD｜＝ ＝
＝1，即 ＝1，解得k＝－ ，则直线l的方程为3x＋4y－8＝0.故所求直线方程为x＝0或3x＋4y－8＝0.
x＝0或3x＋4y－8＝0　
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9. （13分）已知圆O1：x2＋y2－8 x－8 y＋48＝0，圆O2过点A（0，
－4）.
（1）若圆O2与圆O1相切于点B（2 ，2 ），求圆O2的方程；
解： 由已知得圆O1的圆心坐标为（4 ，4 ），
∵圆O2与圆O1相切于点（2 ，2 ），∴圆O2的圆心在直线y＝x上，
不妨设其圆心为（a，a）.
∵圆O2过点（2 ，2 ），（0，－4），∴a2＋（a＋4）2＝2（a－
2 ）2，∴a＝0，∴a2＋（a＋4）2＝16，
∴圆O2的方程为x2＋y2＝16.
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（2）若圆O2过点C（4，0），圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M
处的切线互相垂直，求直线MN的方程.
解： ∵圆O2过点（0，－4），（4，0），∴圆O2的圆心所在的直
线为y＝－x，不妨设圆心坐标为O2（m，－m）.
∵两圆在交点处的切线相互垂直，且圆O1的圆心坐标为（4 ，4 ），半径为4，
∴（m－4 ）2＋（－m－4 ）2＝42＋m2＋（－m＋4）2，∴m＝－4，
∴圆O2的方程为（x＋4）2＋（y－4）2＝80，
圆O1与圆O2的方程相减，整理得直线MN的方程为x＋（3－2 ）y－
12（ －1）＝0.
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10. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直
径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）
A. π B. π
C. π D. π
√
解析： 　圆C必过点O（0，0），故要使圆C的面积最小，则点O到直
线l的距离为圆C的直径，即2r＝ ，所以r＝ ，所以S＝ π.故选A.
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11. （2025·山东滨州模拟）已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y
＋m＝0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为
M，N. 若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m
＝（　　）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
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解析： 　由题意可知，圆C：（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1，0），
半径r＝3，因为四边形PMCN为正方形，可知｜CP｜＝ r＝3 ，若
使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，可知CP⊥l，则
＝3 ，解得m＝5或m＝－7（舍去），所以正实数m＝5.故
选C.
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12. 〔多选〕已知圆C：（x－2）2＋y2＝1，点P是直线l：x＋y＝0上一
动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确
的是（　　）
A. 圆C上恰有一个点到直线l的距离为
B. 切线长｜PA｜的最小值为1
C. 四边形ACBP面积的最小值为2
D. 直线AB恒过定点（ ，－ ）
√
√
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解析： 　对于A，由圆C：（x－2）2＋y2＝1，可得圆
心C（2，0），半径r＝1，所以圆心C到直线l：x＋y＝
0的距离为 ＝ ，因为 －1＜ ＜ ＋1，故圆C
上有两个点到直线l的距离为 ，故A错误；对于B，由圆的性质，可得切线长｜PA｜＝ ＝ ，当｜PC｜最小时，｜PA｜最小，又｜PC｜min＝ ，则｜PA｜min＝1，故B正确；对于C，
四边形ACBP的面积为2× ×｜PA｜·｜CA｜＝｜PA｜，因为｜PA｜min
＝1，所以四边形ACBP的面积的最小值为1，故C错误；
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对于D，设P（t，－t），由题知A，B在以PC为直径的圆上，又由C（2，
0），所以（x－t）（x－2）＋（y＋t）（y－0）＝0，即x2＋y2－（t＋
2）x＋ty＋2t＝0，因为圆C：（x－2）2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0.
两圆的方程相减得直线AB：（2－t）x＋ty－3＋2t＝0，即2x－3－t（x
－y－2）＝0，由 解得 即直线AB恒过定点
（ ，－ ），故D正确.故选B、D.
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13. （2026·浙江杭州模拟）已知☉O是单位圆，正三角形ABC的顶点A，
B在☉O上，则｜OC｜的最大值为 .
解析：等边三角形ABC的顶点A，B在圆O：x2＋y2＝1
上，如图所示，根据圆与等边三角形的对称性知，当｜
OC｜取最大值时，OC过AB的中点M，设｜AB｜＝x，
则｜CM｜＝ x，｜OM｜＝ ＝ ，所以｜OC｜＝｜OM｜＋｜CM｜＝ ＋ x＝ （ ＋ x），0＜x≤2，设y＝ ＋ x，则y'＝ · ·（－2x）＋ ＝ ，令y'＝0，
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即－x＋ · ＝0，移项平方后化简可得x＝ 或
x＝－ （舍），所以当x∈（0， ）时，y'＞0，y单
调递增；当x∈（ ，2]时，y'＜0，y单调递减，当x＝
时，ymax＝ ＋ × ＝4，所以｜
OC｜的最大值为2.
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14. （15分）已知直线x＋y＋2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切.
（1）求圆O的方程；
解： ∵直线x＋y＋2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切.
∴圆O的半径r＝ ＝ ，∴圆O的方程为x2＋y2＝2.
（2）过点P（2，2）的直线与圆O交于A，B两点，若弦长｜AB｜＝
，求直线AB的斜率的值；
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解： 设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y－2＝k（x－2），
即kx－y－2k＋2＝0，
圆心O（0，0）到直线的距离为d＝ ，
∵弦长｜AB｜＝ ，
∴（ ）2＝（ ）2＋（ ）2，
解得k＝2或k＝ .
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（3）过点Q（1，1）作两条相异直线分别与圆O相交于M，N，且直线
QM和直线QN的倾斜角互补，试着判断向量 和 是否共线？请说明
理由.
解： 向量 和 共线，理由如下：
由题意知，直线QM和直线QN的斜率存在，且互为相反数，
故可设QM：y－1＝k1（x－1），则QN：y－1＝－k1（x－1），
由 得（1＋ ）x2＋2k1（1－k1）x＋（1－k1）2－2
＝0.
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∵点Q的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xM＝ .
同理可得xN＝ ，
∴kMN＝ ＝ ＝ ＝1＝
kOQ，
∴向量 和 共线.
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15. 〔创新设问〕“晩旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图
1）.已知C1：x2＋y2－2ax－4y＋1＝0，C2：x2＋y2－ax－（4＋ ）y
＋2＋2 ＝0，其中a＞0.如图2，A，B为圆C1与C2的交点，若弦AB将
圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧，则组成“月亮”的两段弧长之比
为 .（请写出长度较小的弧与长度较长
的弧的长度之比，即该比值小于1）
　
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解析：由C1：x2＋y2－2ax－4y＋1＝0，C2：x2＋y2－ax－（4＋ ）y
＋2＋2 ＝0，两圆方程相减可得lAB：ax－ y＋2 ＋1＝0，又C1：
x2＋y2－2ax－4y＋1＝0可化为（x－a）2＋（y－2）2＝a2＋3，因为弦
AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧，可知∠AC1B＝120°，所以C1
的圆心到直线AB的距离等于半径的一半，即 ＝
，解得a2＝1，又a＞0，所以a＝1，所以圆C1的方程为（x－
1）2＋（y－2）2＝4，半径为2，所以圆C1被弦AB截得较长的弧长为
×2π×2＝ ；
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圆C2：x2＋y2－x－（4＋ ）y＋2＋2 ＝0可化为（x－ ）2＋（y－2
－ ）2＝3，圆心C2（ ，2＋ ）满足直线AB的方程lAB：x－ y＋
2 ＋1＝0，故“月亮”的长度较小的弧长为圆C2的半圆弧长 π.所以
组成“月亮”的两段弧长之比为 ＝ .
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