资源简介 重难专攻12 最值、范围问题（时间：45分钟，满分：58分）1.（13分）已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，抛物线上的点A（x0，y0）处的切线为l.（1）求l的方程（用x0，y0表示）；（2）若直线l与y轴交于点B，直线AF与抛物线交于点C，若∠ACB为钝角，求y0的取值范围.2.（15分）如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.3.（15分）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，离心率e＝2，点M（，）在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且·＝0，求｜OP｜2＋｜OQ｜2的最小值.4.（15分）已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.重难专攻12 最值、范围问题1.解：（1）抛物线E：x2＝4y，即y＝，则y'＝x，则在点A（x0，y0）处切线l的斜率为k＝x0，所以l：y－y0＝x0（x－x0），即y＝x0x－y0.（2）易知F（0，1），B（0，－y0）.设C（x1，y1），直线AF：y＝kx＋1，代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，故x1x0＝－4，y0y1＝＝1，因为∠ACB为钝角，所以·＜0，即（－x1）（－x1）＋（1－y1）（－y0－y1）＝－y0－y1＋y1y0＋＜0，即3y1－＋1＋＜0，（*）因为y1＞0，所以（*）式等价于＋3＋y1－1＜0，即（y1＋1）（y1＋1－）（y1＋1＋）＜0，解得0＜y1＜－1，所以y0＞＋1.故y0的取值范围为（＋1，＋∞）.2.解：（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0），设点P的坐标是（xP，yP），则＝（xP＋6，yP），＝（xP－4，yP），因为PA⊥PF，所以·＝0，则可得2＋9xP－18＝0，解得xP＝或xP＝－6.由于yP＞0，故xP＝，于是yP＝，所以点P的坐标是（ ，）.（2）由（1）可得直线AP的方程是x－y＋6＝0，点B（6，0）.设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是＝｜m－6｜，又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，得d2＝（x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝（ x－）2＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值，且最小值为.3.解：（1）由e＝2，可得c＝2a，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴双曲线的方程为－＝1，∵点M（，）在双曲线上，∴－＝1，解得 a2＝4，∴双曲线的方程为－＝1.（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y整理得（3－k2）x2－2kmx－m2－12＝0，（*）∵直线l与双曲线交于P，Q两点，∴Δ＝（－2km）2－4（3－k2）（－m2－12）＝12（m2－4k2＋12）＞0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝－，由·＝0得到：x1x2＋y1y2＝0，即（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0，∴（1＋k2）－km·＋m2＝0，化简得m2＝6k2＋6.∴｜OP｜2＋｜OQ｜2＝｜PQ｜2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝24＋≥24，当k＝0时上式取等号，且方程（*）有解.②当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝t，则有P（t，y），Q（t，－y）（y＞0），由·＝0可得y2＝t2，可得3t2－t2＝12，解得t2＝6.∴｜PQ｜2＝4y2＝4t2＝24.∴｜OP｜2＋｜OQ｜2＝｜PQ｜2＝24.综上可得｜OP｜2＋｜OQ｜2的最小值是24.4.解：（1）设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（，），根据圆与y轴相切，可得＝｜PF｜＝，化简得y2＝4x，所以C的方程为y2＝4x.（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立 k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜｜tan θ｜，｜BN｜＝｜BF｜｜tan θ｜，所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜，因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝＋2＝，由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝｜AB｜·（｜AM｜＋｜BN｜）＝＝＝，设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝＝8（t＋＋），所以S'（t）＝8（1－－）＝8（）＝8，当t＞时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜时，S'（t）＜0，S（t）单调递减，所以当t＝，即｜k｜＝时，面积最小，此时k＝±，故直线l的方程为y＝±（x－1），即x－y－＝0或x＋y－＝0.1 / 1重难专攻12 最值、范围问题几何法求最值（师生共研过关）已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x－3）2＋（y－2）2＝1上任意一点，则｜MN｜－｜MF1｜的最小值为 .听课记录 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.训练1 已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点（A在第一象限），P为C上一点，若5＝8，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为 .代数法求最值（范围）（定向精析突破）考向1 利用不等关系求最值（范围）已知过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：x2＝2py（p＞0）相交于B，C两点.（1）当直线l的斜率是时，＝4，求抛物线G的方程；（2）对（1）中的抛物线G，当直线l的斜率变化时，设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.寻找不等关系的突破口 （1）利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围； （2）利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系； （3）利用隐含的不等关系，从而求出所求范围； （4）利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围； （5）利用函数值域的求法，确定所求范围.考向2 利用函数性质求最值（范围）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷18题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝.（1）求C的方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜＝3.①设P（m，n），求R的坐标（用m，n表示）；②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求｜PQ｜的最大值.利用函数性质求最值（范围）的方法 根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数、三角函数或导数等分析函数的单调性，从而确定最值（范围）.考向3 利用基本不等式求最值（范围）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）经过点A（－2，0），离心率为.（1）求双曲线C的方程；（2）直线l过点D（3，0）且与双曲线C交于两点P，Q（异于点A）.过点D分别作直线AP，AQ的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，△ADN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.巧用基本不等式求最值的关键 利用基本不等式求最值时，关键在于将式子变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值.训练2 〔一题多解〕如图，已知抛物线x2＝y，点A（ －，），B（ ，），抛物线上的点P（x，y）.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（1）求直线AP斜率的取值范围；（2）求｜PA｜·｜PQ｜的最大值.重难专攻12 最值、范围问题考点1【例1】 2－5 解析：如图所示，由题意得｜MF1｜＋｜MF2｜＝4，｜MN｜≥｜ME｜－1，当且仅当M，N，E三点共线，且N在线段ME上时取等号，所以｜MN｜－｜MF1｜＝｜MN｜－（4－｜MF2｜）＝｜MN｜＋｜MF2｜－4≥｜ME｜＋｜MF2｜－5≥｜EF2｜－5，当且仅当M，N，E，F2共线，且M，N在线段EF2上时取等号，因为F2（1，0），E（3，2），所以｜EF2｜＝＝2，所以｜MN｜－｜MF1｜的最小值为2－5.训练1 3 解析：由题意，得焦点F（1，0），又因为直线的倾斜角为60°，得斜率k＝tan 60°＝，故直线AB的方程为y＝（x－1），联立整理得3x2－10x＋3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），解得x1＝3，x2＝.设Q（xQ，yQ），因为5＝8，所以5（x2－x1）＝8（x2－xQ），解得xQ＝2，过点P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义，得｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PH｜＋｜PQ｜，当Q，P，H三点共线且与x轴平行时，｜PF｜＋｜PQ｜有最小值，最小值为｜QH｜＝2＋1＝3，所以｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为3.考点2【例2】 解：（1）如图所示，设B（x1，y1），C（x2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为y＝（x＋4），即x＝2y－4，由消去x化简整理，得2y2－（8＋p）y＋8＝0，所以 ①又＝4，∴y2＝4y1. ②由①②和p＞0得y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线的方程为x2＝4y.（2）设l：y＝k（x＋4），BC的中点坐标为（x0，y0），由消去y化简整理，得x2－4kx－16k＝0，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4，所以x1＋x2＝4k，所以x0＝＝2k，y0＝k（x0＋4）＝2k2＋4k，所以线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－（x－2k），所以线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2（k＋1）2，可得b＞2，所以b的取值范围为（2，＋∞）.【例3】 解：（1）由题可知，A（0，－b），B（a，0），所以解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.（2）①设＝λ，λ＞0，则｜AR｜｜AP｜＝3 λ[m2＋（n＋1）2]＝3，所以λ＝，＝λ＝λ（m，n＋1）＝（，），故点R的坐标为（，）.②因为kOR＝＝，kOP＝，由kOR＝3kOP，可得＝，化简得m2＋n2＋8n－2＝0，即m2＋（n＋4）2＝18（m≠0），所以点P在以N（0，－4）为圆心，3为半径的圆上（除去两个点），如图，｜PQ｜max为Q到圆心N的距离加上半径，法一 设Q（3cos θ，sin θ），所以｜QN｜2＝（3cos θ）2＋（sin θ＋4）2＝－8sin2θ＋8sin θ＋25＝－8（sin θ－）2＋27≤27，当且仅当sin θ＝时取等号，所以｜PQ｜max＝＋3＝3＋3.法二 设Q（xQ，yQ），则＋＝1，｜QN｜2＝＋（yQ＋4）2＝9－9＋＋8yQ＋16＝－8＋8yQ＋25＝－8（yQ－）2＋27≤27，当且仅当yQ＝时取等号，故｜PQ｜max＝＋3＝3＋3.【例4】 解：（1）依题意，a＝2，＝，由c2＝a2＋b2，解得b＝4，故双曲线C的方程为－＝1.（2）设直线AP的方程为y＝k（x＋2），则直线DM的方程为y＝－（x－3），由得点M的纵坐标yM＝.联立双曲线与直线l的方程，易知直线AP与直线AQ的斜率之积为定值－，用－替换上式中的k得点N的纵坐标yN＝，则S1·S2＝｜yMyN｜＝＝，而25k2＋≥2＝40，当且仅当k＝±时取等号，因此S1·S2≤，所以S1·S2的最大值为.训练2 解：（1）设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－＜x＜，所以直线AP斜率的取值范围是（－1，1）.（2）法一 联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝.因为｜PA｜＝＝（k＋1），｜PQ｜＝（xQ－x）＝－，所以｜PA｜·｜PQ｜＝－（k－1）（k＋1）3，令f（k）＝－（k－1）（k＋1）3，k∈（－1，1）.因为f'（k）＝－（4k－2）（k＋1）2，所以f（k）在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此f（k）max＝f（ ）＝，故｜PA｜·｜PQ｜取得最大值.法二 如图，连接BP，｜AP｜·｜PQ｜＝｜AP｜·｜PB｜·cos∠BPQ＝·（－）＝·－.易知P（x，x2），则·＝2x＋1＋2x2－＝2x2＋2x＋，＝＋＝x2＋x＋＋x4－x2＋＝x4＋x2＋x＋.所以｜PA｜·｜PQ｜＝－x4＋x2＋x＋（－＜x＜）.设f（x）＝－x4＋x2＋x＋，则f'（x）＝－4x3＋3x＋1＝－（x－1）（2x＋1）2，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝.故｜PA｜·｜PQ｜的最大值为.1 / 1(共39张PPT)重难专攻12 最值、范围问题几何法求最值（师生共研过关）已知椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：（x－3）2＋（y－2）2＝1上任意一点，则｜MN｜－｜MF1｜的最小值为 .2 －5 解析：如图所示，由题意得｜MF1｜＋｜MF2｜＝4，｜MN｜≥｜ME｜－1，当且仅当M，N，E三点共线，且N在线段ME上时取等号，所以｜MN｜－｜MF1｜＝｜MN｜－（4－｜MF2｜）＝｜MN｜＋｜MF2｜－4≥｜ME｜＋｜MF2｜－5≥｜EF2｜－5，当且仅当M，N，E，F2共线，且M，N在线段EF2上时取等号，因为F2（1，0），E（3，2），所以｜EF2｜＝ ＝2 ，所以｜MN｜－｜MF1｜的最小值为2 －5. 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.训练1 已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点（A在第一象限），P为C上一点，若5 ＝8 ，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为 .解析：由题意，得焦点F（1，0），又因为直线的倾斜角为60°，得斜率k＝tan 60°＝ ，故直线AB的方程为y＝ （x－1），联立 整理得3x2－10x3 ＋3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），解得x1＝3，x2＝ .设Q（xQ，yQ），因为5 ＝8 ，所以5（x2－x1）＝8（x2－xQ），解得xQ＝2，过点P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义，得｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PH｜＋｜PQ｜，当Q，P，H三点共线且与x轴平行时，｜PF｜＋｜PQ｜有最小值，最小值为｜QH｜＝2＋1＝3，所以｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为3.代数法求最值（范围）（定向精析突破）考向1 利用不等关系求最值（范围）已知过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：x2＝2py（p＞0）相交于B，C两点.（1）当直线l的斜率是 时， ＝4 ，求抛物线G的方程；解： 如图所示，设B（x1，y1），C（x2，y2），当直线l的斜率是 时，l的方程为y＝ （x＋4），即x＝2y－4，由 消去x化简整理，得2y2－（8＋p）y＋8＝0，所以 ①又 ＝4 ，∴y2＝4y1. ②由①②和p＞0得y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线的方程为x2＝4y.（2）对（1）中的抛物线G，当直线l的斜率变化时，设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.解：设l：y＝k（x＋4），BC的中点坐标为（x0，y0），由 消去y化简整理，得x2－4kx－16k＝0，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4，所以x1＋x2＝4k，所以x0＝ ＝2k，y0＝k（x0＋4）＝2k2＋4k，所以线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－ （x－2k），所以线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2（k＋1）2，可得b＞2，所以b的取值范围为（2，＋∞）.寻找不等关系的突破口（1）利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；（2）利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；（3）利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；（4）利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；（5）利用函数值域的求法，确定所求范围.考向2 利用函数性质求最值（范围）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷18题）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝ .（1）求C的方程；解： 由题可知，A（0，－b），B（a，0），所以 解得 故椭圆C的方程为 ＋y2＝1.（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜＝3.①设P（m，n），求R的坐标（用m，n表示）；②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求｜PQ｜的最大值.解：①设 ＝λ ，λ＞0，则｜AR｜｜AP｜＝3 λ[m2＋（n＋1）2]＝3，所以λ＝ ， ＝λ ＝λ（m，n＋1）＝（ ， ），故点R的坐标为（ ，）. ②因为kOR＝ ＝ ，kOP＝ ，由kOR＝3kOP，可得 ＝ ，化简得m2＋n2＋8n－2＝0，即m2＋（n＋4）2＝18（m≠0），所以点P在以N（0，－4）为圆心，3 为半径的圆上（除去两个点），如图，｜PQ｜max为Q到圆心N的距离加上半径，法一 设Q（3 cos θ， sin θ），所以｜QN｜2＝（3 cos θ）2＋（ sin θ＋4）2＝－8 sin 2θ＋8 sin θ＋25＝－8（ sin θ－ ）2＋27≤27，当且仅当 sin θ＝ 时取等号，所以｜PQ｜max＝ ＋3 ＝3 ＋3 .法二 设Q（xQ，yQ），则 ＋ ＝1，｜QN｜2＝ ＋（yQ＋4）2＝9－9 ＋ ＋8yQ＋16＝－8 ＋8yQ＋25＝－8（yQ－ ）2＋27≤27，当且仅当yQ＝ 时取等号，故｜PQ｜max＝ ＋3 ＝3 ＋3 .利用函数性质求最值（范围）的方法 根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用二次函数、三角函数或导数等分析函数的单调性，从而确定最值（范围）.考向3 利用基本不等式求最值（范围）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）经过点A（－2，0），离心率为 .（1）求双曲线C的方程；解： 依题意，a＝2， ＝ ，由c2＝a2＋b2，解得b＝4，故双曲线C的方程为 － ＝1.（2）直线l过点D（3，0）且与双曲线C交于两点P，Q（异于点A）.过点D分别作直线AP，AQ的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，△ADN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.解：设直线AP的方程为y＝k（x＋2），则直线DM的方程为y＝－ （x－3），由得点M的纵坐标yM＝ .联立双曲线与直线l的方程，易知直线AP与直线AQ的斜率之积为定值－ ，用－ 替换上式中的k得点N的纵坐标yN＝ ，则S1·S2＝ ｜yMyN｜＝ ＝ ，而25k2＋ ≥2 ＝40，当且仅当k＝± 时取等号，因此S1·S2≤ ，所以S1·S2的最大值为 .巧用基本不等式求最值的关键 利用基本不等式求最值时，关键在于将式子变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值.训练2 〔一题多解〕如图，已知抛物线x2＝y，点A（－ ， ），B（ ，），抛物线上的点P（x，y） .过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（1）求直线AP斜率的取值范围；解： 设直线AP的斜率为k，k＝ ＝x－ ，因为－ ＜x＜ ，所以直线AP斜率的取值范围是（－1，1）.（2）求｜PA｜·｜PQ｜的最大值.解： 法一 联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝ .因为｜PA｜＝ ＝ （k＋1），｜PQ｜＝ （xQ－x）＝－ ，所以｜PA｜·｜PQ｜＝－（k－1）（k＋1）3，令f（k）＝－（k－1）（k＋1）3，k∈（－1，1）.因为f'（k）＝－（4k－2）（k＋1）2，所以f（k）在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此f（k）max＝f（ ）＝ ，故｜PA｜·｜PQ｜取得最大值 .法二 如图，连接BP，｜AP｜·｜PQ｜＝｜AP｜·｜PB｜· cos ∠BPQ＝ ·（ － ）＝ · － .易知P（x，x2） ，则 · ＝2x＋1＋2x2－ ＝2x2＋2x＋ ，＝ ＋ ＝x2＋x＋ ＋x4－ x2＋ ＝x4＋ x2＋x＋ .所以｜PA｜·｜PQ｜＝－x4＋ x2＋x＋ （－ ＜x＜ ）.设f（x）＝－x4＋ x2＋x＋ ，则f'（x）＝－4x3＋3x＋1＝－（x－1）（2x＋1）2，所以f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝ .故｜PA｜·｜PQ｜的最大值为 .课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：58分）1. （13分）已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，抛物线上的点A（x0，y0）处的切线为l.（1）求l的方程（用x0，y0表示）；解： 抛物线E：x2＝4y，即y＝ ，则y'＝ x，则在点A（x0，y0）处切线l的斜率为k＝ x0，所以l：y－y0＝ x0（x－x0），即y＝ x0x－y0.1234（2）若直线l与y轴交于点B，直线AF与抛物线交于点C，若∠ACB为钝角，求y0的取值范围.解： 易知F（0，1），B（0，－y0）.设C（x1，y1），直线AF：y＝kx＋1，代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，故x1x0＝－4，y0y1＝ ＝1，因为∠ACB为钝角，所以 · ＜0，即（－x1）（－x1）＋（1－y1）（－y0－y1）＝ －y0－y1＋y1y0＋ ＜0，1234即3y1－ ＋1＋ ＜0，（*）因为y1＞0，所以（*）式等价于 ＋3 ＋y1－1＜0，即（y1＋1）（y1＋1－ ）（y1＋1＋ ）＜0，解得0＜y1＜ －1，所以y0＞ ＋1.故y0的取值范围为（ ＋1，＋∞）.12342. （15分）如图所示，点A，B分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.（1）求点P的坐标；解： 由已知可得点A（－6，0），F（4，0），设点P的坐标是（xP，yP），则 ＝（xP＋6，yP）， ＝（xP－4，yP），因为PA⊥PF，所以 · ＝0，1234可得2 ＋9xP－18＝0，解得xP＝ 或xP＝－6.由于yP＞0，故xP＝ ，于是yP＝ ，所以点P的坐标是（ ， ）.1234（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.解： 由（1）可得直线AP的方程是x－ y＋6＝0，点B（6，0）.设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是 ＝｜m－6｜，又－6≤m≤6，解得m＝2.由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，得d2＝（x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋20－ x2＝ （ x－ ）2＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝ 时，d取最小值，且最小值为 .12343. （15分）已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，离心率e＝2，点M（ ， ）在双曲线上.（1）求双曲线的方程；解： 由e＝2，可得c＝2a，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴双曲线的方程为 － ＝1，∵点M（ ， ）在双曲线上，∴ － ＝1，解得 a2＝4，∴双曲线的方程为 － ＝1.1234（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且 · ＝0，求｜OP｜2＋｜OQ｜2的最小值.解： ）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，由 消去y整理得（3－k2）x2－2kmx－m2－12＝0，（*）∵直线l与双曲线交于P，Q两点，∴Δ＝（－2km）2－4（3－k2）（－m2－12）＝12（m2－4k2＋12）＞0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝ ，x1x2＝－ ，由 · ＝0得到：x1x2＋y1y2＝0，即（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0，∴（1＋k2） －km· ＋m2＝0，1234化简得m2＝6k2＋6.∴｜OP｜2＋｜OQ｜2＝｜PQ｜2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝24＋ ≥24，当k＝0时上式取等号，且方程（*）有解.②当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝t，则有P（t，y），Q（t，－y）（y＞0），由 · ＝0可得y2＝t2，可得3t2－t2＝12，解得t2＝6.∴｜PQ｜2＝4y2＝4t2＝24.∴｜OP｜2＋｜OQ｜2＝｜PQ｜2＝24.综上可得｜OP｜2＋｜OQ｜2的最小值是24.12344. （15分）已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.（1）求C的方程；解： 设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（ ， ），根据圆与y轴相切，可得 ＝ ｜PF｜＝ ，化简得y2＝4x，所以C的方程为y2＝4x.1234（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N. 当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.解： 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立 k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，所以x1＋x2＝ ，x1x2＝1，设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜｜tan θ｜，｜BN｜＝｜BF｜｜tan θ｜，所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜，1234因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝ ＋2＝ ，由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝ ｜AB｜·（｜AM｜＋｜BN｜）＝ ＝ ＝ ，设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝ ＝8（t＋ ＋ ），所以S'（t）＝8（1－ － ）＝8（ ）＝8 ，当t＞ 时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜ 时，S'（t）＜0，S（t）单调递减，所以当t＝ ，即｜k｜＝ 时，面积最小，此时k＝± ，故直线l的方程为y＝± （x－1），即 x－y－ ＝0或 x＋y－ ＝0.1234THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 重难专攻12 最值、范围问题.docx 重难专攻12 最值、范围问题.pptx 重难专攻12 最值、范围问题（练习，含解析）.docx
资源列表
