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微专题　解析几何中减少运算量的常见技巧
　　解析几何中用代数方法研究几何问题是中学数学的重要分支，解题的第一步通常是把几何条件转化为代数语言；第二步再对代数式进行转化、化简与求值.因其条件复杂，运算量大，一直是学生的“痛点”.如何在求解解析几何问题时简化运算步骤，减少运算量，实现多想少算之目的，下面就从几种技巧入手，予以例析.
妙借向量
平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果.
已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线C：－y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为　　　　.
听课记录
　　本题的奥妙之处是寻求P2关于x轴的对称点P3，把不等关系x1x2＞y1y2转化为·＞0，从形入手转化为相应数的形式，简化运算.
直线方程的正设与反设
常用的设线方式有以下几种：普通直线情况选用y＝kx＋m和x＝ty＋m；如果已知直线过某点（x0，y0），那么可以选择y－y0＝k（x－x0）和x－x0＝t（y－y0）两种方式，需要注意的是，该设法不包含与坐标轴平行的特殊情况，在书写过程中要注意分类讨论；另外，当直线过非坐标轴上的定点，例如过点P（3，－5）时，若设y＝k（x－3）－5的形式，那么联立形式太麻烦，此情况我们可以设直线方程为y＝kx＋m，联立之后，化简表达式，最终再利用3k＋m＝－5消元即可.直线和圆相切亦是如此.
如图所示，已知抛物线y2＝x和点P（1，1），过点（ 0，）作直线l与抛物线交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为坐标原点.求证：A为线段BM的中点.
　　题干为求证A为线段BM的中点，设出M，N两点的坐标，表示坐标关系，化简可得＋＝2，即证该式成立，该式和y关系紧密，故采用反设法计算量会更小.
关联设元
关联设元法是减少运算量的常见方法，关联设元法的常见类型：
（1）两条相互垂直的直线，斜率可以设为k与－（注意讨论特殊情况，下同）；
（2）关于x轴或y轴对称的直线，斜率可以设为k与－k（倾斜角互补）；
（3）在解题的时候，熟记字母最少原则，不管是点还是线，变量尽量少，形式尽量一致；
（4）熟练使用“同理可得”，同形式的计算，使用轮换对称的方式处理.
已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kAC·kBD＝－.
①求·的最值；
②求证：四边形ABCD的面积为定值.
　　本题设kAC＝k，则kBD＝－，不必再设直线BD的斜率.另外，计算点B的横坐标时，用－代替k，代入｜x1｜＝，得｜x2｜＝，不必再解方程组.
非对称化处理
形式不对称：例如＋，（x1＋1）（x2＋1），＝，，，x1＝3x2，y1＝－2y2的形式如何处理呢？
（1）配凑：如＋＝（x1＋x2）2－2x1x2，（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，（＋）2＝x1＋x2＋2，（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋x1＋x2＋1；
（2）曲线代换：若两点均在曲线＋y2＝1和直线y＝kx－上，那么形如的式子如果用直线替换显然麻烦，注意到＋＝1 ＝9－9 ＝9（1－y1）（1＋y1），替换掉原式中含有的（1－y1），可以得到；若两点均在曲线y2＝4x和直线x＝ty＋1上，联立可以得到y2－4ty－4＝0，得到y1y2＝－4，显然x1x2的式子使用曲线代换更简单，则x1x2＝·＝1；
（3）解方程组：运用根与系数的关系，由已知可以得到两根x1，x2有一定的等量关系，这时采用方程组法消去一个根再进行化简，当然也可以由非对称式转化为对称式处理.
已知椭圆x2＋＝1短轴的左、右两个端点分别为A，B，直线l：y＝kx＋1与x轴，y轴分别交于E，F两点，与椭圆交于C，D两点.
（1）若＝，求直线l的方程；
（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1∶k2＝2∶1，求k的值.
　　本题采用了曲线代换，将＝2平方后即可利用曲线代换.
1.已知抛物线y＝x2－1上一定点B（－1，0）和两个动点P，Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是（　　）
A.（－∞，3]
B.（－∞，－3]∪[1，＋∞）
C.（－∞，－3]
D.（－∞，－3]∪[－1，＋∞）
2.在平面直角坐标系xOy中，过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于M，N两点（M在第一象限）.若｜MF｜＝3｜NF｜，则直线l的方程为　　　　.
3.若椭圆E1：＋＝1（a1＞b1＞0）和椭圆E2：＋＝1（a2＞b2＞0），满足＝＝m（m＞0），则这两个椭圆相似，m称为其相似比.
（1）求经过点（2，），且与椭圆＋＝1相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中两个椭圆交于A，B两点（其中点A在线段OB上），求｜OA｜·｜OB｜的取值范围.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率.过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P，若＝，求直线l的斜率k.
微专题　解析几何中减少运算量的常见技巧
【例1】　[1，＋∞）
解析：由双曲线的对称性可知，P2关于x轴的对称点P3（x2，－y2）仍在双曲线右支上，由x1x2＞y1y2，得x1x2－y1y2＞0，即·＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°（M，N分别为双曲线两条渐近线上的点），∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，∴a≥1，∴实数a的取值范围为[1，＋∞）.
【例2】　证明：设M（，y1），N（，y2）.
直线OP的方程为y＝x，由得x＝y＝，即A（，）.
直线ON的方程为y＝x，由得y＝，所以B（，）.
要证A为线段BM的中点，只需证＋y1＝2，即证＋＝2.
设直线l的方程为x＝t（y－）（t≠0），
联立得y2－ty＋t＝0.
当Δ＝t2－2t＞0时，有
所以＋＝＝2成立.
所以A为线段BM的中点.
【例3】　解：（1）由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）①设点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1x2＞0，kAC＝k，
因为kAC·kBD＝－＝－，所以kBD＝－，可得直线AC，BD的方程分别为y＝kx，y＝－x.
联立
解得｜x1｜＝，｜x2｜＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1·（ －·x2）＝x1x2＝＝≤2，当且仅当｜k｜＝时取等号.
可知当x1x2＞0时，有最大值2；当x1x2＜0时，有最小值－2.
②证明：不妨设点A在第四象限，点B在第一象限，则A（ ，），B（ ，），
S四边形ABCD＝4S△OAB＝2｜OA｜·｜OB｜·sin∠AOB＝
2
＝2
＝2｜x1y2－x2y1｜＝2｜·－·｜＝2｜｜＝8.
同理证得其他情况时S四边形ABCD＝8.
故四边形ABCD的面积为定值.
【例4】　解：（1）设C（x1，y1），D（x2，y2），
由得（4＋k2）x2＋2kx－3＝0，
Δ＝4k2＋12（4＋k2）＝16k2＋48＞0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
由已知得E（－，0），F（0，1），
又＝，所以（－－x1，－y1）＝（x2，y2－1），
所以－－x1＝x2，即x2＋x1＝－，
所以＝－，解得k＝±2，符合题意，
所以所求直线l的方程为2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0.
（2）由k1＝，k2＝，k1∶k2＝2∶1，
所以＝，平方得＝4，
又＋＝1，所以＝4（1－），
同理＝4（1－），
代入上式，计算得＝4，
即3x1x2＋5（x1＋x2）＋3＝0，所以3k2－10k＋3＝0，解得k＝3或k＝，
因为＝，x1，x2∈（－1，1），所以y1，y2异号，故舍去k＝，所以k＝3.
强化训练
1.B　设Q（x1，－1），P（x2，－1），则＝（x2＋1，－1），＝（x1－x2，－），由BP⊥PQ，知·＝0，化简得＋（x1－1）x2＋1－x1＝0，∴Δ＝－4（1－x1）≥0，即＋2x1－3≥0，解得x1≤－3或x1≥1.故选B.
2.y＝x－　解析：设直线l：x＝my＋1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立消去x，得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4，又｜MF｜＝3｜NF｜，则y1＝－3y2，∴y1＋y2＝－2y2＝4m，y1·y2＝－3＝－4，则m2＝，又由题意m＞0，∴m＝，直线l的方程是y＝x－.
3.解：（1）设相似的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则有解得所以所求的椭圆方程为＋＝1.
（2）当射线与y轴重合时，｜OA｜＝，｜OB｜＝2，此时｜OA｜·｜OB｜＝4，
当射线不与y轴重合时，由于对称性，仅考虑第一象限的情形.
假定射线的方程为y＝kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立解得
｜OA｜＝，
同理｜OB｜＝，
则｜OA｜·｜OB｜＝＝4＋∈（4，8].
综上，｜OA｜·｜OB｜的取值范围为[4，8].
4.解：（1）由椭圆过点（b，2e），得＋＝1，
又a2＝8，e2＝＝＝1－，
所以＋＝1，解得b2＝4或b2＝8（舍去），
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设直线l的方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与椭圆的方程可得
整理可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2[x1x2－（x1＋x2）＋1]
＝k2（－＋1）＝，
所以｜AT｜·｜BT｜＝·＝＝（1＋）｜y1y2｜＝·＝，
由题意设直线MN的方程为y＝kx，
代入椭圆的方程可得x2＋2k2x2＝8，所以x2＝，所以y2＝，
所以｜MN｜2＝4（x2＋y2）＝4·，
所以＝＝，
即的值为.
（3）设直线l的方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
令x＝0可得yP＝－k，
所以P（0，－k），
联立直线l与椭圆的方程可得
整理可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝， ①
x1x2＝， ②
＝（－x1，－k－y1），＝（x2－1，y2），
因为＝，所以－x1＝（x2－1），
所以x1＋x2＝， ③
综合①②③，得50k4－83k2－34＝0，
解得k2＝2，
又k＞0，所以k＝.
所以直线l的斜率k为.
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微专题　解析几何中减少运算量的常见技巧
　　解析几何中用代数方法研究几何问题是中学数学的重要分支，解题的
第一步通常是把几何条件转化为代数语言；第二步再对代数式进行转化、
化简与求值.因其条件复杂，运算量大，一直是学生的“痛点”.如何在求
解解析几何问题时简化运算步骤，减少运算量，实现多想少算之目的，下
面就从几种技巧入手，予以例析.
妙借向量
平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数形于一
体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知
识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量，可以有效提升圆锥曲
线的解题方向与运算效率，达到良好效果.
已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线C： －y2＝1（a
＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为
.
[1，＋
∞）　
解析：由双曲线的对称性可知，P2关于x轴的对称点
P3（x2，－y2）仍在双曲线右支上，由x1x2＞y1y2，
得x1x2－y1y2＞0，即 · ＞0恒成立，∴∠P1OP3
恒为锐角，即∠MON≤90°（M，N分别为双曲线两
条渐近线上的点），∴其中一条渐近线y＝ x的斜率 ≤1，∴a≥1，∴实数a的取值范围为[1，＋∞）.
　　本题的奥妙之处是寻求P2关于x轴的对称点P3，把不等关系x1x2＞y1y2
转化为 · ＞0，从形入手转化为相应数的形式，简化运算.
直线方程的正设与反设
常用的设线方式有以下几种：普通直线情况选用y＝kx＋m和x＝ty＋
m；如果已知直线过某点（x0，y0），那么可以选择y－y0＝k（x－x0）
和x－x0＝t（y－y0）两种方式，需要注意的是，该设法不包含与坐标
轴平行的特殊情况，在书写过程中要注意分类讨论；另外，当直线过
非坐标轴上的定点，例如过点P（3，－5）时，若设y＝k（x－3）－5
的形式，那么联立形式太麻烦，此情况我们可以设直线方程为y＝kx＋
m，联立之后，化简表达式，最终再利用3k＋m＝－5消元即可.直线和
圆相切亦是如此.
如图所示，已知抛物线y2＝x和点P（1，1），过点（0， ）作直线l
与抛物线交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，
ON交于点A，B，其中O为坐标原点.求证：A为线段BM的中点.
证明：设M（ ，y1），N（ ，y2）.
直线OP的方程为y＝x，由 得x＝y＝ ，即A（ ， ）.
直线ON的方程为y＝ x，由 得y＝ ，所以B（ ， ）.
要证A为线段BM的中点，只需证 ＋y1＝2 ，即证 ＋ ＝2.
设直线l的方程为x＝t（y－ ）（t≠0），
联立 得y2－ty＋ t＝0.
当Δ＝t2－2t＞0时，有
所以 ＋ ＝ ＝2成立.
所以A为线段BM的中点.
　　题干为求证A为线段BM的中点，设出M，N两点的坐标，表示坐标
关系，化简可得 ＋ ＝2，即证该式成立，该式和y关系紧密，故采用反
设法计算量会更小.
关联设元
关联设元法是减少运算量的常见方法，关联设元法的常见类型：
（1）两条相互垂直的直线，斜率可以设为k与－ （注意讨论特殊情况，
下同）；
（2）关于x轴或y轴对称的直线，斜率可以设为k与－k（倾斜角互补）；
（3）在解题的时候，熟记字母最少原则，不管是点还是线，变量尽量
少，形式尽量一致；
（4）熟练使用“同理可得”，同形式的计算，使用轮换对称的方式处理.
已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（2，
）.
（1）求椭圆的标准方程；
解： 由题意得 解得 所以椭圆的标准方程为
＋ ＝1.
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若
kAC·kBD＝－ .
①求 · 的最值；
②求证：四边形ABCD的面积为定值.
解： ①设点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1x2＞0，kAC＝k，
因为kAC·kBD＝－ ＝－ ，所以kBD＝－ ，可得直线AC，BD的方程分
别为y＝kx，y＝－ x.联立
解得｜x1｜＝ ，｜x2｜＝ ，
所以 · ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1·（ － ·x2）＝ x1x2＝ ＝
≤2，当且仅当｜k｜＝ 时取等号.
可知当x1x2＞0时，有最大值2；当x1x2＜0时，有最小值－2.
②证明：不妨设点A在第四象限，点B在第一象限，则A（ ，
），B（ ， ），
S四边形ABCD＝4S△OAB＝2｜OA｜·｜OB｜· sin ∠AOB＝
2 ＝
2 ＝2｜x1y2－x2y1｜＝2｜ ·
－ · ｜＝2｜ ｜＝8 .
同理证得其他情况时S四边形ABCD＝8 .
故四边形ABCD的面积为定值.
　　本题设kAC＝k，则kBD＝－ ，不必再设直线BD的斜率.另外，计算
点B的横坐标时，用－ 代替k，代入｜x1｜＝ ，得｜x2｜＝
，不必再解方程组.
非对称化处理
形式不对称：例如 ＋ ，（x1＋1）（x2＋1）， ＝ ， ，
，x1＝3x2，y1＝－2y2的形式如何处理呢？
（1）配凑：如 ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2，（x1－x2）2＝（x1＋x2）2
－4x1x2，（ ＋ ）2＝x1＋x2＋2 ，（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2
＋x1＋x2＋1；
（2）曲线代换：若两点均在曲线 ＋y2＝1和直线y＝kx－ 上，那么形
如 的式子如果用直线替换显然麻烦，注意到 ＋ ＝1 ＝
9－9 ＝9（1－y1）（1＋y1），替换掉原式中含有的（1－y1），可
以得到 ；若两点均在曲线y2＝4x和直线x＝ty＋1上，联立
可以得到y2－4ty－4＝0，得到y1y2＝－4，显然x1x2的式子使用曲线代换更
简单，则x1x2＝ · ＝1；
（3）解方程组：运用根与系数的关系，由已知可以得到两根x1，x2有一定
的等量关系，这时采用方程组法消去一个根再进行化简，当然也可以由非
对称式转化为对称式处理.
已知椭圆x2＋ ＝1短轴的左、右两个端点分别为A，B，直线l：y
＝kx＋1与x轴，y轴分别交于E，F两点，与椭圆交于C，D两点.
（1）若 ＝ ，求直线l的方程；
解：设C（x1，y1），D（x2，y2），
由 得（4＋k2）x2＋2kx－3＝0，
Δ＝4k2＋12（4＋k2）＝16k2＋48＞0，
x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
由已知得E（－ ，0），F（0，1），
又 ＝ ，所以（－ －x1，－y1）＝（x2，y2－1），
所以－ －x1＝x2，即x2＋x1＝－ ，
所以 ＝－ ，解得k＝±2，符合题意，
所以所求直线l的方程为2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0.
（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1∶k2＝2∶1，求k的值.
解：由k1＝ ，k2＝ ，k1∶k2＝2∶1，
所以 ＝ ，平方得 ＝4，
又 ＋ ＝1，所以 ＝4（1－ ），
同理 ＝4（1－ ），
代入上式，计算得 ＝4，
即3x1x2＋5（x1＋x2）＋3＝0，所以3k2－10k＋3＝0，解得k＝3或k＝ ，
因为 ＝ ，x1，x2∈（－1，1），所以y1，y2异号，故舍去k＝
，所以k＝3.
　　本题采用了曲线代换，将 ＝2平方后即可利用曲线代换.
1. 已知抛物线y＝x2－1上一定点B（－1，0）和两个动点P，Q，当P在
抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是（　　）
A. （－∞，3]
B. （－∞，－3]∪[1，＋∞）
C. （－∞，－3]
D. （－∞，－3]∪[－1，＋∞）
√
解析： 　设Q（x1， －1），P（x2， －1），则 ＝（x2＋1，
－1）， ＝（x1－x2， － ），由BP⊥PQ，知 · ＝0，化简
得 ＋（x1－1）x2＋1－x1＝0，∴Δ＝ －4（1－x1）≥0，即
＋2x1－3≥0，解得x1≤－3或x1≥1.故选B.
2. 在平面直角坐标系xOy中，过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝
4x交于M，N两点（M在第一象限）.若｜MF｜＝3｜NF｜，则直线l的
方程为 .
解析：设直线l：x＝my＋1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立
消去x，得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4，
又｜MF｜＝3｜NF｜，则y1＝－3y2，∴y1＋y2＝－2y2＝4m，y1·y2＝－
3 ＝－4，则m2＝ ，又由题意m＞0，∴m＝ ，直线l的方程是y＝
x－ .
y＝ x－ 　
3. 若椭圆E1： ＋ ＝1（a1＞b1＞0）和椭圆E2： ＋ ＝1（a2＞b2＞
0），满足 ＝ ＝m（m＞0），则这两个椭圆相似，m称为其相似比.
（1）求经过点（2， ），且与椭圆 ＋ ＝1相似的椭圆方程；
解： 设相似的椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），则有
解得 所以所求的椭圆方程为 ＋ ＝1.
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中两个椭圆交于A，B两点（其中
点A在线段OB上），求｜OA｜·｜OB｜的取值范围.
解： 当射线与y轴重合时，｜OA｜＝ ，｜OB｜＝2 ，此时｜
OA｜·｜OB｜＝4，
当射线不与y轴重合时，由于对称性，仅考虑第一象限的情形.
假定射线的方程为y＝kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，
y2），联立 解得
｜OA｜＝ ，同理｜OB｜＝ ，
则｜OA｜·｜OB｜＝ ＝4＋ ∈（4，8].
综上，｜OA｜·｜OB｜的取值范围为[4，8].
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C： ＋ ＝1
经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率.过点T（1，0）作斜率为k
（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
解： 由椭圆过点（b，2e），得 ＋ ＝1，
又a2＝8，e2＝ ＝ ＝1－ ，
所以 ＋ ＝1，解得b2＝4或b2＝8（舍去），
所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
（2）过原点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求
的值；
解： 设直线l的方程为y＝k（x－1），A（x1，
y1），B（x2，y2），
联立直线l与椭圆的方程可得
整理可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
y1y2＝k2[x1x2－（x1＋x2）＋1]
＝k2（ － ＋1）＝ ，
所以｜AT｜·｜BT｜＝ ·
＝ ＝（1＋ ）｜y1y2｜＝ · ＝
，
由题意设直线MN的方程为y＝kx，
代入椭圆的方程可得x2＋2k2x2＝8，所以x2＝ ，所以y2＝ ，
所以｜MN｜2＝4（x2＋y2）＝4· ，
所以 ＝ ＝ ，
即 的值为 .
（3）记直线l与y轴的交点为P，若 ＝ ，求直线l的斜率k.
解： 设直线l的方程为y＝k（x－1），A（x1，
y1），B（x2，y2），
令x＝0可得yP＝－k，
所以P（0，－k），
联立直线l与椭圆的方程可得
整理可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝ ， ①
x1x2＝ ， ②
＝（－x1，－k－y1）， ＝（x2－1，y2），
因为 ＝ ，所以－x1＝ （x2－1），
所以x1＋ x2＝ ， ③
综合①②③，得50k4－83k2－34＝0，
解得k2＝2，
又k＞0，所以k＝ .
所以直线l的斜率k为 .
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