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第8节　直线与圆锥曲线
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.（2026·河南郑州模拟）直线＋＝1与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的位置关系为（　　）
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
2.直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，若使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则p＝（　　）
A. B.
C.1 D.2
3.直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
4.已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P（0，－1）作直线l与双曲线左、右两支交于点M，N.若＝2，则直线l的方程为（　　）
A.y＝x－1
B.y＝x－1或y＝－x－1
C.y＝x－1或y＝－x－1
D.y＝x－1
5.（2025·湖北武汉二调）已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若｜AB｜＝12，△OAB面积为4，则p＝（　　）
A.4 B.3
C.2 D.3
6.〔多选〕已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1，则（　　）
A.若C与l至少有一个公共点，则m≤2
B.若C与l有且仅有两个公共点，则｜m｜＜2
C.若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个
D.若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个
7.〔一题多解〕已知倾斜角为的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为　　　　.
8.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于P，Q两点，当｜PQ｜最小时，四边形F1PF2Q的面积为　　　　.
9.（15分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
（1）若｜AF｜＋｜BF｜＝4，求直线l的方程；
（2）若＝3，求｜AB｜.
10.已知双曲线C：－＝1，过点P（3，3）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有（　　）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
11.设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，｜BF｜＝3，记△BCF与△ACF的面积分别为S△BCF，S△ACF，则＝（　　）
A. B.
C. D.
12.双曲线C：－＝1的右焦点为F，双曲线C上有两点A，B关于直线l：3x＋y－8＝0对称，则｜＋｜＝（　　）
A.2 B.4
C.2 D.4
13.（2025·广东茂名模拟）已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，A，B，C是椭圆上x轴上方的三点，且AF1∥BO∥CF2（O为坐标原点），如图所示，则的取值范围是　　　　.
14.（15分）（2025·山东烟台二模）已知双曲线Γ：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，点（，1）在Γ上.
（1）求Γ的方程；
（2）设过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，过Γ的右焦点F2的直线交Γ的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为4的平行四边形，求直线AB的方程.
15.〔创新定义〕〔多选〕阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用“平衡法”求得抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接△ABC的顶点C在抛物线上，且在过弦AB的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线y＝－x＋p与抛物线E：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且A为第一象限内的点，E在A处的切线为l，线段AB的中点为D，直线DC∥x轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（　　）
A.若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B.切线l的方程为2x－2y＋p＝0
C.若4n－1·An＝S△ABC（n∈N*），则弦AB对应的抛物线弓形面积大于A1＋A2＋…＋An－1＋An（n≥2）
D.若分别取AC，BC的中点V1，V2，过V1，V2且垂直y轴的直线分别交E于C1，C2，则＋＝S△ABC
第8节　直线与圆锥曲线
1.C　2.C　3.A　4.C
5.A　抛物线y2＝2px的焦点为F（ ，0），设直线AB：x＝ty＋，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x得y2－2pty－p2＝0，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝t（y1＋y2）＋2p＝2p（t2＋1）＝12，即p（t2＋1）＝6，｜y1－y2｜＝＝＝2p，S△OAB＝｜OF｜·｜y1－y2｜＝p2＝4，则p2＝8，因此p3＝64，所以p＝4.故选A.
6.BCD　联立得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则Δ＝12（8－m2）.令Δ＝12（8－m2）≥0，则｜m｜≤2，A错误；令Δ＝12（8－m2）＞0，则｜m｜＜2，B正确；令l与C相切，则Δ＝12（8－m2）＝0，即m＝±2，直线y＝x＋3与直线y＝x－2的距离d＝＝5，C正确；如图，直线y＝x－与直线y＝x－2和直线y＝x间的距离均为1，因此C上到l的距离为1的点只有3个，D正确.
7.－　解析：法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则kAB＝＝1，x0＝，y0＝，所以kOP＝＝，所以kABkOP＝，将A，B两点坐标代入椭圆方程可得两式作差可得＋－＝0，所以kABkOP＝＝－，则kOP＝－.
法二　由题意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1，由kAB·kOP＝－，即1×kOP＝－，所以kOP＝－.
8.12　解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得x2－8mx－4m2－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝8m，x1·x2＝－4m2－20，所以｜PQ｜＝·＝·＝4，当m＝0时，｜PQ｜有最小值4.设F1（－3，0），F2（3，0）到直线y＝x的距离分别为d1，d2，则d1＝＝，d2＝＝，所以四边形F1PF2Q的面积为S＝＋＝｜PQ｜·（d1＋d2）＝×4×（ ＋）＝12.
9.解：设直线l的方程为y＝x＋t，A（x1，y1），B（x2，y2）.
（1）由题设得F（ ，0），
故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋.
又｜AF｜＋｜BF｜＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12（t－1）x＋4t2＝0，
其中Δ＝144（1－2t）＞0，
则x1＋x2＝－，
从而－＝，得t＝－（满足Δ＞0），
所以l的方程为y＝x－.
（2）由＝3，可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t＞0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A（3，3），B（ ，－1），
故｜AB｜＝.
10.D　由题意知双曲线的焦点F1（－5，0），F2（5，0），顶点A（3，0），渐近线方程为y＝±x，由P（3，3）可得该点在双曲线右顶点上方，易得过点P与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.
11.C　抛物线E的焦点为F（2，0），准线方程为x＝－2.设A（x1，y1），B（x2，y2），C（－2，y3）.直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x－4），k≠0，联立消去y得k2（x－4）2＝8x，即k2x2－（8k2＋8）x＋16k2＝0，显然Δ＞0，∴x1x2＝16.∵｜BF｜＝x2＋＝x2＋2＝3，∴x2＝1，∴x1＝16.设点F到直线AB的距离为d，则＝＝＝＝＝.
12.B　由题意知，半焦距c＝＝4，F（4，0），如图，连接AB，设线段AB的中点为S，连接FS，由题意知，直线l为线段AB的垂直平分线，所以可设直线AB：x－3y＋m＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），由可得6y2－6my＋m2－12＝0，Δ＝（－6m）2－4×6×（m2－12）＝12（m2＋24）＞0，故y1＋y2＝m，故x1＋x2＝3（y1＋y2）－2m＝m，故S（ ，）.因为线段AB的中点在直线l：3x＋y－8＝0上，故3×＋－8＝0，得m＝4，所以S（2，2），＝（－2，2），故｜＋｜＝2｜｜＝2×＝4.
13.[，2）　解析：如图所示，延长AF1交椭圆于D，则由椭圆的对称性知｜AF1｜＋｜CF2｜＝｜AD｜，设直线AD：x＝my－1，则OB：x＝my，所以 （3m2＋4）·y2－6my－9＝0，所以｜AD｜＝·＝，又 （3m2＋4）y2－12＝0，所以｜OB｜＝·，所以＝＝2·，令t＝m2＋1≥1，所以＝2·，故∈[，2）.
14.解：（1）由双曲线Γ：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，点（，1）在Γ上，
可得2c＝4，所以c＝2，且－＝1，
又因为c2＝a2＋b2，即a2＋b2＝4，
联立方程解得
所以Γ的方程为－y2＝1.
（2）由题意知，四边形ABCD为平行四边形，可得直线AB与CD平行，
当直线AB斜率不存在时，令x＝-2，代入双曲线方程－y2＝1，可得y＝±，
此时四边形ABCD为矩形，面积为4×＝，不合题意；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x＋2），则直线CD方程为y＝k（x－2），
直线AB和CD的距离d＝，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程
整理得（1－3k2）x2－12k2x－12k2－3＝0，
则Δ＝12（k2＋1）＞0且x1＋x2＝，x1x2＝，
又由双曲线的渐近线的方程为y＝±x，
要使得过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，可得k2＞，
则｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝
＝
＝，
所以S ABCD＝｜AB｜×d＝×＝＝4，
化简可得7k4－8k2＋1＝0，解得k2＝或k2＝1，
因为k2＞，所以k2＝1，解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝±（x＋2），即x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
15.ABD　A选项，内接三角形的面积为8×＝6，正确；B选项，联立方程解得又A为第一象限内的点，∴A（，p），y＝，y'＝，y'＝1，故切线方程为y－p＝x－，即2x－2y＋p＝0，正确；C选项，由4n－1·An＝S△ABC（n∈N*），得A1＝4A2，令n＝2，S△ABC＝4·A2，弓形面积为S△ABC＝A2＝4A2＋A2＝A1＋A2，所以不等式不成立，错误；D选项，由A（，p），B（，－3p）知D（，－p），DC∥x轴，C（，－p），又AC，BC的中点分别为V1，V2，易求得V1（，0），V2（，－2p），C1（0，0），C2（2p，－2p），＝×C1V1×2p＝，＝×C2V2×2p＝，S△ABC＝×CD×4p＝4p2，因此＋＝S△ABC成立，正确.故选A、B、D.
1 / 1第8节　直线与圆锥曲线
1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.
知识梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
（1）直线与圆锥曲线的位置关系有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　、
　　　　、　　　　；相交有两个交点（特殊情况除外），相切有一个交点，相离无交点；
（2）判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y（或x）得到一个关于变量x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）.
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C　　　　；Δ＝0时，直线l与曲线C　　　　；Δ＜0时，直线l与曲线C　　　　；
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的　　　　　平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
平行或重合.
2.直线与圆锥曲线相交弦
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k（k≠0），则｜AB｜＝｜x1－x2｜＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
或｜AB｜＝｜y1－y2｜＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
1.若O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）为平面直角坐标系中的任意两点，且O，A，B三点不共线，则S△OAB＝｜x1y2－x2y1｜.
2.中点弦的有关结论 （1）已知M，N是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝e2－1＝－；若曲线为双曲线，则kMN·kOP＝e2－1＝； （2）若曲线为抛物线，P（x0，y0）为弦MN的中点：kMN＝（开口向右），kMN＝－（开口向左），kMN＝（开口向上），kMN＝－（开口向下）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）过点（ 1，）的直线一定与椭圆＋y2＝1相交.（　　）
（2）直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.（　　）
（3）与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.（　　）
（4）“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.（　　）
2.直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k＝（　　）
A. B.－
C.± D.±
3.（2025·广东湛江二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x－y－3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为　　　　.
直线与圆锥曲线的位置关系
（师生共研过关）
（1）已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＋＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为（　　）
A.相离 B.相交
C.相切 D.不能确定
（2）若直线l：y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6（x＞0）交于不同的两点，则k的取值范围为（　　）
A.（－，－1） B.（－2，－1）
C.（ －，－1） D.（－，－1）
听课记录
判断直线与圆锥曲线位置关系的方法 （1）代数法：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x（或y），得到关于y（或x）的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形； （2）几何法：通过直线与圆锥曲线的交点情况进行判断，特别地，若直线经过圆锥曲线内部的定点，则直线与圆锥曲线相交.
训练1 （1）已知抛物线方程为y2＝4x，过点P（0，2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（　　）
A.0条　　B.1条 C.2条　　D.3条
（2）〔一题多解〕若曲线y2＝｜x｜＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k，b分别应满足的条件是　　　　.
弦长问题
（师生共研过关）
（2025·全国Ⅱ卷16题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为4.
（1）求C的方程；
（2）过点（0，－2）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为，求｜AB｜.
弦长的求法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解.
训练2 （2026·山东淄博模拟）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝，点P（ ，）在双曲线上.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为12，求直线l的方程.
中点弦问题
（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，点P（1，4）是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程为　　　　；
（2）设过点P（ 0，）的直线l与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且｜BM｜＝｜BN｜，则直线l的方程为　　　　.
听课记录
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法 （1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解； （2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
训练3 （2025·河南郑州一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为（　　）
A.（1，－1） B.（2，0）
C.（ ，－） D.（1，1）
第8节　直线与圆锥曲线
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）相交　相切　相离　（2）①相交　相切　相离　②渐近线　对称轴
2.
诊断自测
1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
2.C　3.D　4.
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）B　（2）C　解析：（1）直线l：mx＋y＋2m＝1，即m（x＋2）＋y－1＝0，令解得则直线l过定点（－2，1），因为＋＝＜1，则该定点在椭圆内，则直线l与椭圆C的位置关系为相交.
（2）联立整理得（k2－1）x2＋4kx＋10＝0，设方程（k2－1）x2＋4kx＋10＝0的两根为x1，x2，因为直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6（x＞0）交于不同的两点，则满足解得－＜k＜－1，所以k的取值范围是（－，－1）.
训练1　（1）D　（2）k＝0，｜b｜＜1
解析：（1）因为点P（0，2）不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，满足题意；当直线斜率k＝0时，易知y＝2满足条件；当直线斜率存在且k≠0时，设直线方程为y＝kx＋2，由整理得到k2x2＋（4k－4）x＋4＝0，由解得k＝.综上所述，满足条件的直线有3条.故选D.
（2）法一 当k＝0时， b2＝｜x｜＋1≥1，∴只需｜b｜＜1，方程b2＝｜x｜＋1无解，即k＝0，｜b｜＜1符合题意.当k≠0时，∵y＝kx＋b与y＝kx平行，若y＝kx与y2＝｜x｜＋1有公共点，则y＝kx＋b与y2＝｜x｜＋1也有公共点， k2｜x｜2－｜x｜－1＝0，Δ＝1＋4k2＞0，∴有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.
法二　如图所示，当x≥0时，曲线为y2＝x＋1；当x＜0时，曲线为y2＝－x＋1.当k＝0时，y＝b，－1＜b＜1时无公共点；当k≠0时，有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.
考点2
【例2】　解：（1）由2a＝4，得a＝2.
由题意得e＝＝，则c＝a＝，
又b2＝a2－c2，所以b＝.
所以C的方程为＋＝1.
（2）由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入＋＝1消去y并化简得（1＋2k2）x2－8kx＋4＝0，
由Δ＝16（2k2－1）＞0，得k2＞，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
S△OAB＝×2×｜x2－x1｜＝＝＝，解得k2＝.
所以｜AB｜＝｜x2－x1｜＝×＝.
训练2　解：（1）由题意可得＝＝，
则＝，即a2＝4b2，
又因为点P（ ，）在双曲线上，所以－＝1，
解得a2＝4，b2＝1，所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
（2）因为△ABF1的周长为12，
所以｜AB｜＋｜AF1｜＋｜BF1｜＝12， ①
由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝4，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝4，
所以｜AF1｜＋｜BF1｜－（｜AF2｜＋｜BF2｜）＝｜AF1｜＋｜BF1｜－｜AB｜＝8， ②
由①②可得｜AB｜＝2，
由（1）知，c2＝a2＋b2＝5，所以F2（，0），
因为直线l的斜率不为0，所以设l：x＝my＋，
则联立直线与双曲线可得（m2－4）y2＋2my＋1＝0，
当m2－4＝0，即m＝±2时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意，所以m2－4≠0，
y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以｜AB｜＝＝＝2，
所以
＝＝＝2，
解得m2＝－6（舍去）或，所以m＝±，
故直线l的方程为x＝±y＋，即3x±y－3＝0.
考点3
【例3】　（1）y＝±2x　（2）y＝±x＋
解析：（1）法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），可得－＝1，－＝1，两式相减可得＝，由点P（1，4）是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，即有b2＝4a2，即b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
法二　由题意知kAB＝1，kOP＝4（O为坐标原点），则＝kAB·kOP＝4，所以b2＝4a2，b＝2a，故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
（2）设弦MN的中点E的坐标为（m，n），连接OE，BE，如图.由椭圆的“垂径定理”与已知条件，有kBE·kPE＝－1，kOE·kPE＝－，于是·＝－1，·＝－.解得m＝±，n＝.于是直线l的方程为y＝±x＋.由于＋（）2＜1，所以点E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件.所以直线l的方程为y＝±x＋.
训练3　A　∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，∴y2＝2x.设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则两式相减可得（y1－y2）（y1＋y2）＝2（x1－x2），∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴PQ中点的纵坐标为＝－1，又∵PQ的中点在直线l上，∴PQ中点的横坐标为－1＋2＝1.∴线段PQ的中点坐标为（1，－1）.
1 / 1(共70张PPT)
第8节　直线与圆锥曲线
课标要求
1. 理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2. 掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3. 掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 直线与圆锥曲线的位置关系
（1）直线与圆锥曲线的位置关系有 、 、 ；相
交有两个交点（特殊情况除外），相切有一个交点，相离无交点；
（2）判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By
＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y（或x）得到一个关于变量x（或
y）的方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）.
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线
C ；Δ＝0时，直线l与曲线C ；Δ＜0时，直线l与曲线
C ；
相交　
相切　
相离　
相交　
相切　
相离　
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此
时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的 平行；若C为抛物线，
则直线l与抛物线的 平行或重合.
渐近线　
对称轴　
2. 直线与圆锥曲线相交弦
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的
斜率为k（k≠0），则｜AB｜＝ ｜x1－x2｜
＝ 　 　，或｜AB｜＝ ｜y1－y2｜
＝ .
　
　
1. 若O为坐标原点，A（x1，y1），B（x2，y2）为平面直角坐标系中的
任意两点，且O，A，B三点不共线，则S△OAB＝ ｜x1y2－x2y1｜.
2. 中点弦的有关结论
（1）已知M，N是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）上的两点，点O为坐
标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝e2－1＝－ ；若曲线为双曲
线，则kMN·kOP＝e2－1＝ ；
（2）若曲线为抛物线，P（x0，y0）为弦MN的中点：kMN＝ （开口向
右），kMN＝－ （开口向左），kMN＝ （开口向上），kMN＝－ （开
口向下）.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）过点（1， ）的直线一定与椭圆 ＋y2＝1相交. （　√　）
（2）直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.
（　×　）
（3）与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点. （　√　）
（4）“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个
公共点”. （　×　）
√
×
√
×
2. 直线y＝kx＋2与椭圆 ＋ ＝1有且只有一个交点，则k＝（　　）
A. B. －
C. ± D. ±
√
解析： 　由 得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝
（12k）2－4×6×（2＋3k2）＝0，解得k＝± ，故选C.
3. （2025·广东湛江二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x
－y－3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
√
解析： 　设A（x1，y1），B（x2，y2），则 整理得
＝ ＝1，因为线段AB中点的横坐标为7，所以线段AB中点的纵坐标
为4，则y1＋y2＝8，从而可得p＝4.
4. 经过椭圆 ＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆
相交于A，B两点，则线段AB的长为 .
　
解析：在 ＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，故
左焦点为F1（－1，0），而tan 60°＝ ，故直线l为y＝ （x＋1），
联立 ＋y2＝1整理得7x2＋12x＋4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由根与系数的关系得x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .则由弦长公式得｜AB｜＝
· ＝ .
02
PART
研透核心考点
直线与圆锥曲线的位置关系（师生共研过关）
（1）已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为 ＋ ＝
1，则直线l与椭圆C的位置关系为（　B　）
A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 不能确定
B
解析： 直线l：mx＋y＋2m＝1，即m（x＋2）＋y－1＝0，令
解得 则直线l过定点（－2，1），因为 ＋
＝ ＜1，则该定点在椭圆内，则直线l与椭圆C的位置关系为相交.
（2）若直线l：y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6（x＞0）交于不同的两
点，则k的取值范围是（　C　）
A. （－ ，－1） B. （－2 ，－1）
C. （ － ，－1） D. （－ ，－1）
C
解析：联立 整理得（k2－1）x2＋4kx＋10＝0，设方程（k2
－1）x2＋4kx＋10＝0的两根为x1，x2，因为直线y＝kx＋2与双曲线x2－
y2＝6（x＞0）交于不同的两点，则满足
解得－ ＜k＜－1，
所以k的取值范围是（－ ，－1）.
判断直线与圆锥曲线位置关系的方法
（1）代数法：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再
消去x（或y），得到关于y（或x）的方程，如果是直线与圆或椭圆，则
所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论
二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外
还应注意斜率不存在的情形；
（2）几何法：通过直线与圆锥曲线的交点情况进行判断，特别地，若直
线经过圆锥曲线内部的定点，则直线与圆锥曲线相交.
训练1 （1）已知抛物线方程为y2＝4x，过点P（0，2）的直线与抛物线只
有一个交点，这样的直线有（　D　）
A. 0条 B. 1条
C. 2条 D. 3条
D
解析： 因为点P（0，2）不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线
方程为x＝0，满足题意；当直线斜率k＝0时，易知y＝2满足条件；当直
线斜率存在且k≠0时，设直线方程为y＝kx＋2，由 整理得
到k2x2＋（4k－4）x＋4＝0，由 解得k＝
.综上所述，满足条件的直线有3条.故选D.
（2）〔一题多解〕若曲线y2＝｜x｜＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则
k，b分别应满足的条件是 .
解析：法一 当k＝0时， b2＝｜x｜＋1≥1，∴只需｜
b｜＜1，方程b2＝｜x｜＋1无解，即k＝0，｜b｜＜1符合题意.当k≠0
时，∵y＝kx＋b与y＝kx平行，若y＝kx与y2＝｜x｜＋1有公共点，则y
＝kx＋b与y2＝｜x｜＋1也有公共点， k2｜x｜2－｜
x｜－1＝0，Δ＝1＋4k2＞0，∴有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.
k＝0，｜b｜＜1　
法二　如图所示，当x≥0时，曲线为y2＝x＋1；当x＜0
时，曲线为y2＝－x＋1.当k＝0时，y＝b，－1＜b＜1
时无公共点；当k≠0时，有公共点.∴k＝0，｜b｜＜1.
弦长问题（师生共研过关）
（2025·全国Ⅱ卷16题）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心
率为 ，长轴长为4.
（1）求C的方程；
解： 由2a＝4，得a＝2.
由题意得e＝ ＝ ，则c＝ a＝ ，
又b2＝a2－c2，所以b＝ .
所以C的方程为 ＋ ＝1.
（2）过点（0，－2）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若
△OAB的面积为 ，求｜AB｜.
解：由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入 ＋ ＝1消去y并化
简得（1＋2k2）x2－8kx＋4＝0，由Δ＝16（2k2－1）＞0，得k2＞ ，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
S△OAB＝ ×2×｜x2－x1｜＝ ＝ ＝ ，解
得k2＝ .
所以｜AB｜＝ ｜x2－x1｜＝ × ＝ .
弦长的求法
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解.
训练2 （2026·山东淄博模拟）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0），离心率e＝ ，点P（ ， ）在双曲线上.
（1）求双曲线C的标准方程；
解： 由题意可得 ＝ ＝ ，
则 ＝ ，即a2＝4b2，
又因为点P（ ， ）在双曲线上，所以 － ＝1，
解得a2＝4，b2＝1，所以双曲线C的标准方程为 －y2＝1.
（2）点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线的
右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为12，求直线l的方程.
解：因为△ABF1的周长为12，
所以｜AB｜＋｜AF1｜＋｜BF1｜＝12， ①
由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝4，
｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝4，
所以｜AF1｜＋｜BF1｜－（｜AF2｜＋｜BF2｜）＝｜AF1｜＋｜BF1｜
－｜AB｜＝8， ②
由①②可得｜AB｜＝2，
由（1）知，c2＝a2＋b2＝5，所以F2（ ，0），
因为直线l的斜率不为0，所以设l：x＝my＋ ，
则联立直线与双曲线 可得（m2－4）y2＋2 my＋1＝0，
当m2－4＝0，即m＝±2时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意，
所以m2－4≠0，
y1＋y2＝－ ，y1y2＝ ，
所以｜AB｜＝ ＝ ＝2，
所以
＝ ＝ ＝2，
解得m2＝－6（舍去）或 ，所以m＝± ，
故直线l的方程为x＝± y＋ ，即3x± y－3 ＝0.
中点弦问题（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C： － ＝1
（a＞0，b＞0）交于A，B两点，点P（1，4）是弦AB的中点，则双曲
线C的渐近线方程为 ；
y＝±2x　
解析： 法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），可得 － ＝1， －
＝1，两式相减可得 ＝ ，由点P（1，
4）是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝
8，y1－y2＝x1－x2，即有b2＝4a2，即b＝2a，所以双曲线的渐近线方程
为y＝±2x.
法二　由题意知kAB＝1，kOP＝4（O为坐标原点），则 ＝kAB·kOP＝4，
所以b2＝4a2，b＝2a，故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
（2）设过点P（0， ）的直线l与椭圆 ＋y2＝1交于M，N两点，点B
为该椭圆的下顶点且｜BM｜＝｜BN｜，则直线l的方程为 .
y＝± x＋
解析： 设弦MN的中点E的坐标为（m，n），连接
OE，BE，如图.由椭圆的“垂径定理”与已知条件，有
kBE·kPE＝－1，kOE·kPE＝－ ，于是 · ＝－1，
· ＝－ .解得m＝± ，n＝ .于是直线l的方程为y＝± x＋ .由于 ＋（ ）2＜1，所以点E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件.所以直线l的方程为y＝± x＋ .
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
（1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元
得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解；
（2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，
y1），B（x2，y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得
两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大
大减少计算量.
训练3 （2025·河南郑州一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点到
准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的
两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为（　　）
A. （1，－1） B. （2，0）
C. （ ，－ ） D. （1，1）
√
解析： 　∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，∴y2＝2x.设点P（x1，
y1），Q（x2，y2），则 两式相减可得（y1－y2）（y1＋y2）
＝2（x1－x2），∴kPQ＝ ，又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ＝－
1，即y1＋y2＝－2，∴PQ中点的纵坐标为 ＝－1，又∵PQ的中点在
直线l上，∴PQ中点的横坐标为－1＋2＝1.∴线段PQ的中点坐标为（1，
－1）.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2026·河南郑州模拟）直线 ＋ ＝1与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的
位置关系为（　　）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 无法确定
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√
解析： 　因为直线 ＋ ＝1过点（a，0），（0，b），而（a，0），
（0，b）为椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，故直线 ＋
＝1与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）相交.故选C.
2. 直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，
若使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则p＝（　　）
A. B. C. 1 D. 2
√
解析： 　由抛物线的对称性知，要使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，
则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为（ ，±1），代入抛物线方程
解得p＝1.
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3. 直线x＋4y＋m＝0交椭圆 ＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横
坐标为1，则m＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
√
解析： 　∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－ x－ ，设A（x1，y1），B
（x2，y2），则 两式相减得 ＝－ ＝－
，∵AB中点的横坐标为1，则纵坐标为 ，将（1， ）代入直线y＝－ x
－ ，解得m＝－2.
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4. 已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P（0，－1）作直线l与双曲线
左、右两支交于点M，N. 若 ＝2 ，则直线l的方程为（　　）
A. y＝ x－1
B. y＝ x－1或y＝－ x－1
C. y＝x－1或y＝－x－1
D. y＝x－1
√
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解析： 　设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的斜率为k，则直线l的
方程为y＝kx－1，联立 （5－k2）x2＋2kx－2＝0，则5
－k2≠0，且Δ＝4（10－k2）＞0，x1＋x2＝ 　①，x1x2＝ 　②，
因为 ＝2 ，则－x1＝2x2　③，①③联立解得x1＝ ，x2＝ ，
代入②得k2＝1 k＝±1，则直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
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5. （2025·湖北武汉二调）已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px（p＞
0）焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若｜AB｜＝12，△OAB面积
为4 ，则p＝（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 3
√
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解析： 　抛物线y2＝2px的焦点为F（ ，0），设直线AB：
x＝ty＋ ，点A（x1，y1），B（x2，y2），由
消去x得y2－2pty－p2＝0，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，
｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝t（y1＋y2）＋2p＝2p（t2＋1）＝12，即p（t2＋1）＝6，｜y1－y2｜＝ ＝ ＝2p ，S△OAB＝ ｜OF｜·｜y1－y2｜＝ p2 ＝4 ，则p2 ＝8 ，因此p3＝64，所以p＝4.故选A.
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6. 〔多选〕已知直线l：y＝x＋m与椭圆C： ＋ ＝1，则（　　）
A. 若C与l至少有一个公共点，则m≤2
B. 若C与l有且仅有两个公共点，则｜m｜＜2
C. 若m＝3 ，则C上到l的距离为5的点只有1个
D. 若m＝－ ，则C上到l的距离为1的点只有3个
√
√
√
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解析： 　联立 得4x2＋6mx＋3m2
－6＝0，则Δ＝12（8－m2）.令Δ＝12（8－m2）
≥0，则｜m｜≤2 ，A错误；令Δ＝12（8－m2）＞
0，则｜m｜＜2 ，B正确；令l与C相切，则Δ＝12（8－m2）＝0，即m＝±2 ，直线y＝x＋3 与直线y＝x－2 的距离d＝ ＝5，C正确；如图，直线y＝x－ 与直线y＝x－2 和直线y＝x间的距离均为1，因此C上到l的距离为1的点只有3个，D正确.
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7. 〔一题多解〕已知倾斜角为 的直线l与椭圆C： ＋y2＝1交于A，B
两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为 .
解析：法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则kAB＝
＝1，x0＝ ，y0＝ ，所以kOP＝ ＝ ，所以kABkOP
＝ ，将A，B两点坐标代入椭圆方程可得 两式作差可
得 ＋ － ＝0，所以kABkOP＝ ＝－ ，则kOP＝－ .
－ 　
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法二　由题意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1，由kAB·kOP＝－ ，即1×kOP＝
－ ，所以kOP＝－ .
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8. 已知双曲线C： － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋
m与C交于P，Q两点，当｜PQ｜最小时，四边形F1PF2Q的面积
为 .
12 　
解析：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由 得x2－8mx－4m2
－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝8m，x1·x2＝－4m2－20，所以｜
PQ｜＝ · ＝ · ＝
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4 ，当m＝0时，｜PQ｜有最小值4 .设F1（－3，
0），F2（3，0）到直线y＝x的距离分别为d1，d2，则d1＝ ＝
，d2＝ ＝ ，所以四边形F1PF2Q的面积为S＝ ＋
＝ ｜PQ｜·（d1＋d2）＝ ×4 ×（ ＋ ）＝12 .
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9. （15分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交
点为A，B，与x轴的交点为P.
（1）若｜AF｜＋｜BF｜＝4，求直线l的方程；
解：设直线l的方程为y＝ x＋t，A（x1，y1），B（x2，y2）.
（1）由题设得F（ ，0），
故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋ .
又｜AF｜＋｜BF｜＝4，所以x1＋x2＝ .
由 可得9x2＋12（t－1）x＋4t2＝0，
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其中Δ＝144（1－2t）＞0，
则x1＋x2＝－ ，
从而－ ＝ ，得t＝－ （满足Δ＞0），
所以l的方程为y＝ x－ .
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（2）若 ＝3 ，求｜AB｜.
解：由 ＝3 ，可得y1＝－3y2.
由 可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t＞0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝ .
所以A（3，3），B（ ，－1），
故｜AB｜＝ .
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10. 已知双曲线C： － ＝1，过点P（3，3）作直线l，使l与C有且只
有一个公共点，则满足条件的直线l共有（　　）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
√
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解析： 由题意知双曲线的焦点F1（－5，0），F2（5，0），顶点A
（3，0），渐近线方程为y＝± x，由P（3，3）可得该点在双曲线右顶
点上方，易得过点P与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双
曲线的渐近线分别平行的直线（图1），有两条双曲线右支的切线（图
2），共4条.
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11. 设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于
A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，｜BF｜＝3，记
△BCF与△ACF的面积分别为S△BCF，S△ACF，则 ＝（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　抛物线E的焦点为F（2，0），准线方程为x＝－2.设A（x1，
y1），B（x2，y2），C（－2，y3）.直线AB的斜率一定存在且不为0，设
直线AB的方程为y＝k（x－4），k≠0，联立 消去y得k2
（x－4）2＝8x，即k2x2－（8k2＋8）x＋16k2＝0，显然Δ＞0，∴x1x2＝
16.∵｜BF｜＝x2＋ ＝x2＋2＝3，∴x2＝1，∴x1＝16.设点F到直线AB
的距离为d，则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
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12. 双曲线C： － ＝1的右焦点为F，双曲线C上有两点A，B关于直
线l：3x＋y－8＝0对称，则｜ ＋ ｜＝（　　）
A. 2 B. 4
C. 2 D. 4
√
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解析： 　由题意知，半焦距c＝ ＝4，F
（4，0），如图，连接AB，设线段AB的中点为
S，连接FS，由题意知，直线l为线段AB的垂直平
分线，所以可设直线AB：x－3y＋m＝0，A
（x1，y1），B（x2，y2），由 可得6y2－6my＋m2－12＝0，Δ＝（－6m）2－4×6×（m2－12）＝12（m2＋24）＞0，故y1＋y2
＝m，故x1＋x2＝3（y1＋y2）－2m＝m，故S（ ， ）.因为线段AB的中点在直线l：3x＋y－8＝0上，故3× ＋ －8＝0，得m＝4，所以S
（2，2）， ＝（－2，2），故｜ ＋ ｜＝2｜ ｜＝2× ＝4 .
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13. （2025·广东茂名模拟）已知F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦
点，A，B，C是椭圆上x轴上方的三点，且AF1∥BO∥CF2（O为坐标原
点），如图所示，则 的取值范围是 　[，2）　.
[，2）　
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解析：如图所示，延长AF1交椭圆于D，则由椭圆的对称
性知｜AF1｜＋｜CF2｜＝｜AD｜，设直线AD：x＝my
－1，则OB：x＝my，所以 （3m2＋
4）·y2－6my－9＝0，所以｜AD｜＝ · ＝ ，又 （3m2＋4）y2－12＝0，所以｜OB｜＝ · ，所以 ＝ ＝2 · ，令t＝m2＋1≥1，所以 ＝2 · ，故 ∈[，2）.
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14. （15分）（2025·山东烟台二模）已知双曲线Γ： － ＝1（a＞0，
b＞0）的焦距为4，点（ ，1）在Γ上.
（1）求Γ的方程；
解： 由双曲线Γ： － ＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，点（ ，
1）在Γ上，
可得2c＝4，所以c＝2，且 － ＝1，
又因为c2＝a2＋b2，即a2＋b2＝4，
联立方程 解得
所以Γ的方程为 －y2＝1.
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（2）设过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，过Γ的右焦点F2的直
线交Γ的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为
4 的平行四边形，求直线AB的方程.
解： 由题意知，四边形ABCD为平行四边形，可得
直线AB与CD平行，
当直线AB斜率不存在时，令x＝－2，代入双曲线方程
－y2＝1，可得y＝± ，
此时四边形ABCD为矩形，面积为4× ＝ ，不合题意；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x＋2），则直线CD方程为y＝k（x－2），
直线AB和CD的距离d＝ ，
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设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程
整理得（1－3k2）x2－12k2x－12k2－3＝0，
则Δ＝12（k2＋1）＞0且x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
又由双曲线的渐近线的方程为y＝± x，
要使得过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，可得k2＞ ，
则｜AB｜＝ ｜x1－x2｜
＝
＝
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＝ ，
所以S ABCD＝｜AB｜×d＝ × ＝
＝4 ，
化简可得7k4－8k2＋1＝0，解得k2＝ 或k2＝1，
因为k2＞ ，所以k2＝1，解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝±（x＋2），即x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
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15. 〔创新定义〕〔多选〕阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基
本思想，他用“平衡法”求得抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围
成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接△ABC的顶点C在抛物线
上，且在过弦AB的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的 .
现已知直线y＝－x＋ p与抛物线E：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，
且A为第一象限内的点，E在A处的切线为l，线段AB的中点为D，直线
DC∥x轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（　　）
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A. 若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B. 切线l的方程为2x－2y＋p＝0
C. 若4n－1·An＝S△ABC（n∈N*），则弦AB对应的抛物线弓形面积大于A1
＋A2＋…＋An－1＋ An（n≥2）
D. 若分别取AC，BC的中点V1，V2，过V1，V2且垂直y轴的直线分别交
E于C1，C2，则 ＋ ＝ S△ABC
√
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解析： 　A选项，内接三角形的面积为8× ＝6，正确；B选项，联立
方程 解得 又A为第一象限内的
点，∴A（ ，p），y＝ ，y'＝ ，y' ＝1，故切线方程为y
－p＝x－ ，即2x－2y＋p＝0，正确；C选项，由4n－1·An＝S△ABC
（n∈N*），得A1＝4A2，令n＝2，S△ABC＝4·A2，弓形面积为 S△ABC＝
A2＝4A2＋ A2＝A1＋ A2，所以不等式不成立，错误；
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D选项，由A（ ，p），B（ ，－3p）知D（ ，－p），
DC∥x轴，C（ ，－p），又AC，BC的中点分别为V1，
V2，易求得V1（ ，0），V2（ ，－2p），C1（0，0），
C2（2p，－2p）， ＝ ×C1V1×2p＝ ， ＝ ×C2V2×2p＝ ，S△ABC＝ ×CD×4p＝4p2，因此 ＋ ＝ S△ABC成立，正确.故选A、B、D.
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