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第5节　椭圆
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点（－4，0），焦距为6，则该椭圆的标准方程为（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝（　　）
A.4　　　B.8 C.4或8　　D.12
3.已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心O的距离的取值范围是（　　）
A.[4，5] B.[6，8]
C.[6，10] D.[8，10]
4.（2026·湖北武汉二调）直线3x＋2y＝6经过椭圆m2x2＋n2y2＝1的两个顶点，则该椭圆的离心率为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
5.（2022·全国甲卷11题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
6.〔多选〕
如图，椭圆C：＋＝1（m＞0）的左、右焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝，则（　　）
A.C的焦距为2 B.C的短轴长为2
C.C的离心率为 D.△ABF2的周长为8
7.P为曲线C：＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：4x－3y＋12＝0的距离的最大值为　　　　.
8.（2021·全国甲卷15题）已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为　　　　.
9.（15分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0），左顶点为A，点E的坐标为（0，c），A到直线EF2的距离为b.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程.
10.已知P为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上一点，若C的右焦点F的坐标为（3，0），点M满足｜｜＝1，·＝0，若｜｜的最小值为2，则椭圆C的方程为（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
11.（2026·山东聊城模拟）设F是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为（m，n]，若n＝3m，则椭圆C的离心率为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
12.〔多选〕已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P（，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（　　）
A.离心率的取值范围为（0，）
B.当离心率为时，｜QF1｜的最大值为2＋
C.不存在点Q，使得·＝0
D.＋的最小值为
13.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P，Q是椭圆上关于原点对称的两点，M，N分别是PF，QF的中点.若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　.
14.（15分）已知F1，F2是椭圆C：＋＝1（b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与C交于A，B两点，且｜AF2｜∶｜AB｜∶｜BF2｜＝3∶4∶5.
（1）求C的离心率；
（2）设M，N分别为C的左、右顶点，点P在C上（点P不与点M，N重合），证明：∠MPN≤∠MAN.
15.〔创新交汇〕（2026·江苏常州模拟）如图，已知圆柱的斜截面曲线是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y＝sin ωx（ω＞0）图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则ω的值为　　　　.
第5节　椭圆
1.B　2.C　3.A　4.C　5.B　
6.ABD　由于∠F1AF2＝，所以∠F1AO＝∠OAF2＝，故cos∠F1AO＝cos＝＝＝＝，因此＝（ ）2＝，故m2＝3，所以椭圆C：＋＝1，a＝2，b＝，c＝1.对于A，焦距为2c＝2，故A正确；对于B，短轴长为2b＝2，故B正确；对于C，离心率为e＝＝，故C错误；对于D，△ABF2的周长为4a＝8，故D正确.故选A、B、D.
7.　　8.8
9.解：（1）由题意得，A（－a，0），EF2：x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为b，即＝b，
所以a＋c＝b，
即（a＋c）2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以（a＋c）2＝3（a2－c2），所以2c2＋ac－a2＝0，
因为离心率e＝，所以2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1（舍），
所以椭圆C的离心率为.
（2）由（1）知离心率e＝＝，即a＝2c， ①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，
则｜PF1｜｜PF2｜sin 60°＝，
所以｜PF1｜｜PF2｜＝4，
又
所以a2－c2＝3， ②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
10.B　如图，∵｜｜＝1，∴｜FM｜＝1，又∵·＝0，∴⊥，即PM⊥FM，∴｜｜＝｜PM｜＝＝，∴当点P为椭圆的右顶点时，｜PF｜取最小值，｜PF｜min＝a－c＝a－3，此时｜｜min＝＝2，解得a＝0（舍）或a＝6，∴b2＝a2－c2＝36－9＝27，∴椭圆C的方程为＋＝1.
11.A　令椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）右焦点为E（c，0），｜MF｜＋｜ME｜＝2a，｜NF｜＋｜NE｜＝2a，△FMN周长｜MN｜＋｜MF｜＋｜NF｜＝｜MN｜＋2a－｜ME｜＋2a－｜NE｜＝4a＋｜MN｜－（｜ME｜＋｜NE｜）≤4a＋｜MN｜－｜MN｜＝4a，当且仅当M，N，E共线时取等号，则3m＝4a，即m＝，又｜MN｜＋｜MF｜＋｜NF｜＞｜MF｜＋｜MF｜＝2｜MF｜≥2（a－c），因此m＝2（a－c），则＝2（a－c），解得＝，所以C的离心率为.故选A.
12.BCD　由题设，a＝2，则＋＝1，又P（，1）在椭圆内部，则＋＜1，即2＜b2＜4.对A：e＝＝∈（0，），故选项A错误；对B：当e＝时，有c＝，则｜QF1｜max＝a＋c＝2＋，故选项B正确；对C：由c2－b2＝4－2b2＜0，即c＜b，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，椭圆上不存在点Q使得·＝0，故选项C正确；对D：由椭圆的定义有｜QF1｜＋｜QF2｜＝2a＝4，所以＋＝（＋）·（｜QF1｜＋｜QF2｜）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝，当且仅当｜QF1｜＝2｜QF2｜时等号成立，所以＋的最小值为，故选项D正确.
13.［，1）　解析：设点P（x0，y0），则Q（－x0，－y0），又点F（c，0），所以M（ ，），N（ ，），又以MN为直径的圆过原点，则有OM⊥ON，所以·＝0，即·－·＝0，所以c2－－＝0，又＋＝1，所以＋b2－c2＝0，得＝，所以0≤＜a2，整理得2c2≥a2，解得e≥，又e＜1，所以≤e＜1.
14.解：（1）由＋＝1（b＞0）得a2＝4，则a＝2.
设｜AF2｜＝3m，｜AB｜＝4m，｜BF2｜＝5m，
由勾股定理知∠BAF2＝.
由｜AF2｜＋｜AB｜＋｜BF2｜＝4a＝8可知m＝，所以｜AF2｜＝2.
所以｜AF1｜＝2a－｜AF2｜＝4－2＝2，
所以△AF1F2为等腰直角三角形，
所以点A是椭圆短轴的一个端点，则b＝c＝，
所以椭圆的离心率为e＝＝.
（2）证明：由（1）可得椭圆方程为＋＝1，
则M（－2，0），N（2，0）.
由椭圆的对称性可设A（0，），P（x0，y0），y0∈（0，]，α＝∠PMN，β＝∠PNM，
则tan α＝，tan β＝，＋＝1，
所以tan α·tan β＝·＝＝＝，
tan α＋tan β＝＋＝＝＝，
所以tan（α＋β）＝＝，
所以当y0＝时，tan（α＋β）取得最小值2.
又tan∠MPN＝tan[π－（α＋β）]＝－，
即tan∠MPN∈（－∞，－2]，
又∠MAN＝2∠MAO，tan∠MAO＝＝，
则tan∠MAN＝tan2∠MAO＝－2，
由正切函数的性质知，∠MPN≤∠MAN.
15.1　解析：由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数y＝sin ωx（ω＞0）图象的一部分，可得AB＝2.设圆柱底面半径为r，则T＝＝2πr，所以ω＝，设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，得e＝＝，则a2＝b2＋c2＝b2＋（ a）2，即a2＝4b2，所以＝＝，得AC＝4r，又由勾股定理得AC2－BC2＝16r2－4r2＝（2）2，解得r＝1，故ω＝1.
1 / 1第5节　椭圆
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 4.了解椭圆的简单应用.
知识梳理
1.椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 椭圆　 　　　　　为椭圆的焦点； 　　　　　为椭圆的焦距
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a
2a＞｜F1F2｜
提醒：若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
图形
性 质 范围 －a≤x≤a； －b≤y≤b －b≤x≤b； －a≤y≤a
对称性 对称轴：　　　　　； 对称中心：（0，0）
顶点 A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0）
轴 长轴A1A2的长为　　　； 短轴B1B2的长为　　
焦距 ｜F1F2｜＝　　
离心率 e＝　　　　，e∈（0，1）
a，b，c的关系 a2＝　　　　
椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ： （1）△PF1F2的周长为2a＋2c； （2）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c； （3）＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan＝c｜y0｜，当｜y0｜＝b，即点P的位置为短轴端点时，取最大值，最大值为bc； （4）｜PF1｜·｜PF2｜≤（ ）2＝a2； （5）4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜·cos θ.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（　　）
（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（　　）
（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.（　　）
（4）＋＝1与＋＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（　　）
2.椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是（　　）
A.20　　　B.14 C.2　　　D.
3.若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（　　）
A.3 B.2＋
C.2 D.＋1
4.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是（　　）
A.（3，4） B.（3，5）
C.（4，5） D.（3，4）∪（4，5）
5.〔多选〕已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则（　　）
A.长轴的长为10
B.短半轴的长为6
C.焦点坐标可以是（0，4）
D.椭圆的标准方程可以是＋＝1
椭圆的定义及应用
（师生共研过关）
（1）（2026·海南海口模拟）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　　）
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
（2）（2023·全国甲卷7题）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　）
A.1 B.2
C.4 D.5
听课记录
变式 若将本例（2）中的“·＝0”变为“∠F1PF2＝60°”，则｜PF1｜·｜PF2｜＝　　　　；｜OP｜＝　　　　.
椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系.
训练1 （1）已知两圆C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　）
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
（2）（2026·浙江丽水调研）已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为（　　）
A.6 B.12
C. D.2
（3）已知F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，1），则｜PA｜＋｜PF1｜的最大值为　　　　　，最小值为　　　　.
椭圆的标准方程
（师生共研过关）
（1）经过P（－2，1），Q（，－2）两点的椭圆的标准方程为　　　　　　；
（2）与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点（2，－）的椭圆的标准方程为　　　　　　.
听课记录
求椭圆标准方程的常用方法 （1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程； （2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
训练2 （1）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆C的方程为（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
（2）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为2，则椭圆C的方程为（　　）
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
椭圆的几何性质
（师生共研过关）
（1）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3｜AB｜＝2｜BC｜，则该椭圆的离心率为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
（2）〔多选〕（2026·湖南长沙适应性考试）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（　　）
A.轨道的焦距为d2＋d1
B.轨道的离心率为
C.轨道的短轴长为2
D.当越大时，轨道越扁
听课记录
1.由椭圆的标准方程研究其性质，首先要搞清标准方程表示的椭圆的焦点位置，其次要掌握参数a，b，c的含义及其关系式a2＝b2＋c2. 2.求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； （2）列出含有a，b，c的齐次方程（不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（不等式）求解； （3）利用公式e＝求解.
训练3 （1）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）（2025·浙江宁波一模）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若｜AB｜＝｜F1B｜，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
最值（范围）问题
（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕（2021·全国乙卷11题）设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　　）
A. B.
C. D.2
（2）设B是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A.［，1） B.［，1）
C.（ 0，］ D.（ 0，］
听课记录
与椭圆性质有关的最值（范围）问题的求解策略 策略1：利用椭圆的几何意义，尤其是椭圆的对称性、焦点三角形、长轴长、短轴长、近焦点、远焦点等； 策略2：利用函数，尤其是二次函数； 策略3：利用不等式，尤其是椭圆中x，y的范围； 策略4：三角换元：①焦点在x轴上的椭圆：＋＝1（a＞b＞0），可设椭圆上任一点P（acos θ，bsin θ），其中θ∈[0，2π）；②焦点在y轴上的椭圆：＋＝1（a＞b＞0），可设椭圆上任一点P（bcos θ，asin θ），其中θ∈[0，2π）.
训练4 （1）已知F1，F2分别是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（　　）
A.［，1） B.［，1）
C.［，1） D.［，1）
（2）（2025·广西南宁适应性测试）已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则·的取值范围为（　　）
A.（0，8] B.（0，16]
C.[0，8] D.[0，16]
第5节　椭圆
【夯实必备知识】
知识梳理
1.F1，F2　｜F1F2｜
2.x轴、y轴　2a　2b　2c　　b2＋c2
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.B　3.A　4.D　5.ACD
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）A　（2）B　解析：（1）连接QA（图略） .由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A.
（2）由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋＝＝4c2.∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝＝＝2.故选B.
变式　　　解析：由椭圆方程知c2＝5－1＝4，即c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜｜PF2｜，即16＝20－3｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝.因为＝（＋），所以＝（＋）2＝（＋＋2·）＝[（｜｜＋｜｜）2－｜｜·｜｜]＝×（ 20－）＝，所以｜PO｜＝.
训练1　（1）D　（2）C　（3）6＋　6－
解析：（1）设动圆的圆心为M（x，y），半径为r，圆M与圆C1：（x－4）2＋y2＝169内切，与圆C2：（x＋4）2＋y2＝9外切.所以｜MC1｜＝13－r，｜MC2｜＝3＋r.｜MC1｜＋｜MC2｜＝16＞｜C1C2｜＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆.则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为＋＝1.
（2）由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，∴m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得（2c）2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝（m＋n）2－2mn－2mn·，可得64＝100－mn，得mn＝，故＝mn·sin∠F1PF2＝××＝.
（3）椭圆方程可化为＋＝1，设F2是椭圆的右焦点，则F2（2，0），连接AF2，PF2（图略），∴｜AF2｜＝，易知｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜－｜PF2｜＋6.又－｜AF2｜≤｜PA｜－｜PF2｜≤｜AF2｜（当P，A，F2三点共线时等号成立），∴6－≤｜PA｜＋｜PF1｜≤6＋.∴｜PA｜＋｜PF1｜的最大值为6＋，最小值为6－.
考点2
【例2】　（1）＋＝1　（2）＋＝1或＋＝1　解析：（1）设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），则有解得则所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）椭圆＋＝1的离心率是e＝，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是＋＝1（a＞b＞0），所以解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
训练2　（1）A　（2）D
解析：（1）如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，所以4a＝8，a＝2，又离心率为，所以c＝1，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，∴OB∥AF2，又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴.在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝，设｜AF2｜＝t（t＞0），则｜AF1｜＝2t，｜F1F2｜＝t.∵△AF1F2的面积为2，∴×t×t＝2，t＝2.∴2a＝｜AF1｜＋｜AF2｜＝3t＝6，a＝3，2c＝｜F1F2｜＝t＝2，c＝，b2＝a2－c2＝6，则椭圆C的方程为＋＝1.
考点3
【例3】　（1）B　（2）BC　解析：（1）由椭圆的方程＋＝1（a＞b＞0）可得当x＝c时y＝±，所以｜AB｜＝2c，｜BC｜＝.因为3｜AB｜＝2｜BC｜，所以6c＝，所以3ac＝2b2＝2a2－2c2，所以3e＝2－2e2，解得e＝或e＝－2（舍）.故选B.
（2）设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝，c＝，b2＝a2－c2＝d1d2，即b＝，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝＝，短轴长为2b＝2，所以A错误，B、C正确；因为e＝＝＝＝＝－1＋，所以当越大时，椭圆的离心率e越小，即椭圆越圆，所以D错误.综上，选B、C.
训练3　（1）A　（2）C　解析：（1）法一　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A.
法二　代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）如图，因为△ABF1的周长为4a，｜AF1｜＝｜AF2｜＝a，｜AB｜＝｜F1B｜，所以｜AB｜＝｜F1B｜＝a，｜BF2｜＝.又cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，所以＋＝0 3c2＝a2 ＝＝e.所以椭圆C的离心率为.故选C.
考点4
【例4】　（1）A　（2）C　解析：（1）法一　设点P（x，y），则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B（0，1），所以根据两点间的距离公式得｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝－.当2y＋＝0，即y＝－（满足｜y｜≤1）时，｜PB｜2取得最大值，所以｜PB｜max＝.故选A.
法二（三角换元）　因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P（cos θ，sin θ）.易知点B（0，1），所以根据两点间的距离公式得｜PB｜2＝（cos θ）2＋（sin θ－1）2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝－4（ sin θ＋）2＋.易知当sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，｜PB｜2取得最大值，所以｜PB｜max＝.
（2）依题意，得B（0，b），设椭圆上一点P（x0，y0），则｜y0｜≤b，＋＝1，可得＝a2－，则｜PB｜2＝＋（y0－b）2＝＋－2by0＋b2＝－－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，｜PB｜2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤.故选C.
训练4　（1）C　（2）D
解析：（1）若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥，又e＜1，所以离心率e∈［，1）.
（2）由题意知A（－4，0），F（2，0），设M（x0，y0），则·＝（－4－x0，－y0）·（2－x0，－y0）＝（x0－2）（x0＋4）＋＝＋2x0－8＋12－＝＋2x0＋4＝（x0＋4）2，因为＋＝1，所以＝1－≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16.
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第5节　椭圆
课标要求
1. 了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
3. 通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.
4. 了解椭圆的简单应用.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的
两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆　 为椭圆的焦
点；
为椭圆的
焦距
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a
2a＞｜F1F2｜
提醒：若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，
则动点的轨迹不存在.
F1，F2　
｜F1F2｜　
2. 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0）
图形
标准方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0）
性 质 范围 －a≤x≤a； －b≤y≤b －b≤x≤b；
－a≤y≤a
对称性 对称轴： ； 对称中心：（0，0）
顶点 A1（－a，0），A2（a，
0）；B1（0，－b），B2
（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）；
B1（－b，0），B2（b，0）
x轴、y轴　
标准方程 ＋ ＝1（a＞b
＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0）
性 质 轴 长轴A1A2的长为 ； 短轴B1B2的长为
焦距 ｜F1F2｜＝
离心率 e＝ ，e∈（0，1）
a，b，c的 关系 a2＝
2a　
2b　
2c　
　
b2＋c2　
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角
形，如图所示，设∠F1PF2＝θ：
（1）△PF1F2的周长为2a＋2c；
（2）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c；
（3） ＝ ｜PF1｜｜PF2｜ sin θ＝b2tan ＝c｜y0｜，当｜y0｜＝
b，即点P的位置为短轴端点时， 取最大值，最大值为bc；
（4）｜PF1｜·｜PF2｜≤（ ）2＝a2；
（5）4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜ cos θ.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
（　×　）
（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. （　×　）
（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.
（　√　）
（4） ＋ ＝1与 ＋ ＝1（a＞b＞0）的焦距相同.　 （　√　）
×
×
√
√
2. 椭圆 ＋ ＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点
F2的距离是（　　）
A. 20 B. 14
C. 2 D.
√
解析： 由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又椭圆 ＋ ＝1
上一点P到焦点F1的距离等于6，即｜PF1｜＝6，且a＝10，所以6＋｜
PF2｜＝20，故｜PF2｜＝14.
3. 若椭圆C： ＋ ＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为
（　　）
A. 3 B. 2＋
C. 2 D. ＋1
√
解析： 　由题意知a＝2，b＝ ，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离
的最大值为a＋c＝3.
4. 若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则k的取值范围是（　　）
A. （3，4） B. （3，5）
C. （4，5） D. （3，4）∪（4，5）
√
解析： 　由已知得 解得3＜k＜5且k≠4.
5. 〔多选〕已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则（　　）
A. 长轴的长为10
B. 短半轴的长为6
C. 焦点坐标可以是（0，4）
D. 椭圆的标准方程可以是 ＋ ＝1
√
√
√
解析： 　由题意知2c＝8，即c＝4.又e＝ ＝0.8，所以a＝5，2a＝
10，A正确.因为a2－b2＝c2，所以b2＝9，b＝3，B错误.若椭圆的焦点在
x轴上，则椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，D正确.若椭圆的焦点在y轴上，
则一个焦点坐标是（0，4），椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，C正确.
02
PART
研透核心考点
椭圆的定义及应用（师生共研过关）
（1）（2026·海南海口模拟）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内
一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于
点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　A　）
A
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
解析： 连接QA（图略）.由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜
＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所
以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，
r为长轴长的椭圆.故选A.
（2）（2023·全国甲卷7题）设F1，F2为椭圆C： ＋y2＝1的两个焦点，
点P在C上，若 · ＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　B　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
B
解析： 由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵ · ＝0，
∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋ ＝ ＝4c2.∵｜PF1｜＋｜
PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝ ＝ ＝2.故选B.
变式 若将本例（2）中的“ · ＝0”变为“∠F1PF2＝60°”，则｜
PF1｜·｜PF2｜＝ 　 　；｜OP｜＝ 　 　.
解析：由椭圆方程知c2＝5－1＝4，即c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理
得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋ －2｜PF1｜｜PF2｜ cos 60°＝（｜
PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜｜PF2｜，即16＝20－3｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝ .因为 ＝ （ ＋ ），所以 ＝ （ ＋ ）2＝ （ ＋ ＋2 · ）＝ [（｜ ｜＋｜ ｜）2－｜ ｜·｜ ｜]＝ ×（ 20－ ）＝ ，所以｜PO｜＝ .
　
　
椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦
点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等；
（2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜
PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系.
训练1 （1）已知两圆C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9.
动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨
迹方程是（　D　）
A. － ＝1 B. ＋ ＝1
C. － ＝1 D. ＋ ＝1
D
解析： 设动圆的圆心为M（x，y），半径为r，圆M与圆C1：（x－4）2
＋y2＝169内切，与圆C2：（x＋4）2＋y2＝9外切.所以｜MC1｜＝13－
r，｜MC2｜＝3＋r.｜MC1｜＋｜MC2｜＝16＞｜C1C2｜＝8，由椭圆的
定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆.则a＝8，c＝4，
所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为 ＋ ＝1.
（2）（2026·浙江丽水调研）已知点P是椭圆 ＋ ＝1上一点，椭圆的
左、右焦点分别为F1，F2，且 cos ∠F1PF2＝ ，则△PF1F2的面积为
（　C　）
A. 6 B. 12
C. D. 2
C
解析：由椭圆 ＋ ＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.设｜PF1｜＝m，｜
PF2｜＝n，∴m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得（2c）2＝m2
＋n2－2mn· cos ∠F1PF2＝（m＋n）2－2mn－2mn· ，可得64＝100－
mn，得mn＝ ，故 ＝ mn· sin ∠F1PF2＝ × ×
＝ .
（3）已知F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，
1），则｜PA｜＋｜PF1｜的最大值为 　6＋ 　，最小值为 　6－ 　.
解析：椭圆方程可化为 ＋ ＝1，设F2是椭圆的右焦点，则F2（2，
0），连接AF2，PF2（图略），∴｜AF2｜＝ ，易知｜PA｜＋｜PF1｜
＝｜PA｜－｜PF2｜＋6.又－｜AF2｜≤｜PA｜－｜PF2｜≤｜AF2｜
（当P，A，F2三点共线时等号成立），∴6－ ≤｜PA｜＋｜PF1｜≤6
＋ .∴｜PA｜＋｜PF1｜的最大值为6＋ ，最小值为6－ .
6＋ 　
6－ 　
椭圆的标准方程（师生共研过关）
（1）经过P（－2 ，1），Q（ ，－2）两点的椭圆的标准方程
为 ；
解析： 设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），则有
解得 则所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
＋ ＝1　
（2）与椭圆 ＋ ＝1有相同离心率，且经过点（2，－ ）的椭圆的标
准方程为 .
＋ ＝1或 ＋ ＝1　
解析： 椭圆 ＋ ＝1的离心率是e＝ ，当焦点在x轴上时，设所求椭圆
的方程是 ＋ ＝1（a＞b＞0），所以 解得
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.当焦点在y轴上时，设所求椭圆的
方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），所以 解得 所
以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.综上，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1
或 ＋ ＝1.
求椭圆标准方程的常用方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆
方程；
（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点
在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，
n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
训练2 （1）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，离心率为 ，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的
周长为8，则椭圆C的方程为（　A　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋y2＝1 D. ＋ ＝1
解析： 如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，
所以4a＝8，a＝2，又离心率为 ，所以c＝1，b2＝3，所
以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
A
（2）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
过F1且倾斜角为 的直线交C于第一象限内一点A. 若线段AF1的中点在y
轴上，△AF1F2的面积为2 ，则椭圆C的方程为（　D　）
A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
D
解析：如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中
点，∴OB∥AF2，又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴.在
Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝ ，设｜AF2｜＝t（t＞0），
则｜AF1｜＝2t，｜F1F2｜＝ t.∵△AF1F2的面积为2 ，∴ × t×t＝2 ，t＝2.∴2a＝｜AF1｜＋｜AF2｜＝3t＝6，a＝3，2c＝｜F1F2｜＝ t＝2 ，c＝ ，b2＝a2－c2＝6，则椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
椭圆的几何性质（师生共研过关）
（1）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）
上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3｜AB｜＝2｜BC｜，则
该椭圆的离心率为（　B　）
A. B. C. D.
B
解析： 由椭圆的方程 ＋ ＝1（a＞b＞0）可得当x＝c时y＝± ，
所以｜AB｜＝2c，｜BC｜＝ .因为3｜AB｜＝2｜BC｜，所以6c＝
，所以3ac＝2b2＝2a2－2c2，所以3e＝2－2e2，解得e＝ 或e＝－2
（舍）.故选B.
（2）〔多选〕（2026·湖南长沙适应性考试）某彗星的运行轨道是以太阳
为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心
的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为d2，并且
近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（　BC　）
A. 轨道的焦距为d2＋d1
B. 轨道的离心率为
C. 轨道的短轴长为2
D. 当 越大时，轨道越扁
BC
解析：设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知
a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝ ，c＝ ，b2＝a2－c2＝
d1d2，即b＝ ，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝ ＝ ，短轴
长为2b＝2 ，所以A错误，B、C正确；因为e＝ ＝ ＝
＝ ＝－1＋ ，所以当 越大时，椭圆的离心率e越小，即
椭圆越圆，所以D错误.综上，选B、C.
1. 由椭圆的标准方程研究其性质，首先要搞清标准方程表示的椭圆的焦点
位置，其次要掌握参数a，b，c的含义及其关系式a2＝b2＋c2.
2. 求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解；
（2）列出含有a，b，c的齐次方程（不等式），借助于b2＝a2－c2消去
b，转化为含有e的方程（不等式）求解；
（3）利用公式e＝ 求解.
训练3 （1）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1： ＋y2＝1
（a＞1），C2： ＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝ e1，则a＝
（　A　）
A. B.
C. D.
解析： 法一　由题意知e1＝ ，e2＝ ＝ ，因为e2＝ e1，所
以 ＝ × ，得a＝ .故选A.
A
法二　代入验证，若a＝ ，则e1＝ ＝ ＝ ，又e2＝
，所以e2＝ e1，所以a＝ 符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）（2025·浙江宁波一模）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过
上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B. 若｜AB｜＝｜F1B｜，则椭圆C
的离心率为（　C　）
A. B. C. D.
C
解析： 如图，因为△ABF1的周长为4a，｜AF1｜＝｜
AF2｜＝a，｜AB｜＝｜F1B｜，所以｜AB｜＝｜F1B｜
＝ a，｜BF2｜＝ .又 cos ∠AF2F1＋ cos ∠BF2F1＝0，
所以 ＋ ＝0 3c2＝a2 ＝ ＝e.所以椭圆C的离心率为 .故选C.
最值（范围）问题（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕（2021·全国乙卷11题）设B是椭圆C： ＋y2＝1
的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　A　）
A. B. C. D. 2
A
解析： 法一　设点P（x，y），则根据点P在椭圆 ＋y2＝1上可得x2＝
5－5y2.易知点B（0，1），所以根据两点间的距离公式得｜PB｜2＝x2＋
（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝ － .当2y
＋ ＝0，即y＝－ （满足｜y｜≤1）时，｜PB｜2取得最大值 ，所
以｜PB｜max＝ .故选A.
法二（三角换元）　因为点P在椭圆 ＋y2＝1上，所以可设点P（ cos
θ， sin θ）.易知点B（0，1），所以根据两点间的距离公式得｜PB｜2＝
（ cos θ）2＋（ sin θ－1）2＝4 cos 2θ－2 sin θ＋2＝－4 sin 2θ－2 sin θ＋6
＝－4（ sin θ＋ ）2＋ .易知当 sin θ＋ ＝0，即 sin θ＝－ 时，｜PB｜2
取得最大值 ，所以｜PB｜max＝ .
（2）设B是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一
点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是（　C　）
A. ［ ，1） B. ［ ，1）
C. （0， ］ D. （0， ］
C
解析：依题意，得B（0，b），设椭圆上一点P（x0，y0），则｜y0｜
≤b， ＋ ＝1，可得 ＝a2－ ，则｜PB｜2＝ ＋（y0－b）2
＝ ＋ －2by0＋b2＝－ －2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b
时，｜PB｜2＝4b2，所以－ ≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝
≤ .故选C.
与椭圆性质有关的最值（范围）问题的求解策略
策略1：利用椭圆的几何意义，尤其是椭圆的对称性、焦点三角形、长轴
长、短轴长、近焦点、远焦点等；
策略2：利用函数，尤其是二次函数；
策略3：利用不等式，尤其是椭圆中x，y的范围；
策略4：三角换元：①焦点在x轴上的椭圆： ＋ ＝1（a＞b＞0），可
设椭圆上任一点P（a cos θ，b sin θ），其中θ∈[0，2π）；②焦点在y轴
上的椭圆： ＋ ＝1（a＞b＞0），可设椭圆上任一点P（b cos θ，a sin
θ），其中θ∈[0，2π）.
训练4 （1）已知F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦
点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围
为（　C　）
A. ［ ，1） B. ［ ，1）
C. ［ ，1） D. ［ ，1）
C
解析： 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为
圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得
c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥ ，又e＜1，所
以离心率e∈［ ，1）.
（2）（2025·广西南宁适应性测试）已知椭圆 ＋ ＝1的左顶点为A，
右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则 · 的取值范围为（　D　）
A. （0，8] B. （0，16]
C. [0，8] D. [0，16]
D
解析：由题意知A（－4，0），F（2，0），设M（x0，y0），则 ·
＝（－4－x0，－y0）·（2－x0，－y0）＝（x0－2）（x0＋4）＋ ＝ ＋2x0－8＋12－ ＝ ＋2x0＋4＝ （x0＋4）2，因为 ＋ ＝1，所以 ＝1－ ≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤ · ≤16.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若椭圆的焦点在x轴上且经过点（－4，0），焦距为6，则该椭圆的标准
方程为（　　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 　由题意得a＝4，2c＝6，则c＝3，b2＝a2－c2＝7，所以该椭圆
的标准方程为 ＋ ＝1.
2. 椭圆 ＋ ＝1的焦距为4，则m＝（　　）
A. 4 B. 8
C. 4或8 D. 12
√
解析： 当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝
4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）
＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心
O的距离的取值范围是（　　）
A. [4，5] B. [6，8]
C. [6，10] D. [8，10]
√
解析： 不妨设椭圆的焦点在x轴上，则该椭圆的标准方程为 ＋ ＝
1.设点P（x，y），则－5≤x≤5，且有y2＝16－ x2.所以｜OP｜＝
＝ ∈[4，5].故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. （2026·湖北武汉二调）直线3x＋2y＝6经过椭圆m2x2＋n2y2＝1的两个
顶点，则该椭圆的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　当x＝0时，由3x＋2y＝6，则y＝3；当y＝0时，由3x＋2y＝
6，则x＝2，由题意可得（0，3），（2，0）为椭圆m2x2＋n2y2＝1的顶
点，则椭圆的方程为 ＋ ＝1，所以a＝3，b＝2，可得c＝ ＝
，所以离心率e＝ ＝ .
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5. （2022·全国甲卷11题）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率
为 ，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若 · ＝－
1，则C的方程为（　　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋y2＝1
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解析： 　依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以
＝（－a，－b）， ＝（a，－b）， · ＝－a2＋b2＝－（a2
－b2）＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝ ＝ ＝ ，所以a＝3，
a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为 ＋ ＝1，故选B.
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6. 〔多选〕如图，椭圆C： ＋ ＝1（m＞0）的左、右焦点为F1，
F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝ ，则
（　　）
A. C的焦距为2 B. C的短轴长为2
C. C的离心率为 D. △ABF2的周长为8
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解析： 由于∠F1AF2＝ ，所以∠F1AO＝∠OAF2＝ ，故 cos
∠F1AO＝ cos ＝ ＝ ＝ ＝ ，因此 ＝（ ）2＝
，故m2＝3，所以椭圆C： ＋ ＝1，a＝2，b＝ ，c＝1.对于
A，焦距为2c＝2，故A正确；对于B，短轴长为2b＝2 ，故B正确；对
于C，离心率为e＝ ＝ ，故C错误；对于D，△ABF2的周长为4a＝8，故
D正确.故选A、B、D.
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7. P为曲线C： ＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：4x－3y＋12＝0的
距离的最大值为 .
解析：设P（2 cos α， sin α），由直线l：4x－3y＋12＝0，则d＝
＝ ，故dmax＝ .
　
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8. （2021·全国甲卷15题）已知F1，F2为椭圆C： ＋ ＝1的两个焦
点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则
四边形PF1QF2的面积为 .
解析：根据椭圆的对称性及｜PQ｜＝｜F1F2｜可以得到四边形PF1QF2为
对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF1｜＝m，
则｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝8－m，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝m2＋（8－
m）2＝2m2＋64－16m＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2－b2）＝48，得m（8－
m）＝8，所以四边形PF1QF2的面积为｜PF1｜×｜PF2｜＝m（8－m）
＝8.
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9. （15分）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），
F2（c，0），左顶点为A，点E的坐标为（0，c），A到直线EF2的距离
为 b.
（1）求椭圆C的离心率；
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解： 由题意得，A（－a，0），EF2：x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为 b，即 ＝ b，
所以a＋c＝ b，
即（a＋c）2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以（a＋c）2＝3（a2－c2），所以2c2＋ac－a2＝0，
因为离心率e＝ ，所以2e2＋e－1＝0，
解得e＝ 或e＝－1（舍），所以椭圆C的离心率为 .
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（2）若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为 ，求
椭圆C的方程.
解： 由（1）知离心率e＝ ＝ ，即a＝2c， ①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为 ，
则 ｜PF1｜｜PF2｜ sin 60°＝ ，
所以｜PF1｜｜PF2｜＝4，
又
所以a2－c2＝3， ②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
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10. 已知P为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）上一点，若C的右焦点F的
坐标为（3，0），点M满足｜ ｜＝1， · ＝0，若｜ ｜的最
小值为2 ，则椭圆C的方程为（　　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
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解析： 　如图，∵｜ ｜＝1，∴｜FM｜＝1，又
∵ · ＝0，∴ ⊥ ，即PM⊥FM，∴｜
｜＝｜PM｜＝ ＝
，∴当点P为椭圆的右顶点时，｜PF｜取最小值，｜PF｜min＝a－c＝a－3，此时｜ ｜min＝ ＝2 ，解得a＝0（舍）或a＝6，∴b2＝a2－c2＝36－9＝27，∴椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
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11. （2026·山东聊城模拟）设F是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左
焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为（m，n]，
若n＝3m，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　令椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）右焦点为E（c，0），｜
MF｜＋｜ME｜＝2a，｜NF｜＋｜NE｜＝2a，△FMN周长｜MN｜
＋｜MF｜＋｜NF｜＝｜MN｜＋2a－｜ME｜＋2a－｜NE｜＝4a＋｜
MN｜－（｜ME｜＋｜NE｜）≤4a＋｜MN｜－｜MN｜＝4a，当且仅
当M，N，E共线时取等号，则3m＝4a，即m＝ ，又｜MN｜＋｜
MF｜＋｜NF｜＞｜MF｜＋｜MF｜＝2｜MF｜≥2（a－c），因此m
＝2（a－c），则 ＝2（a－c），解得 ＝ ，所以C的离心率为 .故
选A.
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12. 〔多选〕已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，长轴长为4，点P（ ，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下
说法正确的是（　　）
A. 离心率的取值范围为（0， ）
B. 当离心率为 时，｜QF1｜的最大值为2＋
C. 不存在点Q，使得 · ＝0
D. ＋ 的最小值为
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解析： 　由题设，a＝2，则 ＋ ＝1，又P（ ，1）在椭圆内
部，则 ＋ ＜1，即2＜b2＜4.对A：e＝ ＝ ∈（0， ），故
选项A错误；对B：当e＝ 时，有c＝ ，则｜QF1｜max＝a＋c＝2＋
，故选项B正确；对C：由c2－b2＝4－2b2＜0，即c＜b，所以以原点为
圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，椭圆上不存在点Q使得 · ＝0，
故选项C正确；
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对D：由椭圆的定义有｜QF1｜＋｜QF2｜＝2a＝4，所以 ＋
＝ （ ＋ ）·（｜QF1｜＋｜QF2｜）＝ （5＋
＋ ）≥ （5＋2 ）＝ ，当且仅当｜
QF1｜＝2｜QF2｜时等号成立，所以 ＋ 的最小值为 ，故
选项D正确.
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13. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P，Q是椭圆上关于
原点对称的两点，M，N分别是PF，QF的中点.若以MN为直径的圆过原
点，则椭圆的离心率e的取值范围是 .
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解析：设点P（x0，y0），则Q（－x0，－y0），又点
F（c，0），所以M（ ， ），N（ ，
），又以MN为直径的圆过原点，则有OM⊥ON，所以 · ＝0，即 · － · ＝0，所以c2－ － ＝0，又 ＋ ＝1，所以 ＋b2－c2＝0，得 ＝ ，所以0≤ ＜a2，整理得2c2≥a2，解得e≥ ，又e＜1，所以 ≤e＜1.
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14. （15分）已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1（b＞0）的左、右焦点，
过点F1的直线与C交于A，B两点，且｜AF2｜∶｜AB｜∶｜BF2｜＝
3∶4∶5.
（1）求C的离心率；
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解： 由 ＋ ＝1（b＞0）得a2＝4，则a＝2.
设｜AF2｜＝3m，｜AB｜＝4m，｜BF2｜＝5m，
由勾股定理知∠BAF2＝ .
由｜AF2｜＋｜AB｜＋｜BF2｜＝4a＝8可知m＝ ，所以｜AF2｜＝2.
所以｜AF1｜＝2a－｜AF2｜＝4－2＝2，
所以△AF1F2为等腰直角三角形，
所以点A是椭圆短轴的一个端点，则b＝c＝ ，
所以椭圆的离心率为e＝ ＝ .
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（2）设M，N分别为C的左、右顶点，点P在C上（点P不与点M，N重
合），证明：∠MPN≤∠MAN.
解： 证明：由（1）可得椭圆方程为 ＋ ＝1，
则M（－2，0），N（2，0）.
由椭圆的对称性可设A（0， ），P（x0，y0），y0∈（0， ]，α＝
∠PMN，β＝∠PNM，
则tan α＝ ，tan β＝ ， ＋ ＝1，
所以tan α·tan β＝ · ＝ ＝ ＝ ，
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tan α＋tan β＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ，
所以tan（α＋β）＝ ＝ ，
所以当y0＝ 时，tan（α＋β）取得最小值2 .
又tan∠MPN＝tan[π－（α＋β）]＝－ ，
即tan∠MPN∈（－∞，－2 ]，
又∠MAN＝2∠MAO，tan∠MAO＝ ＝ ，
则tan∠MAN＝tan2∠MAO＝－2 ，
由正切函数的性质知，∠MPN≤∠MAN.
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15. 〔创新交汇〕（2026·江苏常州模拟）如图，已知圆柱的斜截面曲线是
一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的
底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个
周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y＝ sin ωx（ω＞0）图象的一
部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为 ，则ω的值为 .
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解析：由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数y＝ sin ωx（ω＞0）图
象的一部分，可得AB＝2 .设圆柱底面半径为r，则T＝ ＝2πr，所以
ω＝ ，设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为 ，得e＝ ＝
，则a2＝b2＋c2＝b2＋（ a）2，即a2＝4b2，所以 ＝ ＝ ，得AC
＝4r，又由勾股定理得AC2－BC2＝16r2－4r2＝（2 ）2，解得r＝1，故
ω＝1.
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