资源简介

第7节　抛物线
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（　　）
A.x＋4＝0 B.x－4＝0
C.y2＝8x D.y2＝16x
2.（2021·新高考Ⅱ卷3题）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝（　　）
A.1 B.2
C.2 D.4
3.（2025·山东济南一模）抛物线y＝x2＋2x＋2的焦点坐标为（　　）
A.（ －1，） B.（ －1，）
C.（ 1，） D.（ 1，）
4.
中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为（　　）
A.2 m B.4 m
C.4 m D.12 m
5.已知P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（　　）
A. B.
C.2 D.
6.〔多选〕已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（5，y0）在抛物线上，且｜PF｜＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则（　　）
A.p＝2
B.抛物线的准线为直线y＝－1
C.y0＝2
D.△FPQ的面积为4
7.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则｜QF｜＝　　　　.
8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝8x，P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A，B两点，若∠OAP＝60°，则四边形OAPB的周长为　　　　.
9.（13分）已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M，N为圆C2与x轴的两个交点.
（1）求抛物线C1的方程；
（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断｜MN｜是否为一定值？请证明你的结论.
10.已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l垂直于x轴，且与抛物线C交于P，Q两点，点E在x轴上，且｜EF｜＝2.若kOP·kEQ＝－2（O为坐标原点），则C的准线方程为（　　）
A.x＝－1 B.x＝－
C.x＝－2 D.x＝－
11.（2026·河南开封调研）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（　　）
A.π　　　B.　　　C.　　　D.
12.〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D，若｜AF｜＝8，则以下结论正确的是（　　）
A.p＝4 B.＝
C.｜BD｜＝2｜BF｜ D.｜BF｜＝4
13.（2026·上海闵行模拟）已知曲线C由抛物线x2＝4y及抛物线x2＝－4y组成，若A（4，3），B（4，－3），D，E是曲线C上关于x轴对称的两点，A，B，D，E四点不共线，其中点D在第一象限，则四边形ABED周长的最小值为　　　　.
14.（15分）已知椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 1 2
y 2 0 2
（1）求C1和C2的标准方程；
（2）若C1和C2交于不同的两点A，B，求·的值.
15.〔创新交汇〕
一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（　　）
A.　　　　　　　　　　B.1　　　　　　　　　　C.2　　　　　　　　　　D.
第7节　抛物线
1.D　2.B　3.B　4.B
5.B　直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离.∵F（－1，0），∴（d1＋d2）min＝＝.
6.AD　7.3　
8.　解析：根据抛物线的对称性以及AB为线段OP的垂直平分线，可得四边形OAPB为菱形，又∠OAP＝60°，可得∠AOP＝60°，故可设A（a，a）（a＞0），代入抛物线方程可得（a）2＝8a，解得a＝，故｜OA｜＝2a＝，故四边形OAPB的周长为4×＝.
9.解：（1）由题意，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），
代入P（2，2），得p＝1，
∴抛物线C1的方程为x2＝2y.
（2）｜MN｜是一定值，证明如下：
设圆的圆心C2（a，b），则a2＝2b，且圆的半径r＝，
∴圆被x轴截得的弦长为｜MN｜＝2＝2＝2＝2＝2，即｜MN｜＝2，
∴｜MN｜是一定值.
10.A　由抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），得F（ ，0），由抛物线的对称性，不妨设P（ ，p），Q（ ，－p），当点E的坐标为（ ＋2，0）时，kOP＝＝2，kEQ＝＝，因为kOP·kEQ＝－2，所以2×＝－2，则p＝－2（不符合题意，舍去）；当点E的坐标为（ －2，0）时，kEQ＝＝－，因为kOP·kEQ＝－2，所以2×（ －）＝－2，则p＝2，所以抛物线C的准线方程为x＝－1.
11.B　由题意，作图如图所示，设P（t2，2t）（不妨令t＞0），由已知可得F（1，0），则M（ ，t），所以直线OM的方程为y＝x，设k＝，则k＝≤1，当且仅当t＝1时取等号，所以点F到直线OM的距离为＝≤，即圆F的半径最大值为，面积最大值为.
12.ABC　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则｜PF｜＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，｜AE｜＝｜AF｜，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，所以∠PEF＝30°，所以｜AF｜＝｜EF｜＝2｜PF｜＝2p＝8，得p＝4，故A正确.因为｜AE｜＝｜EF｜＝2｜PF｜，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则＝，故B正确.因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以｜BD｜＝2｜BM｜＝2｜BF｜，故C正确.因为｜BD｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝｜DF｜＝｜AF｜＝，故D错误.
13.4＋4
解析：设抛物线x2＝4y的焦点为F，则p＝2，∴F（0，1），根据对称性可知四边形ABED为等腰梯形，∴四边形ABED的周长CABED＝｜AB｜＋｜DE｜＋2｜AD｜＝6＋2yD＋2｜AD｜＝6＋2（｜DF｜－）＋2｜AD｜＝4＋2（｜DF｜＋｜AD｜）≥4＋2｜AF｜，当且仅当A，D，F三点共线时，等号成立，又｜AF｜＝＝2，∴四边形ABED周长的最小值为4＋4.
14.解：（1）设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则2p＝，
结合表格数据，因为＝＝4，
所以点（1，2），（2，2）在抛物线C2上，且2p＝4，解得p＝2，
所以抛物线C2的标准方程为y2＝4x.
设椭圆C1的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），将点（，），（，0）代入椭圆方程，
得解得
所以椭圆C1的标准方程为＋y2＝1.
（2）根据对称性，可设A（x0，y0），则B（x0，－y0），
联立方程消y得x2＋8x－2＝0，
解得x1＝－4－3，x2＝－4＋3，
因为x＝≥0，所以x0＝3－4.
所以·＝－＝－4x0＝－4（3－4）＝50－36.
15.B　作截面，如图所示，设清洁钢球截面圆的圆心为（0，y0）（y0＞0），若清洁钢球能触及凹槽的最底部，则清洁钢球的半径r＝y0，又抛物线x2＝2y，y∈[0，10]上的点（x，y）到圆心距离的平方为d2＝x2＋（y－y0）2＝2y＋（y－y0）2＝y2＋2（1－y0）y＋，y∈[0，10]，若d2的最小值在y＝0时取到，则清洁钢球触及凹槽的最底部，故二次函数f（y）＝y2＋2（1－y0）y＋图象的对称轴方程应满足－1＋y0≤0，所以y0≤1，所以0＜r≤1，从而清洁钢球的半径r的取值范围为（0，1]，所以清洁钢球的最大半径为1.
1 / 1第7节　抛物线
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.了解抛物线的简单应用.
知识梳理
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离　　　　；（3）定点　　　　定直线上.
提醒：定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0）
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
焦点 F F F F
准线 方程 x＝　 x＝　 y＝　 y＝　
范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R
对称轴 x轴 y轴
开口 方向 向右 向左 向上 向下
顶点 O（0，0）
离心率 e＝　
焦半径 （其中 P（x0，y0）） ｜PF｜＝ 　　 ｜PF｜＝ 　　 ｜PF｜＝ 　　 ｜PF｜＝ 　　
焦点弦 x1＋ x2＋p p－y1－y2
通径 过焦点且垂直于对称轴的弦长等于　　　　，通径是过焦点最短的弦
诊断自测
　
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.（　　）
（2）y2＝2px（p＞0）中p越大，抛物线的开口越大.（　　）
（3）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）.（　　）
（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.（　　）
2.抛物线y2＝4x的焦点坐标是（　　）
A.（0，2） B.（0，1）
C.（2，0） D.（1，0）
3.抛物线x2＝y的准线方程为（　　）
A.y＝－ B.x＝－
C.y＝ D.x＝
4.已知点P（6，y0）在焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，若｜PF｜＝，则p＝（　　）
A.3 B.6
C.9 D.12
5.抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原点，准线过点E（－5，5），则该抛物线方程为　　　　.
抛物线的定义及应用
（师生共研过关）
（1）设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（　　）
A.x2＝8y B.x2＝16y
C.y2＝8x D.y2＝16x
（2）（2025·全国Ⅱ卷6题）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则｜AF｜＝（　　）
A.3　　　B.4 C.5　　　D.6
听课记录
　　“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
训练1 （1）已知抛物线y＝mx2（m＞0）上的点（x0，2）到该抛物线焦点F的距离为，则m＝（　　）
A.4 B.3
C. D.
（2）（2026·湖北十一校联考）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，过抛物线C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若∠NFM＝，则点M的横坐标为　　　　；
（3）（2025·浙江宁波一模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一点且｜PF｜＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝　　　　.
抛物线的标准方程
（师生共研过关）
（1）〔多选〕顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M（2，－2）的抛物线方程为（　　）
A.x2＝－y B.y2＝－x
C.y2＝4x D.x2＝4y
（2）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程为　　　　.
听课记录
求抛物线标准方程的方法 （1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可； （2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论.
训练2 （1）（2025·北京海淀区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（ ，y0）在C上，｜MF｜＝2，则｜y0｜＝（　　）
A.1 B.
C. D.2
（2）（2025·山东潍坊二模）若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程　　　　　　.
抛物线的几何性质
（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕（2021·新高考Ⅰ卷14题改编）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为（　　）
A.x＝－ B.x＝
C.y＝－ D.y＝
（2）〔多选〕（2025·八省联考）已知F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则（　　）
A.p＝4
B.｜MF｜≥｜OF｜
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
听课记录
　　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思想解题的直观性.
训练3 （1）将两个顶点在抛物线y2＝2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线的焦点的正三角形的个数记为n，则（　　）
A.n＝0 B.n＝1
C.n＝2 D.n≥3
（2）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则｜PF｜＝（　　）
A.3 B.6
C.9 D.12
最值（范围）问题
（师生共研过关）
（1）设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（3，2），则｜PB｜＋｜PF｜的最小值为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
（2）（2026·河北沧州模拟）已知P为抛物线x2＝8y上一点，过点P作圆C：x2＋（y－5）2＝1的两条切线，切点分别为M，N，则cos∠MPN的最小值为（　　）
A. B. C. D.
听课记录
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
训练4 （1）已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A（0，－3），则｜PA｜的最小值为　　　　；
（2）直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，若｜AB｜＝6，则线段AB的中点M到x轴距离的最小值是　　　　.
第7节　抛物线
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（2）相等　（3）不在
2.－　　－　　1　x0＋　－x0＋　y0＋　－y0＋　p－x1－x2　y1＋y2＋p　2p
诊断自测
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）×
2.D　3.A　4.A　5.x2＝－20y
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）A　（2）C　解析：（1）因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），所以A（0，2），B（0，－2），又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为（0，2），准线为y＝－2，所以动点P的轨迹方程为x2＝8y.
（2）根据直线y＝－2x＋2得F（1，0），所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B（－1，4），所以A（4，4），所以｜AF｜＝｜AB｜＝5.
训练1　（1）D　（2）6　（3）
解析：（1）由题意知，抛物线y＝mx2（m＞0）的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义，可得点（x0，2）到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，可得2＋＝，解得m＝.
（2）如图，由抛物线的定义知，｜MN｜＝｜MF｜，所以∠MNF＝∠MFN＝∠NFO＝，△MFN为正三角形.因为2p＝8，所以p＝4，所以｜NF｜＝＝2p＝8，所以｜MF｜＝8，又｜MF｜＝xM＋＝xM＋2，所以xM＝6.
（3）如图，不妨设点P（x，y）在第一象限，过点P作PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H.则｜PH｜＝｜PF｜＝3，又｜PH｜＝x＋1，所以x＝2，所以y2＝4×2＝8 y＝2.所以S△OPF＝·｜OF｜·｜y｜＝×1×2＝.
考点2
【例2】　（1）AC　（2）y2＝3x　解析：（1）当抛物线的焦点在x轴上时，设方程为y2＝2px（p＞0），∴（－2）2＝2p×2，解得p＝2，∴y2＝4x.当抛物线的焦点在y轴上时，设方程为x2＝－2py（p＞0），∴22＝－2p×（－2），解得p＝，∴x2＝－y.
（2）如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设｜BF｜＝a，则｜BC｜＝2a，设准线与x轴的交点为G.由抛物线的定义得｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2｜AE｜＝｜AC｜，∵｜AE｜＝｜AF｜＝3，｜AC｜＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴＝，∴p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.
训练2　（1）C　（2）x2＝4y（或x2＝－12y）
解析：（1）由抛物线定义知｜MF｜＝＋＝2，解出p＝1，故抛物线C：y2＝2x，又点M（ ，y0）在C上，则＝2×＝3，｜y0｜＝.故选C.
（2）依题意，抛物线的准线与直线y＝1平行，且距离为2，故抛物线的准线方程为y＝3或y＝－1，当抛物线的准线方程为y＝3时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且＝3，p＝6，故抛物线方程为x2＝－12y；当抛物线的准线方程为y＝－1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且＝1，p＝2，故抛物线方程为x2＝4y.
考点3
【例3】　（1）A　（2）ABC
解析：（1）法一　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－.
（2）因为F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，即得p＝4，A选项正确；设M（x0，y0）在y2＝8x上，所以x0≥0，所以｜MF｜＝x0＋≥＝｜OF｜，B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆的半径为｜MF｜＝x0＋2，等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；不妨设点M在第一象限，当∠OFM＝120°时，x0＞2，＝tan 60°＝，且＝8x0，y0＞0，所以－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－（舍），所以△OFM的面积为S△OFM＝｜OF｜×｜y0｜＝4，D选项错误.故选A、B、C.
训练3　（1）C　（2）B
解析：（1）根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线有两个交点.如图所示，所以正三角形的个数n＝2.
（2）抛物线y2＝6x的焦点F（，0），准线l：x＝－.设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则Q（－，y0），因为QF的倾斜角为120°，所以kQF＝＝＝－，即y0＝3，所以x0＝＝＝，所以｜PF｜＝x0＋＝＋＝6.
考点4
【例4】　（1）C　（2）D
解析：（1）如图，过点B作BQ垂直于准线，交准线于点Q，交抛物线于点P1，连接P1F，则｜P1Q｜＝｜P1F｜.又F（1，0），则有｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q｜＝｜BQ｜＝4，即｜PB｜＋｜PF｜的最小值为4.
（2）因为∠MPN＝2∠MPC，sin∠MPC＝＝，设P（t，），则｜PC｜2＝t2＋（－5）2＝－＋25＝（t2－8）2＋24，当t2＝8时，｜PC｜min＝2，此时∠MPN最大，cos∠MPN最小，且（cos∠MPN）min＝1－2sin2∠MPC＝1－2×（）2＝.故选D.
训练4　（1）　（2）2　解析：（1）设点P的坐标为（x，y），则x2＝－5y，且｜PA｜2＝x2＋（y＋3）2＝y2＋y＋9＝（ y＋）2＋，又因为y≤0，所以当y＝－时，｜PA＝.因此所求最小值为.
（2）因为抛物线方程为x2＝4y，
所以抛物线的焦点为F（0，1），准线l1的方程为y＝－1.如图，过点A，B分别向准线l1作垂线，垂足分别为A1，B1，连接AF，BF，过线段AB的中点M向准线l1作垂线，垂足为M1，则｜MM1｜＝＝≥＝＝3，当且仅当直线l过点F时，等号成立.因为过抛物线焦点的最短弦为通径，且最短弦长为4，6＞4，所以直线l能过焦点，即等号成立，即线段AB的中点M到准线y＝－1的距离的最小值为3，所以线段AB的中点M到x轴距离的最小值为3－1＝2.
1 / 1(共69张PPT)
第7节　抛物线
课标要求
1. 了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用.
2. 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3. 了解抛物线的简单应用.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；
（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离 ；
（3）定点 定直线上.
提醒：定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上
时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.
相等　
不在　
2. 抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
焦点 F F F F
标准方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
准线 方程 x＝ x＝ y＝ y＝
范围 x≥0，
y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 y轴
开口方向 向右 向左 向上 向下
－ 　
　
－ 　
　
标准方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O（0，0）
离心率 e＝
焦半径 （其中 P（x0，
y0）） ｜PF｜
＝ ｜PF｜
＝
｜PF｜＝
｜PF｜
＝
1　
x0＋
－x0＋
y0
＋ 　
－y0＋
标准方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
焦点弦 x1＋x2＋p
p－y1－y2
通径 过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 ，通径是过焦点最
短的弦
p－x1－
x2
y1＋y2＋p
2p　
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.
（　×　）
（2）y2＝2px（p＞0）中p越大，抛物线的开口越大. （　√　）
（3）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）.
（　×　）
（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切. （　×　）
×
√
×
×
2. 抛物线y2＝4x的焦点坐标是（　　）
A. （0，2） B. （0，1）
C. （2，0） D. （1，0）
√
解析： 　因为2p＝4，所以 ＝1，所以焦点坐标为（1，0）.
3. 抛物线x2＝ y的准线方程为（　　）
A. y＝－ B. x＝－
C. y＝ D. x＝
√
解析： 　由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦
点坐标为（0， ），准线方程为y＝－ .
4. 已知点P（6，y0）在焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，若｜
PF｜＝ ，则p＝（　　）
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
√
解析： 　抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－ ，点P
（6，y0）在抛物线上，由抛物线的定义可知｜PF｜＝6＋ ＝ ，解得p
＝3.
5. 抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原点，准线过点E（－5，5），则该
抛物线方程为 .
解析：由题意设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），准线方程为y＝5，即
＝5，p＝10，所以该抛物线方程为x2＝－20y.
x2＝－20y　
02
PART
研透核心考点
抛物线的定义及应用（师生共研过关）
（1）设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过
点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的
轨迹方程为（　A　）
A. x2＝8y B. x2＝16y
C. y2＝8x D. y2＝16x
A
解析： 因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），所
以A（0，2），B（0，－2），又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l
的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的
轨迹为抛物线，且其焦点为（0，2），准线为y＝－2，所以动点P的轨迹
方程为x2＝8y.
（2）（2025·全国Ⅱ卷6题）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，
点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B. 若直线BF的方程为y＝－
2x＋2，则｜AF｜＝（　C　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
解析： 根据直线y＝－2x＋2得F（1，0），所以C的准线方程为x＝－
1，C的方程为y2＝4x，所以B（－1，4），所以A（4，4），所以｜
AF｜＝｜AB｜＝5.
　　“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，许多抛物线问题均可根据定
义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解
题的一条捷径.
训练1 （1）已知抛物线y＝mx2（m＞0）上的点（x0，2）到该抛物线焦
点F的距离为 ，则m＝（　D　）
A. 4 B. 3
C. D.
解析： 由题意知，抛物线y＝mx2（m＞0）的准线方程为y＝－ ，根据
抛物线的定义，可得点（x0，2）到焦点F的距离等于到准线y＝－ 的距
离，可得2＋ ＝ ，解得m＝ .
D
（2）（2026·湖北十一校联考）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，过抛
物线C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若∠NFM＝ ，则点M的横
坐标为 ；
解析：如图，由抛物线的定义知，｜MN｜＝｜MF｜，所以
∠MNF＝∠MFN＝∠NFO＝ ，△MFN为正三角形.因为
2p＝8，所以p＝4，所以｜NF｜＝ ＝2p＝8，所以｜
MF｜＝8，又｜MF｜＝xM＋ ＝xM＋2，所以xM＝6.
6　
（3）（2025·浙江宁波一模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一
点且｜PF｜＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝ .
解析：如图，不妨设点P（x，y）在第一象限，过点P作
PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H. 则｜PH｜
＝｜PF｜＝3，又｜PH｜＝x＋1，所以x＝2，所以y2＝
4×2＝8 y＝2 .所以S△OPF＝ ·｜OF｜·｜y｜＝
×1×2 ＝ .
　
抛物线的标准方程（师生共研过关）
（1）〔多选〕顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M（2，－
2 ）的抛物线方程为（　AC　）
A. x2＝－ y B. y2＝－ x
C. y2＝4x D. x2＝4y
AC
解析： 当抛物线的焦点在x轴上时，设方程为y2＝2px（p＞0），∴（－
2 ）2＝2p×2，解得p＝2，∴y2＝4x.当抛物线的焦点在y轴上时，设
方程为x2＝－2py（p＞0），∴22＝－2p×（－2 ），解得p＝ ，
∴x2＝－ y.
（2）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准
线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方
程为 .
y2＝3x　
解析： 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点
E，D，设｜BF｜＝a，则｜BC｜＝2a，设准线与x轴的
交点为G. 由抛物线的定义得｜BD｜＝a，故∠BCD＝
30°，∴在Rt△ACE中，2｜AE｜＝｜AC｜，∵｜AE｜
＝｜AF｜＝3，｜AC｜＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝
1，∵BD∥FG，∴ ＝ ，∴p＝ ，因此抛物线的方程为y2＝3x.
求抛物线标准方程的方法
（1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求
出p即可；
（2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物
线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准
方程可统一设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不
必要的讨论.
训练2 （1）（2025·北京海淀区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的
焦点为F，点M（ ，y0）在C上，｜MF｜＝2，则｜y0｜＝（　C　）
A. 1 B. C. D. 2
解析： 由抛物线定义知｜MF｜＝ ＋ ＝2，解出p＝1，故抛物线C：y2
＝2x，又点M（ ，y0）在C上，则 ＝2× ＝3，｜y0｜＝ .故选C.
C
（2）（2025·山东潍坊二模）若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是
2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程 .
解析： 依题意，抛物线的准线与直线y＝1平行，且距离为2，故抛物线的
准线方程为y＝3或y＝－1，当抛物线的准线方程为y＝3时，抛物线的焦
点在y轴的负半轴上，且 ＝3，p＝6，故抛物线方程为x2＝－12y；当抛
物线的准线方程为y＝－1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且 ＝1，
p＝2，故抛物线方程为x2＝4y.
x2＝4y（或x2＝－12y）　
抛物线的几何性质（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕（2021·新高考Ⅰ卷14题改编）已知O为坐标原点，
抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂
直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP. 若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为
（　A　）
A. x＝－ B. x＝
C. y＝－ D. y＝
A
解析： 法一　由题易得｜OF｜＝ ，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得p＝
3，所以C的准线方程为x＝－ .
法二　由题易得｜OF｜＝ ，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜
FQ｜，即p2＝ ×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x
＝－ .
（2）〔多选〕（2025·八省联考）已知F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的
焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则（　ABC　）
A. p＝4
B. ｜MF｜≥｜OF｜
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
ABC
解析： 因为F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，
所以 ＝2，即得p＝4，A选项正确；设M（x0，y0）
在y2＝8x上，所以x0≥0，所以｜MF｜＝x0＋ ≥ ＝
｜OF｜，B选项正确；因为以M为圆心且过F的圆的
半径为｜MF｜＝x0＋2，等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；不妨设点M在第一象限，当∠OFM＝
120°时，x0＞2， ＝tan 60°＝ ，且 ＝8x0，y0＞0，所以
－8y0－16 ＝0，解得y0＝4 或y0＝－ （舍），所以△OFM的面积
为S△OFM＝ ｜OF｜×｜y0｜＝4 ，D选项错误.故选A、B、C.
　　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观
地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思
想解题的直观性.
训练3 （1）将两个顶点在抛物线y2＝2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛
物线的焦点的正三角形的个数记为n，则（　C　）
A. n＝0 B. n＝1
C. n＝2 D. n≥3
解析： 根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一
定关于x轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别为
30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线有两个交点.
如图所示，所以正三角形的个数n＝2.
C
（2）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限
内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，
则｜PF｜＝（　B　）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
解析： 抛物线y2＝6x的焦点F（ ，0），准线l：x＝－ .设P（x0，
y0）（x0＞0，y0＞0），则Q（－ ，y0），因为QF的倾斜角为120°，所
以kQF＝ ＝ ＝－ ，即y0＝3 ，所以x0＝ ＝ ＝ ，所以｜
PF｜＝x0＋ ＝ ＋ ＝6.
B
最值（范围）问题（师生共研过关）
（1）设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B
（3，2），则｜PB｜＋｜PF｜的最小值为（　C　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析： 如图，过点B作BQ垂直于准线，交准线于点Q，
交抛物线于点P1，连接P1F，则｜P1Q｜＝｜P1F｜.又
F（1，0），则有｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜
P1Q｜＝｜BQ｜＝4，即｜PB｜＋｜PF｜的最小值为4.
C
（2）（2026·河北沧州模拟）已知P为抛物线x2＝8y上一点，过点P作圆
C：x2＋（y－5）2＝1的两条切线，切点分别为M，N，则 cos ∠MPN的
最小值为（　D　）
A. B.
C. D.
D
解析：因为∠MPN＝2∠MPC， sin ∠MPC＝ ＝ ，设P
（t， ），则｜PC｜2＝t2＋（ －5）2＝ － ＋25＝ （t2－8）2＋
24，当t2＝8时，｜PC｜min＝2 ，此时∠MPN最大， cos ∠MPN最小，
且（ cos ∠MPN）min＝1－2 sin 2∠MPC＝1－2×（ ）2＝ .故选D.
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出
“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以
解决；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与
直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
训练4 （1）已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A（0，－3），则｜PA｜
的最小值为 ；
解析： 设点P的坐标为（x，y），则x2＝－5y，且｜PA｜2＝x2＋（y＋
3）2＝y2＋y＋9＝（ y＋ ）2＋ ，又因为y≤0，所以当y＝－ 时，｜
PA ＝ .因此所求最小值为 .
　
（2）直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，若｜AB｜＝6，则线段AB的
中点M到x轴距离的最小值是 .
解析：因为抛物线方程为x2＝4y，所以抛物线的焦点为
F（0，1），准线l1的方程为y＝－1.如图，过点A，B
分别向准线l1作垂线，垂足分别为A1，B1，连接AF，
BF，过线段AB的中点M向准线l1作垂线，垂足为M1，
则｜MM1｜＝ ＝ ≥ ＝ ＝3，当且仅当直线l过点F时，等号成立.因为过抛物线焦点的最短弦为通径，且最短弦长为4，6＞4，所以直线l能过焦点，即等号成立，即线段AB的中点M到准线y＝－1的距离的最小值为3，所以线段AB的中点M到x轴距离的最小值为3－1＝2.
2　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小
1，则点M的轨迹方程是（　　）
A. x＋4＝0 B. x－4＝0
C. y2＝8x D. y2＝16x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 　依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距
离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，
所以其方程为y2＝16x.故选D.
2. （2021·新高考Ⅱ卷3题）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋
1的距离为 ，则p＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 2 D. 4
√
解析： 　抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为 ，它到直线y＝x
＋1的距离为d＝ ＝ ，解得p＝2或p＝－6（舍去）.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （2025·山东济南一模）抛物线y＝x2＋2x＋2的焦点坐标为（　　）
A. （ －1， ） B. （ －1， ）
C. （ 1， ） D. （ 1， ）
√
解析： 　y＝（x＋1）2＋1，∵y＝x2的焦点坐标为（ 0， ），∴y＝
（x＋1）2的焦点坐标为（ －1， ），则y＝（x＋1）2＋1的焦点坐标为
（ －1， ）.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了
中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面
宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为（　　）
A. 2 m B. 4 m
C. 4 m D. 12 m
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线
方程为x2＝－2py（p＞0），由题意知，抛物线经过点A（－4，－2）和
点B（4，－2），代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－
8y，水面下降1 m，即y＝－3，解得x1＝2 ，x2＝－2 ，所以此时水
面宽度d＝2x1＝4 （m）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 已知P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到
直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（　　）
A. B.
√
C. 2 D.
解析： 　直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，
点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点
F作直线x＋y－4＝0的垂线，如图所示，当点P为所
作直线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，为点F
到直线x＋y－4＝0的距离.∵F（－1，0），∴（d1
＋d2）min＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（5，y0）在抛
物线上，且｜PF｜＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则（　　）
A. p＝2
B. 抛物线的准线为直线y＝－1
C. y0＝2
D. △FPQ的面积为4
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为直线x＝－ ，
过点P向准线作垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知
｜PF｜＝｜PM｜＝5＋ ＝6，解得p＝2，则抛物线的
方程为y2＝4x，准线为直线x＝－1，故A正确，B错误；
将x＝5代入抛物线方程，解得y0＝±2 ，故C错误；焦点F（1，0），点P（5，±2 ），即｜PQ｜＝2 ，所以S△FPQ＝ ×2 ×（5－1）＝4 ，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线
PF与C的一个交点，若 ＝4 ，则｜QF｜＝ .
解析：过点Q作QQ'⊥l于点Q'，如图，∵ ＝4 ，∴｜PQ｜∶
｜PF｜＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，∴｜QF｜＝｜QQ'｜＝ ×4＝3.
3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝8x，P为x轴正半轴上一
点，线段OP的垂直平分线l交C于A，B两点，若∠OAP＝60°，则四边
形OAPB的周长为 .
解析：根据抛物线的对称性以及AB为线段OP的垂直平分线，
可得四边形OAPB为菱形，又∠OAP＝60°，可得∠AOP＝
60°，故可设A（a， a）（a＞0），代入抛物线方程可
得（ a）2＝8a，解得a＝ ，故｜OA｜＝2a＝ ，故
四边形OAPB的周长为4× ＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. （13分）已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），
以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M，N为圆C2与x轴的两
个交点.
（1）求抛物线C1的方程；
解： 由题意，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），
代入P（2，2），得p＝1，
∴抛物线C1的方程为x2＝2y.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断｜MN｜是否为一定值？请证明
你的结论.
解： ｜MN｜是一定值，证明如下：
设圆的圆心C2（a，b），则a2＝2b，且圆的半径r＝
，
∴圆被x轴截得的弦长为｜MN｜＝2 ＝
2 ＝2 ＝2 ＝2，
即｜MN｜＝2，
∴｜MN｜是一定值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l垂直于x轴，且
与抛物线C交于P，Q两点，点E在x轴上，且｜EF｜＝2.若kOP·kEQ＝－
2（O为坐标原点），则C的准线方程为（　　）
A. x＝－1 B. x＝－
C. x＝－2 D. x＝－
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　由抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），得F（ ，
0），由抛物线的对称性，不妨设P（ ，p），Q（ ，
－p），当点E的坐标为（ ＋2，0）时，kOP＝ ＝2，
kEQ＝ ＝ ，因为kOP·kEQ＝－2，所以2× ＝－2，则p＝－2（不符合题意，舍去）；当点E的坐标为（ －2，0）时，kEQ＝ ＝－ ，因为kOP·kEQ＝－2，所以2×（ － ）＝－2，则p＝2，所以抛物线C的准线方程为x＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （2026·河南开封调研）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C
上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线
OM相切的圆的面积最大值为（　　）
A. π B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由题意，作图如图所示，设P（t2，2t）（不妨令
t＞0），由已知可得F（1，0），则M（ ，t），所以直
线OM的方程为y＝ x，设k＝ ，则k＝ ≤1，当
且仅当t＝1时取等号，所以点F到直线OM的距离为 ＝ ≤ ，即圆F的半径最大值为 ，面积最大值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l的斜率
为 且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛
物线C的准线交于点D，若｜AF｜＝8，则以下结论正确的是（　　）
A. p＝4 B. ＝
C. ｜BD｜＝2｜BF｜ D. ｜BF｜＝4
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的
垂线，垂足分别为点E，M，连接EF. 设抛物线C的准线交x
轴于点P，则｜PF｜＝p.因为直线l的斜率为 ，所以其倾
斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定
义可知，｜AE｜＝｜AF｜，则△AEF为等边三角形，所以
∠EFP＝∠AEF＝60°，所以∠PEF＝30°，所以｜AF｜＝｜EF｜＝2｜PF｜＝2p＝8，得p＝4，故A正确.因为｜AE｜＝｜EF｜＝2｜PF｜，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则 ＝ ，故B正确.因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以｜BD｜＝2｜BM｜＝2｜BF｜，故C正确.因为｜BD｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝ ｜DF｜＝ ｜AF｜＝ ，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. （2026·上海闵行模拟）已知曲线C由抛物线x2＝4y及抛物线x2＝－4y
组成，若A（4，3），B（4，－3），D，E是曲线C上关于x轴对称的两
点，A，B，D，E四点不共线，其中点D在第一象限，则四边形ABED周
长的最小值为 .
4＋4 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：设抛物线x2＝4y的焦点为F，则p＝2，
∴F（0，1），根据对称性可知四边形ABED
为等腰梯形，∴四边形ABED的周长CABED＝
｜AB｜＋｜DE｜＋2｜AD｜＝6＋2yD＋
2｜AD｜＝6＋2（｜DF｜－ ）＋2｜AD｜＝4＋2（｜DF｜＋｜AD｜）≥4＋2｜AF｜，当且仅当A，D，F三点共线时，等号成立，又｜AF｜＝ ＝2 ，∴四边形ABED周长的最小值为4＋4 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. （15分）已知椭圆C1和抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2
的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于下
表中：
x 1 2
y 2 0 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（1）求C1和C2的标准方程；
解： 设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则2p＝ ，
结合表格数据，因为 ＝ ＝4，
所以点（1，2），（2，2 ）在抛物线C2上，且2p＝4，解得p＝2，
所以抛物线C2的标准方程为y2＝4x.
设椭圆C1的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），将点（ ， ），
（ ，0）代入椭圆方程，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
得 解得
所以椭圆C1的标准方程为 ＋y2＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若C1和C2交于不同的两点A，B，求 · 的值.
解： 根据对称性，可设A（x0，y0），则B（x0，－y0），
联立方程 消y得x2＋8x－2＝0，
解得x1＝－4－3 ，x2＝－4＋3 ，
因为x＝ ≥0，所以x0＝3 －4.
所以 · ＝ － ＝ －4x0＝ －4（3 －4）＝50－
36 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 〔创新交汇〕一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程
是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要
求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（　　）
A. B. 1 C. 2 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　作截面，如图所示，设清洁钢球截面圆的圆心
为（0，y0）（y0＞0），若清洁钢球能触及凹槽的最底
部，则清洁钢球的半径r＝y0，又抛物线x2＝2y，y∈[0，
10]上的点（x，y）到圆心距离的平方为d2＝x2＋（y－
y0）2＝2y＋（y－y0）2＝y2＋2（1－y0）y＋ ，y∈[0，10]，若d2的最小值在y＝0时取到，则清洁钢球触及凹槽的最底部，故二次函数f（y）＝y2＋2（1－y0）y＋ 图象的对称轴方程应满足－1＋y0≤0，所以y0≤1，所以0＜r≤1，从而清洁钢球的半径r的取值范围为（0，1]，所以清洁钢球的最大半径为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑