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第6节　双曲线
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.（2026·浙江温州模拟）双曲线－x2＝1（a＞0）的一个焦点为（0，2），则a＝（　　）
A.　　　 B.　　　
C.3　　　 D.
2.（2025·全国Ⅰ卷3题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（　　）
A. B.2
C. D.2
3.经过点M（2，2）且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是（　　）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4.若P为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上异于A（－a，0），B（a，0）的动点，且直线PA与PB的斜率之积为5，则C的渐近线方程为（　　）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±5x
5.〔多选〕已知双曲线C：－＝1（m＞0），则下列说法正确的是（　　）
A.双曲线C的实轴长为2
B.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
C.若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D.若m＝2，则双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
6.〔多选〕已知F1，F2是双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，｜PM｜＝｜MF1｜，下列判断正确的是（　　）
A.∠PF2F1＝60° B.｜MF2｜＝｜PF1｜
C.E的离心率等于 D.E的渐近线方程为y＝±x
7.动点M与定点F（，0）的距离和它与定直线l：x＝的距离的比是，则点M的轨迹方程为　　　　　　.
8.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4，若点A（12，0），点P为双曲线C左支上一点，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为　　　　.
9.（13分）已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程.
10.（2026·江苏苏州适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）
A.（0，） B.（1，）
C.（0，） D.（1，）
11.（2026·辽宁省部分重点中学协作体考试）已知双曲线C的离心率为，F1，F2为C的左、右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则＝（　　）
A. B.
C.2 D.
12.〔一题多解〕〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷11题）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则（　　）
A.∠A1MA2＝ B.｜MA1｜＝2｜MA2｜
C.C的离心率为 D.当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8
13.（2025·北京市第二中学模拟）已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝45°，则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为　　　　.
14.（15分）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为8 km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4 km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6 km，道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点，线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
（1）求道路M-N-P对应的曲线方程；
（2）现要在M-N-P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？
15.〔创新设问〕关于双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），4位同学给出了四个说法：
小明：双曲线C的实轴长为8；
小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线C的离心率为；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是　　　　；双曲线C的方程为　　　　　.（第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”）
第6节　双曲线
1.A　2.D　3.D　4.C　5.BC　
6.BCD　如图所示，因为｜PM｜＝｜MF1｜，即M为PF1的中点，O为F1F2的中点，所以OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以∠PF2F1＝90°，｜MF2｜＝｜PF1｜，故A错误，B正确；由PF2⊥F1F2知，｜PF2｜＝，又｜F1F2｜＝2c，∠PF1F2＝30°，所以＝2c，即（c2－a2）＝2ac，所以e2－2e－＝0，解得e＝（负值舍去），故C正确；因为e＝＝，所以c2＝3a2，所以b2＝c2－a2＝2a2，所以＝，所以E的渐近线方程为y＝±x，故D正确.故选B、C、D.
7.x2－＝1　8.23　
9.解：（1）不妨设M在双曲线的右支上，点M到x轴的距离为h，
∵·＝0，∴MF1⊥MF2.
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8. ①
在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80， ②
由①②得m·n＝8.
∵＝mn＝4＝×2ch，
∴h＝.
即点M到x轴的距离为.
（2）设双曲线C的方程为－＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线C过点（3，2），∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴双曲线C的方程为－＝1.
10.B　因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，又l：x＋y＋1＝0与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，由图知，－＞－1，即＜1，所以离心率e＝＝＝＜＝，又e＞1，所以1＜e＜.故选B.
11.D　根据题意，e＝＝，则c＝a，b＝＝a，可知渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，且F2（a，0），则｜PF2｜＝＝a，｜F1F2｜＝2a，∠POF2＝，可得｜OP｜＝＝a，∠PF2F1＝.在△PF1F2中，由余弦定理可得，＝＋－2｜PF2｜·｜F1F2｜·cos∠PF2F1＝a2＋8a2－2a×2a×＝5a2，即｜PF1｜＝a，所以＝.故选D.
12.ACD　A.根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝，故A正确；B.法一（余弦定理）　如图，在△A1MO中，｜MA1｜2＝｜A1O｜2＋｜OM｜2－2｜A1O｜｜OM｜cos∠MOA1＝a2＋c2－2accos∠MOA1＝a2＋c2＋2ac×＝3a2＋c2，在△A2MO中，｜MA2｜2＝a2＋c2－2accos∠MOA2＝a2＋c2－2ac×＝c2－a2，在△A1MA2中，｜A2A1｜2＝＋｜MA2｜2－2｜MA1｜｜MA2｜·cos，即4a2＝2c2＋2a2－2××，则13a2＝c2，所以｜MA1｜2＝16a2，｜MA2｜2＝12a2，所以｜MA1｜≠2｜MA2｜.
法二（几何法）　设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则＋＝c2，又y0＝x0，a2＋b2＝c2，联立可得x0＝a，y0＝b，所以M（a，b），所以MA2⊥x轴，在Rt△A1A2M中，因为∠A1MA2＝，所以＝cos＝≠，故B错误；C.根据13a2＝c2，得e＝，故C正确；D.当a＝时，｜MA1｜＝4，｜MA2｜＝2，所以四边形NA1MA2的面积为｜MA1｜｜MA2｜·sin＝4×2×＝8，故D正确.
13.　解析：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a1，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a2，∴｜PF1｜＝a1＋a2，｜PF2｜＝a1－a2，设｜F1F2｜＝2c，∠F1PF2＝45°，则在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1＋a2）2＋（a1－a2）2－2（a1＋a2）（a1－a2）cos 45°，化简得（2－）＋（2＋）＝4c2，即＋＝4，又∵＋≥＝，∴≤4，即e1e2≥，当e2＝（1＋）e1时等号成立即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.
14.解：（1）根据题意，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，
则道路MN所在的曲线是以定点A，B为左、右焦点的双曲线的右支，
其方程为x2－y2＝64（8≤x≤10，0≤y≤6）.
又由道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，则道路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的圆，其方程为x2＋y2＝64（－8≤y≤0）.
故道路M-N-P对应的曲线方程为MN段：x2－y2＝64（8≤x≤10，0≤y≤6），NP段：x2＋y2＝64（－8≤y≤0）.
（2）当点Q在道路MN上时，设Q1（x0，y0），又由C（0，4），
则｜CQ1｜＝，
由（1）可得－＝64，
则｜CQ1｜＝
＝，
可得当y0＝2时，｜CQ1｜有最小值，且＝6；
当点Q在道路NP上时，设Q2（x1，y1），又由C（0，4），
则｜CQ2｜＝，
由（1）可得＋＝64，
则｜CQ2｜＝，
可得当y1＝0时，｜CQ2｜有最小值，且＝4.
因为6＜4，
所以｜CQ｜的最小值为6，此时y0＝2，x0＝2，
即点Q的坐标为（2，2）时，Q到C的距离最小.
15.小强　－＝1　解析：小明正确有a＝4，小红正确有b＝3，小强正确有＝，小同正确有c－a＝1，由此分析小明、小红、小强3位同学中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，即c－a＝1，则小明和小红的说法正确，小强的说法错误.可求得双曲线C的方程为－＝1.
1 / 1第6节　双曲线
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
知识梳理
1.双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 双曲线 　　　　为双曲线的焦点； 　　　　为双曲线的焦距
｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a
0＜2a＜｜F1F2｜
提醒：（1）当2a＝｜F1F2｜时，M点的轨迹是两条射线；（2）当2a＞｜F1F2｜时，M点不存在；（3）若2a＝0，M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1 （a＞0，b＞0） －＝1 （a＞0，b＞0）
图形
性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：　　　　；对称中心：　　　
顶点 A1（－a，0）， A2（a，0） A1（0，－a）， A2（0，a）
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝　　　　　，e∈（1，＋∞）
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝　　　　　（c＞a＞0，c＞b＞0）
提醒：（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝；（2）若焦点在x轴上，渐近线斜率为±；若焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
1.双曲线方程的常见设法 （1）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）； （2）若渐近线的方程为y＝±x（a＞0，b＞0），则可设双曲线方程为－＝λ（λ≠0）； （3）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1（－a2＜λ＜b2）. 2.双曲线中的常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为； （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a； （3）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2； （4）焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（　　）
（2）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.（　　）
（3）方程－＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线.（　　）
（4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.（　　）
（5）双曲线－＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程是±＝0.（　　）
2.已知曲线C的方程为＋＝1（k∈R），若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（　　）
A.－1＜k＜5 B.k＞5
C.k＜－1 D.k≠－1或5
3.已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是（　　）
A.虚轴长为4 B.焦距为2
C.离心率为 D.渐近线方程为2x±3y＝0
4.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（　　）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5.已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于　　　　.
双曲线的定义及应用
（师生共研过关）
（1）（2026·浙江金华模拟）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（　　）
A.x2－＝1
B.－y2＝1
C.x2－＝1（x≤－1）
D.x2－＝1（x≥1）
（2）〔一题多解〕已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为　　　　.
听课记录
双曲线定义应用的两个方面 提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需要确定是哪一支.
训练1 （1）已知动点M（x，y）满足－＝4，则动点M的轨迹是（　　）
A.射线 B.直线
C.椭圆 D.双曲线的一支
（2）已知双曲线C：－＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为（3，1），则｜MD｜－｜MF1｜的最大值为（　　）
A.3 B.1
C.－3 D.－2
（3）设双曲线C：x2－＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若·＝0，｜｜＝｜｜，则b＝（　　）
A.1 B.
C. D.2
双曲线的标准方程
（师生共研过关）
（1）经过点P（3，2），Q（－6，7）的双曲线的标准方程为（　　）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
（2）（2024·天津高考8题）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　　）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
听课记录
求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2； （2）待定系数法：求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ（λ≠0）或mx2＋ny2＝1（mn＜0），再根据条件求解.
训练2 （1）〔一题多解〕（2026·宁夏银川诊断）若双曲线经过点（1，），其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是　　　　　　；
（2）已知双曲线的离心率e＝，且该双曲线经过点（2，2），则该双曲线的标准方程为　　　　　　.
双曲线的几何性质
（定向精析突破）
考向1　渐近线
（1）（2026·山东潍坊模拟）若双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距是其实轴长的2倍，则E的渐近线方程为（　　）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
（2）（2026·河北邯郸质检）若双曲线x2－m2y2＝λ（λ≠0）的两条渐近线互相垂直，则m＝（　　）
A.－1 B.±1
C.2 D.±2
听课记录
求双曲线渐近线方程的方法 （1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程； （2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； （3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程. 提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.
考向2　离心率
（1）（2026·河南郑州模拟）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率e为（　　）
A.2或 B.
C. D.或2
（2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为　　　　.
听课记录
求双曲线离心率的两种方法
训练3 （1）（2026·河北石家庄质量检测）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
（2）（2025·山东临沂模拟）已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为C左支上一点，满足∠F1PF2＝，PF2与C的右支交于点Q，若∠F1QF2＝，则C的离心率为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
最值（范围）问题
（师生共研过关）
（1）已知M（x0，y0）是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的左、右焦点，若·＜0，则y0的取值范围是（　　）
A.（ －，） B.（ 0，） C.（ －，） D.（ 0，）
（2）（2026·重庆联考）已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若｜PF1｜＋｜PF2｜≥4a－4b，则E的离心率的取值范围为　　　　.
听课记录
与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法 （1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解； （2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.
训练4 （1）已知斜率为3的直线l过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（　　）
A.（1，） B.（，＋∞）
C.（1，3） D.（3，＋∞）
（2）（2025·广西南宁适应性测试）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A.4 B.8
C.16 D.32
（3）（2026·北京海淀模拟）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A（5，0）的最小距离为（　　）
A.2 B.
C. D.3
第6节　双曲线
【夯实必备知识】
知识梳理
1.F1，F2　｜F1F2｜
2.坐标轴　原点　　a2＋b2
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√　（5）√
2.C　3.D　4.B　5.6
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）C　（2）2　解析：（1）设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以点M的轨迹是以点C1（－3，0）和C2（3，0）为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－＝1（x≤－1）.
（2）法一（通解）　不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2，｜F1F2｜＝2c＝4，所以（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝8，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝8＋2｜PF1｜｜PF2｜.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8，所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝2.
法二（速解）　 由＝，得＝＝2.
训练1　（1）A　（2）C　（3）B　解析：（1）设F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，故动点M的轨迹是射线.故选A.
（2）由题意知双曲线C的实半轴长a＝2，设右焦点为F2（3，0），所以｜MD｜－｜MF1｜＝｜MD｜－（｜MF2｜＋2a）＝（｜MD｜－｜MF2｜）－2a≤｜F2D｜－2a＝－4＝－3，当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时取等号.故选C.
（3）设｜MF2｜＝t（t＞0），结合题意得｜NF2｜＝t，｜MN｜＝t，结合双曲线的定义可得｜MF2｜－｜MF1｜＝2，则｜MF1｜＝t－2，又由双曲线的定义可得｜NF1｜－｜NF2｜＝2，则t＋t－2－t＝2，解得t＝2，所以｜NF1｜＝｜MN｜＋｜MF1｜＝2＋2，｜NF2｜＝2，∠F1NF2＝45°，在△F1NF2中，由余弦定理得｜F1F2｜＝
＝＝2，所以c＝，则b2＝c2－a2＝3－1＝2，即b＝.
考点2
【例2】　（1）B　（2）C　解析：（1）设双曲线方程为mx2－ny2＝1（mn＞0）.∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1.
（2）由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，得｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，＝｜PF1｜｜PF2｜＝×4a×2a＝4a2，又＝8，所以a2＝2，所以｜F1F2｜2＝＋｜PF2｜2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2＝40.又｜F1F2｜2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
训练2　（1）4x2－y2＝1　（2）－x2＝1
解析：（1）法一　由题意可知，若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1（a＞0，b＞0），则－＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1（a＞0，b＞0），则－＝1，且＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ（λ≠0），∵双曲线经过点（1，），∴λ＝4×12－（）2＝1，∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
（2）由题意，知e＝＝＝，解得a＝2b，当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），∵点（2，2）在该双曲线上，∴－＝1，即－＝1，此方程无解；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），∵点（2，2）在该双曲线上，∴－＝1，即－＝1，解得b＝1，∴a＝2，∴该双曲线的标准方程为－x2＝1.
考点3
【例3】　（1）B　（2）B　解析：（1）由题意可得2c＝2×2a，所以＝＝2，则＝，所以E的渐近线方程为y＝±x.故选B.
（2）当λ＞0时，双曲线焦点在x轴上，a2＝λ，b2＝，故＝，渐近线方程为y＝±x，当λ＜0时，双曲线焦点在y轴上，b2＝－λ，a2＝－，故＝，渐近线方程为y＝±x，所以其渐近线方程为y＝±x，又因为双曲线x2－m2y2＝λ（λ≠0）的两条渐近线互相垂直，所以－×＝－1，解得m＝±1，故选B.
【例4】　（1）A　（2）　解析：（1）由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，而两条渐近线的夹角为，故y＝x的倾斜角为或，故＝或，e＝＝或2.
（2）法一　如图，由题意得｜AB｜＝10，｜AF2｜＝5，又AB∥y轴，故∠AF2F1＝90°，由｜AF1｜＝13，得｜F1F2｜＝12，故c＝6，由双曲线的定义知，｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得2a＝8，a＝4，故e＝＝.
法二　由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1，得y＝±，即A（c，），B（c，－），故｜AB｜＝＝10，｜AF2｜＝＝5，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝.
训练3　（1）B　（2）D　解析：（1）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的上焦点为（0，c），双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，由点到直线的距离公式可得＝＝b＝3，又双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实半轴长为，所以a＝，所以双曲线C的渐近线方程为3y±x＝0，即y＝±x.故选B.
（2）因为∠F1PF2＝，∠F1QF2＝，所以△F1PQ的三个内角都是，从而｜PQ｜＝｜PF1｜，结合双曲线定义得｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，故｜QF2｜＝2a，又｜QF1｜－｜QF2｜＝2a，故｜QF1｜＝4a，结合∠F1QF2＝，故由余弦定理得（2a）2＋（4a）2－2×2a×4a×cos＝（2c）2，化简得4c2＝28a2，解得e＝＝.故选D.
考点4
【例5】　（1）C　（2）［，＋∞）
解析：（1）因为F1（－，0），F2（，0），－＝1，所以·＝（－－x0，－y0）·（－x0，－y0）＝＋－3＜0，即3－1＜0，解得－＜y0＜.
（2）不妨设点P在E的右支上，由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a，由｜PF1｜＋｜PF2｜≥4a－4b，可得2｜PF2｜＋2a≥4a－4b，即｜PF2｜≥a－2b，而｜PF2｜的最小值为c－a，故c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.当2a－c≤0，即≥2时，显然成立；当2a－c＞0，即1＜＜2时，（2a－c）2≤4b2＝4c2－4a2，得≤＜2.综上可知，E的离心率的取值范围为［，＋∞）.
训练4　（1）B　（2）B　（3）B
解析：（1）易知渐近线方程为y＝±x，由题意得＞3，离心率e＝＞.故选B.
（2）由题意知双曲线C的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝×a×｜DE｜＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
（3）因为双曲线C的离心率为，所以＝　①.因为双曲线上同侧顶点到焦点的距离即双曲线上的点到焦点的最小距离，所以c－a＝－3　②.由①②可得c＝，a＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.设P（x，y）（x≤－3或x≥3）是双曲线－y2＝1上的任意一点，则｜AP｜＝＝＝＝＝，所以当x＝时，｜AP｜取得最小值，｜AP｜min＝＝.
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第6节　双曲线
课标要求
1. 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3. 通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个
定点F1，F2 M点的 轨迹为 双曲线 为双曲线的焦
点；
为双曲线的
焦距
｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a
0＜2a＜｜F1F2｜
F1，F2　
｜F1F2｜　
提醒：（1）当2a＝｜F1F2｜时，M点的轨迹是两条射线；（2）当2a
＞｜F1F2｜时，M点不存在；（3）若2a＝0，M点的轨迹是线段F1F2的
垂直平分线.
2. 双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程 － ＝1（a＞0，
b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
性 质 范围 x≥a或x≤－a，
y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴： ；对称中心：
顶点 A1（－a，0），A2
（a，0） A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线 y＝± x y＝± x
离心率 e＝ ，e∈（1，＋∞）
坐标轴　
原点　
　
标准方程 － ＝1（a＞0，
b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
性 质 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b；a
叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系 c2＝ （c＞a＞0，c＞b＞0）
a2＋b2　
提醒：（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y
＝±x，离心率为e＝ ；（2）若焦点在x轴上，渐近线斜率为± ；若
焦点在y轴上，渐近线斜率为± .
1. 双曲线方程的常见设法
（1）与双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为
－ ＝λ（λ≠0）；
（2）若渐近线的方程为y＝± x（a＞0，b＞0），则可设双曲线方程为
－ ＝λ（λ≠0）；
（3）与双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）有公共焦点的双曲线方程可设
为 － ＝1（－a2＜λ＜b2）.
2. 双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为 ；
（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a；
（3）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）中，离心率e与双曲线的渐近
线的斜率k＝± ，满足关系式e2＝1＋k2；
（4）焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦
点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为 .
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点
的轨迹是双曲线. （　×　）
（2）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b. （　×　）
（3）方程 － ＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线. （　×　）
（4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔. （　√　）
（5）双曲线 － ＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程是 ± ＝0.
（　√　）
×
×
×
√
√
2. 已知曲线C的方程为 ＋ ＝1（k∈R），若曲线C是焦点在y轴上
的双曲线，则实数k的取值范围是（　　）
A. －1＜k＜5 B. k＞5
C. k＜－1 D. k≠－1或5
√
解析：　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 解得k＜－1.
3. 已知双曲线的方程为 － ＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是
（　　）
A. 虚轴长为4
B. 焦距为2
C. 离心率为
D. 渐近线方程为2x±3y＝0
√
解析： 　由双曲线的渐近线方程为y＝± x，结合选项选D.
4. 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标
为（0，2），则双曲线的标准方程为（　　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
√
解析： 　由方程组 得a＝2，b＝2.∵双曲线的焦点
在y轴上，∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
5. 已知双曲线x2－ ＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P
到另一个焦点的距离等于 .
解析：设双曲线的焦点为F1，F2，｜PF1｜＝4，则｜｜PF1｜－｜
PF2｜｜＝2，故｜PF2｜＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最
小值为c－a＝ －1＞2，故｜PF2｜＝6.
6　
02
PART
研透核心考点
双曲线的定义及应用（师生共研过关）
（1）（2026·浙江金华模拟）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：
（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹
方程为（　C　）
A. x2－ ＝1 B. －y2＝1
C. x2－ ＝1（x≤－1） D. x2－ ＝1（x≥1）
C
解析： 设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得｜
MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以点M
的轨迹是以点C1（－3，0）和C2（3，0）为焦点的双曲线的左支，且2a
＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－
＝1（x≤－1）.
（2）〔一题多解〕已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点
P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 .
解析： 法一（通解）　不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜
PF2｜＝2a＝2 ，｜F1F2｜＝2c＝4，所以（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝
8，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝8＋2｜PF1｜｜PF2｜.在△F1PF2中，由余弦
定理，得 cos ∠F1PF2＝ ＝ ，所以｜
PF1｜·｜PF2｜＝8，所以 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜· sin 60°＝2 .
法二（速解）　 由 ＝ ，得 ＝ ＝2 .
2 　
双曲线定义应用的两个方面
提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲
线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需要确定是哪一支.
训练1 （1）已知动点M（x，y）满足 －
＝4，则动点M的轨迹是（　A　）
A. 射线 B. 直线
C. 椭圆 D. 双曲线的一支
解析： 设F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点M满足｜MF1｜
－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，故动点M的轨迹是射线.故选A.
A
（2）已知双曲线C： － ＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意
一点，D点的坐标为（3，1），则｜MD｜－｜MF1｜的最大值为
（　C　）
A. 3 B. 1
C. －3 D. －2
解析： 由题意知双曲线C的实半轴长a＝2，设右焦点为F2（3，0），所
以｜MD｜－｜MF1｜＝｜MD｜－（｜MF2｜＋2a）＝（｜MD｜－｜
MF2｜）－2a≤｜F2D｜－2a＝ －4＝－3，当
且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时取等号.故选C.
C
（3）设双曲线C：x2－ ＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过
F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若
· ＝0，｜ ｜＝｜ ｜，则b＝（　B　）
A. 1 B.
C. D. 2
B
解析：设｜MF2｜＝t（t＞0），结合题意得｜NF2｜＝t，
｜MN｜＝ t，结合双曲线的定义可得｜MF2｜－
｜MF1｜＝2，则｜MF1｜＝t－2，又由双曲线的定义可
得｜NF1｜－｜NF2｜＝2，则 t＋t－2－t＝2，解
得t＝2 ，所以｜NF1｜＝｜MN｜＋｜MF1｜＝2＋2 ，｜NF2｜＝
2 ，∠F1NF2＝45°，在△F1NF2中，由余弦定理得｜F1F2｜＝
＝
＝2 ，所以c＝ ，则b2＝c2－a2＝3－1＝
2，即b＝ .
双曲线的标准方程（师生共研过关）
（1）经过点P（3，2 ），Q（－6 ，7）的双曲线的标准方程为
（　B　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
B
解析： 设双曲线方程为mx2－ny2＝1（mn＞0）.∴ 解
得 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
（2）（2024·天津高考8题）已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为
2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　C　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
C
解析：由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得
tan∠PF2F1＝ ＝2，根据双曲线定义｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，
得｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a， ＝ ｜PF1｜｜PF2｜＝
×4a×2a＝4a2，又 ＝8，所以a2＝2，所以｜F1F2｜2＝
＋｜PF2｜2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2＝40.又｜F1F2｜2＝
4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为
－ ＝1.故选C.
求双曲线的标准方程的方法
（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，
从而求出a2，b2；
（2）待定系数法：求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴
上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，
如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为 － ＝λ（λ≠0）或
mx2＋ny2＝1（mn＜0），再根据条件求解.
训练2 （1）〔一题多解〕（2026·宁夏银川诊断）若双曲线经过点（1，
），其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是 ；
解析： 法一　由题意可知，若双曲线的焦点在x轴上，则可设 － ＝1
（a＞0，b＞0），则 － ＝1且 ＝2，联立解得a＝ ，b＝1，则双曲
线的方程为4x2－y2＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则可设 － ＝1（a
＞0，b＞0），则 － ＝1，且 ＝2，此时无解，综上，双曲线的方程
为4x2－y2＝1.
4x2－y2＝1　
法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ（λ≠0），∵双曲线经过点（1，
），∴λ＝4×12－（ ）2＝1，∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
（2）已知双曲线的离心率e＝ ，且该双曲线经过点（2，2 ），则该
双曲线的标准方程为 .
－x2＝1
解析：由题意，知e＝ ＝ ＝ ，解得a＝2b，当焦点在x轴
上时，设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），∵点（2，
2 ）在该双曲线上，∴ － ＝1，即 － ＝1，此方程无解；当焦
点在y轴上时，设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），∵点
（2，2 ）在该双曲线上，∴ － ＝1，即 － ＝1，解得b＝1，
∴a＝2，∴该双曲线的标准方程为 －x2＝1.
双曲线的几何性质（定向精析突破）
考向1　渐近线
（1）（2026·山东潍坊模拟）若双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞
0）的焦距是其实轴长的2倍，则E的渐近线方程为（　B　）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
B
解析： 由题意可得2c＝2×2a，所以 ＝ ＝2，则 ＝ ，
所以E的渐近线方程为y＝± x.故选B.
（2）（2026·河北邯郸质检）若双曲线x2－m2y2＝λ（λ≠0）的两条渐近线
互相垂直，则m＝（　B　）
A. －1 B. ±1
B
解析：当λ＞0时，双曲线焦点在x轴上，a2＝λ，b2＝ ，故 ＝ ，渐
近线方程为y＝± x，当λ＜0时，双曲线焦点在y轴上，b2＝－λ，a2＝－
，故 ＝ ，渐近线方程为y＝± x，所以其渐近线方程为y＝±
x，又因为双曲线x2－m2y2＝λ（λ≠0）的两条渐近线互相垂直，所以－
× ＝－1，解得m＝±1，故选B.
C. 2 D. ±2
求双曲线渐近线方程的方法
（1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；
（2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；
（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近
线方程.
提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x
轴，y轴对称.
考向2　离心率
（1）（2026·河南郑州模拟）已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）
的两条渐近线的夹角为 ，则此双曲线的离心率e为（　A　）
A. 2或 B.
C. D. 或2
A
解析： 由题意得双曲线的渐近线方程为y＝± x，而两条渐近线的夹角
为 ，故y＝ x的倾斜角为 或 ，故 ＝ 或 ，e＝ ＝
或2.
（2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C： － ＝1（a
＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C
于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为 .
解析： 法一　如图，由题意得｜AB｜＝10，｜AF2｜＝
5，又AB∥y轴，故∠AF2F1＝90°，由｜AF1｜＝13，
得｜F1F2｜＝12，故c＝6，由双曲线的定义知，｜AF1｜
－｜AF2｜＝2a，得2a＝8，a＝4，故e＝ ＝ .
　
法二　由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代
入 － ＝1，得y＝± ，即A（c， ），B（c，－ ），故｜
AB｜＝ ＝10，｜AF2｜＝ ＝5，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得｜
AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入 ＝5得b2＝20，故
c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝ ＝ ＝ .
求双曲线离心率的两种方法
训练3 （1）（2026·河北石家庄质量检测）已知双曲线C： － ＝1（a
＞0，b＞0）的实半轴长为 ，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为
3，则双曲线C的渐近线方程为（　B　）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
B
解析： 设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的上焦点为（0，c），
双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，由点到直线的距离公式可得
＝ ＝b＝3，又双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的实半轴长为 ，所以a＝ ，所以双曲线C的渐近线方程为
3y± x＝0，即y＝± x.故选B.
（2）（2025·山东临沂模拟）已知F1，F2分别为双曲线C： － ＝1
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为C左支上一点，满足∠F1PF2＝ ，
PF2与C的右支交于点Q，若∠F1QF2＝ ，则C的离心率为（　D　）
A. B. C. D.
D
解析：因为∠F1PF2＝ ，∠F1QF2＝ ，所以△F1PQ的三个内角都是
，从而｜PQ｜＝｜PF1｜，结合双曲线定义得｜PF2｜－｜PF1｜＝
2a，故｜QF2｜＝2a，又｜QF1｜－｜QF2｜＝2a，故｜QF1｜＝4a，结
合∠F1QF2＝ ，故由余弦定理得（2a）2＋（4a）2－2×2a×4a× cos
＝（2c）2，化简得4c2＝28a2，解得e＝ ＝ .故选D.
最值（范围）问题（师生共研过关）
（1）已知M（x0，y0）是双曲线C： －y2＝1上的一点，F1，F2是
C的左、右焦点，若 · ＜0，则y0的取值范围是（　C　）
A. （ － ， ） B. （ 0， ）
C. （ － ， ） D. （ 0， ）
C
解析： 因为F1（－ ，0），F2（ ，0）， － ＝1，所以
· ＝（－ －x0，－y0）·（ －x0，－y0）＝ ＋ －3＜0，
即3 －1＜0，解得－ ＜y0＜ .
（2）（2026·重庆联考）已知双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若｜PF1｜＋｜PF2｜≥4a－
4b，则E的离心率的取值范围为 .
［ ，＋∞）　
解析：不妨设点P在E的右支上，由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜
＝2a，即｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a，由｜PF1｜＋｜PF2｜≥4a－4b，可
得2｜PF2｜＋2a≥4a－4b，即｜PF2｜≥a－2b，而｜PF2｜的最小值
为c－a，故c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.当2a－c≤0，即 ≥2时，显
然成立；当2a－c＞0，即1＜ ＜2时，（2a－c）2≤4b2＝4c2－4a2，得
≤ ＜2.综上可知，E的离心率的取值范围为［ ，＋∞）.
与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线
的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合
求解；
（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的
函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数
的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为
元的不等式求解.
训练4 （1）已知斜率为3的直线l过双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范
围是（　B　）
A. （1， ） B. （ ，＋∞）
C. （1，3） D. （3，＋∞）
解析： 易知渐近线方程为y＝± x，由题意得 ＞3，离心率e＝
＞ .故选B.
B
（2）（2025·广西南宁适应性测试）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线
C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若
△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　B　）
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
B
解析： 由题意知双曲线C的渐近线方程为y＝± x.因为D，E分别为直
线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E
（a，－b），所以S△ODE＝ ×a×｜DE｜＝ ×a×2b＝ab＝8，所以
c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2 时，等号成立，所以c≥4，
所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
（3）（2026·北京海淀模拟）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）
的离心率为 ，双曲线上的点到焦点的最小距离为 －3，则双曲线上
的点到点A（5，0）的最小距离为（　B　）
A. 2 B.
C. D. 3
B
解析： 因为双曲线C的离心率为 ，所以 ＝ 　①.因为双曲线上同
侧顶点到焦点的距离即双曲线上的点到焦点的最小距离，所以c－a＝
－3　②.由①②可得c＝ ，a＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C
的方程为 －y2＝1.设P（x，y）（x≤－3或x≥3）是双曲线 －y2＝1
上的任意一点，则｜AP｜＝ ＝ ＝
＝ ＝ ，所以当
x＝ 时，｜AP｜取得最小值，｜AP｜min＝ ＝ .
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2026·浙江温州模拟）双曲线 －x2＝1（a＞0）的一个焦点为（0，
2），则a＝（　　）
A. B.
C. 3 D.
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√
解析： 　由题意得c2＝a2＋1＝4，所以a＝ .故选A.
2. （2025·全国Ⅰ卷3题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的 倍，则C的
离心率为（　　）
A. B. 2
C. D. 2
√
解析： 　依题意得b＝ a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋（ a）2＝
8a2，即c＝2 a，故e＝2 .故选D.
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3. 经过点M（2 ，2 ）且与双曲线 － ＝1有相同渐近线的双曲线
方程是（　　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
√
解析： 　由题意知，可设所求的双曲线方程为 － ＝λ（λ≠0），点
M（2 ，2 ）在双曲线上，所以 － ＝λ，解得λ＝－
6，故所求的双曲线方程是 － ＝1.
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4. 若P为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）上异于A（－a，0），B
（a，0）的动点，且直线PA与PB的斜率之积为5，则C的渐近线方程为
（　　）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝±5x
√
解析： 　设P（x0，y0），x0≠±a，则 － ＝1，即 ＝b2· ，
则kPA·kPB＝ ＝ ＝5，则 ＝ ，故C的渐近线方程为y＝± x.
故选C.
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5. 〔多选〕已知双曲线C： － ＝1（m＞0），则下列说法正确的是
（　　）
A. 双曲线C的实轴长为2
B. 若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
C. 若（2，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D. 若m＝2，则双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
√
√
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解析： 　由双曲线C： － ＝1且m＞0，得实轴长为2a＝2 ，A
错误；渐近线方程为y＝± x，若渐近线相互垂直，则－ ＝－1 m＝
2，B正确；若（2，0）为焦点，则c＝2，则2＋m＝c2＝4 m＝2，C正
确；若m＝2，则双曲线C： － ＝1，故双曲线C上的点到焦点距离的
最小值为c－a＝2－ ，D错误.
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6. 〔多选〕已知F1，F2是双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、
右焦点，过F1作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，
P，｜PM｜＝｜MF1｜，下列判断正确的是（　　）
A. ∠PF2F1＝60°
B. ｜MF2｜＝ ｜PF1｜
C. E的离心率等于
D. E的渐近线方程为y＝± x
√
√
√
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解析： 　如图所示，因为｜PM｜＝｜MF1｜，即M
为PF1的中点，O为F1F2的中点，所以OM∥PF2，因为
OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以∠PF2F1＝90°，｜
MF2｜＝ ｜PF1｜，故A错误，B正确；由PF2⊥F1F2
知，｜PF2｜＝ ，又｜F1F2｜＝2c，∠PF1F2＝30°，所以 ＝2c，即 （c2－a2）＝2ac，所以 e2－2e－ ＝0，解得e＝ （负值舍去），故C正确；因为e＝ ＝ ，所以c2＝3a2，所以b2＝c2－a2＝2a2，所以 ＝ ，所以E的渐近线方程为y＝± x，故D正确.故选B、C、D.
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7. 动点M与定点F（ ，0）的距离和它与定直线l：x＝ 的距离的比
是 ，则点M的轨迹方程为 　x2－ ＝1　.
解析：设M（x，y），依题意， ＝ ，化简整理得x2－
＝1，所以点M的轨迹方程为x2－ ＝1.
x2－ ＝1　
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8. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，F为双曲线的
右焦点，且点F到渐近线的距离为4，若点A（12，0），点P为双曲线C
左支上一点，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 .
解析：易得c＝5，b＝4，则a＝3，所以双曲线C的
方程为 － ＝1，记双曲线C的左焦点为F0，则
F0（－5，0），｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋
｜PF0｜＋2a＝｜PA｜＋｜PF0｜＋6，当F0，P，A三点共线时，｜
PA｜＋｜PF0｜最小，且最小值为｜AF0｜＝17.故｜PA｜＋｜PF｜的最
小值为17＋6＝23.
23　
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9. （13分）已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）若点M在双曲线上，且 · ＝0，求点M到x轴的距离；
解： 不妨设M在双曲线的右支上，点M到x轴的距离为h，
∵ · ＝0，∴MF1⊥MF2.
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8. ①
在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80， ②
由①②得m·n＝8.
∵ ＝ mn＝4＝ ×2ch，∴h＝ .
即点M到x轴的距离为 .
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（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3 ，2），求双
曲线C的方程.
解： 设双曲线C的方程为 － ＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线C过点（3 ，2），∴ － ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴双曲线C的方程为 － ＝1.
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10. （2026·江苏苏州适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x
＋y＋1＝0与双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线都相交
且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）
A. （0， ） B. （1， ）
C. （0， ） D. （1， ）
√
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解析： 因为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）
的两条渐近线方程为y＝± x，又l：x＋y＋1＝0
与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，
由图知，－ ＞－1，即 ＜1，所以离心率e＝ ＝ ＝ ＜ ＝ ，又e＞1，所以1＜e＜ .故选B.
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11. （2026·辽宁省部分重点中学协作体考试）已知双曲线C的离心率为
，F1，F2为C的左、右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为
P，O为坐标原点，则 ＝（　　）
A. B. C. 2 D.
√
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解析： 　根据题意，e＝ ＝ ，则c＝ a，b＝
＝a，可知渐近线方程为y＝±x，即x±y
＝0，且F2（ a，0），则｜PF2｜＝ ＝a，
｜F1F2｜＝2 a，∠POF2＝ ，可得｜OP｜＝ ＝a，∠PF2F1＝ .在△PF1F2中，由余弦定理可得， ＝ ＋ －2｜PF2｜·｜F1F2｜· cos ∠PF2F1＝a2＋8a2－2a×2 a× ＝5a2，即｜PF1｜＝ a，所以 ＝ .故选D.
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12. 〔一题多解〕〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷11题）双曲线C： － ＝1
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，
A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝
，则（　　）
A. ∠A1MA2＝
B. ｜MA1｜＝2｜MA2｜
C. C的离心率为
D. 当a＝ 时，四边形NA1MA2的面积为8
√
√
√
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解析： 　A. 根据双曲线和圆的对称性，知四边形
A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝ ，所以
∠A1MA2＝ ，故A正确；B. 法一（余弦定理）　如
图，在△A1MO中，｜MA1｜2＝｜A1O｜2＋｜OM｜2
－2｜A1O｜｜OM｜· cos ∠MOA1＝a2＋c2－2ac cos
∠MOA1＝a2＋c2＋2ac× ＝3a2＋c2，在△A2MO中，｜MA2｜2＝a2＋c2－2ac cos ∠MOA2＝a2＋c2－2ac× ＝c2－a2，在△A1MA2中，｜A2A1｜2＝｜MA1｜2＋｜MA2｜2－2｜MA1｜｜MA2｜· cos ，即4a2＝2c2＋2a2－2 × × ，则13a2＝c2，所以｜MA1｜2＝16a2，｜MA2｜2＝12a2，所以｜MA1｜≠2｜MA2｜.
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法二（几何法）　设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
则 ＋ ＝c2，又y0＝ x0，a2＋b2＝c2，联立可得x0
＝a，y0＝b，所以M（a，b），所以MA2⊥x轴，在
Rt△A1A2M中，因为∠A1MA2＝ ，所以 ＝ cos
＝ ≠ ，故B错误；C. 根据13a2＝c2，得e＝ ，故C正确；D. 当a＝ 时，｜MA1｜＝4 ，｜MA2｜＝2 ，所以四边形NA1MA2的面积为｜MA1｜｜MA2｜ sin ＝4 ×2 × ＝8 ，故D正确.
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13. （2025·北京市第二中学模拟）已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦
点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝45°，则该椭圆与双曲线的离
心率之积的最小值为 .
　
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解析：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长
为a2，则根据椭圆及双曲线的定义｜PF1｜＋｜PF2｜＝
2a1，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a2，∴｜PF1｜＝a1＋
a2，｜PF2｜＝a1－a2，设｜F1F2｜＝2c，∠F1PF2＝45°，则在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1＋a2）2＋（a1－a2）2－2（a1＋a2）（a1－a2） cos 45°，化简得（2－ ） ＋（2＋ ） ＝4c2，即 ＋ ＝4，又∵ ＋ ≥ ＝ ，∴ ≤4，即e1e2≥ ，当e2＝（1＋ ）e1时等号成立即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 .
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14. （15分）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它
们距离城市中心O的距离均为8 km，C是正北方向主干道边上的一个景
点，且距离城市中心O的距离为4 km，为改善市民出行，准备规划道路建
设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的
距离比到景点B的距离都多16 km，其中道路起点M到东西方向主干道的
距离为6 km，道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点，
线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
（1）求道路M-N-P对应的曲线方程；
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解： 根据题意，道路MN段上的任意一点到
景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，
则道路MN所在的曲线是以定点A，B为左、右焦
点的双曲线的右支，
其方程为x2－y2＝64（8≤x≤10，0≤y≤6）.又由道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，则道路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的
圆，其方程为x2＋y2＝64（－8≤y≤0）.故道路M-N-P对应的曲线方程为MN段：x2－y2＝64（8≤x≤10，0≤y≤6），NP段：x2＋y2＝64
（－8≤y≤0）.
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（2）现要在M-N-P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何
设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？
解： 当点Q在道路MN上时，设Q1（x0，
y0），又由C（0，4），则｜CQ1｜＝
，
由（1）可得 － ＝64，
则｜CQ1｜＝ ＝ ，
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可得当y0＝2时，｜CQ1｜有最小值，且｜CQ1｜min＝6 ；
当点Q在道路NP上时，设Q2（x1，y1），又由C（0，4），
则｜CQ2｜＝ ，
由（1）可得 ＋ ＝64，
则｜CQ2｜＝ ，
可得当y1＝0时，｜CQ2｜有最小值，且｜CQ2｜min＝4 .
因为6 ＜4 ，
所以｜CQ｜的最小值为6 ，此时y0＝2，x0＝2 ，
即点Q的坐标为（2 ，2）时，Q到C的距离最小.
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15. 〔创新设问〕关于双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），4位同学
给出了四个说法：
小明：双曲线C的实轴长为8；
小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线C的离心率为 ；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ；双曲
线C的方程为 .（第一空的横线上填“小明”“小
红”“小强”或“小同”）
小强　
－ ＝1　
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解析：小明正确有a＝4，小红正确有b＝3，小强正确有 ＝ ，小同正确
有c－a＝1，由此分析小明、小红、小强3位同学中必有1位同学说法错
误，则小同的说法一定是正确的，即c－a＝1，则小明和小红的说法正
确，小强的说法错误.可求得双曲线C的方程为 － ＝1.
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