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微专题　离心率的范围问题
　　圆锥曲线中离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合圆锥曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.
（1）已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得过点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围为　　　　；
（2）已知F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　.
听课记录
借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，Δ的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.
（1）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：＋＝1（a＞b＞0），且AB，AD斜率之积的范围为（ －，－），则椭圆Ω的离心率的取值范围是（　　）
A.（ ，） B.（ ，）
C.（ ，） D.（ ，）
（2）已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1（b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足｜F1F2｜＝2｜OP｜，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）
A.（ 1，］ B.［，＋∞）
C.［，＋∞） D.（ 1，］
听课记录
借助圆锥曲线的性质
在求离心率的范围时常用到椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆＋＝1（a＞b＞0）中，－a≤x≤a，P是椭圆上任意一点，则a－c≤｜PF1｜≤a＋c等.
（1）已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A.［，1） B.（ 0，］
C.［，1） D.（ 0，］
（2）已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0），过点M（－b，0）的两条直线l1，l2分别与双曲线E的上支、下支相切于点A，B.若△MAB为锐角三角形，则双曲线E的离心率的取值范围为（　　）
A.（ 1，） B.（ 1，）
C.（ ，＋∞） D.（ ，＋∞）
听课记录
1.（2026·广东广州开学考试）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）中，a＞3b，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A.（ 0，） B.（ ，1）
C.（ 0，） D.（ ，1）
2.已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A.（1，3] B.（1，]
C.[，3] D.[3，＋∞）
3.（2026·安徽黄山质检）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线C的一条渐近线平行的直线l交C于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C离心率的最大值为（　　）
A. B.
C.2 D.
4.已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，M是OF的中点，椭圆上有且只有右顶点（a，0）到点M的距离最近，则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　.
5.（2026·四川绵阳模拟）加斯帕尔·蒙日是18—19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C：＋＝1（a＞），若直线l：4x－3y＋20＝0上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是　　　　.
微专题　离心率的范围问题
【例1】　（1）［，1）　（2）（1，3）
解析：（1）在椭圆C1的长轴端点P'处向圆C2引两条切线P'A，P'B，若椭圆C1上存在点P，使过点P的两条切线互相垂直，则只需∠AP'B≤90°，即α＝∠AP'O≤45°，∴sin α＝≤sin 45°＝，得a2≤2c2，∴e2≥，又0＜e＜1，∴≤e＜1，即e∈［，1）.
（2）在△PF1F2中，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，由正弦定理＝，得｜PF1｜＝2｜PF2｜.又点P是双曲线上在第一象限内的一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，在△PF1F2中，由｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，得4a＋2a＞2c，即3a＞c，所以双曲线的离心率e＝＜3，又e＞1，所以1＜e＜3.
【例2】　（1）A　（2）D　解析：（1）由题意，D，B两点关于原点对称，设D（x0，y0），B（－x0，－y0），A（x，y），∴kAD·kAB＝×＝＝＝－，∴－＝－1∈（－，－），∴∈（，），∴e∈（，）.故选A.
（2）∵｜F1F2｜＝2｜OP｜，∴F1P⊥F2P，记｜PF1｜＝x，｜PF2｜＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.又x－y＝2a　①，∴2xy＝4c2－4a2，∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，∴x＋y＝2　②，由①②得又tan∠PF2F1＝≥4，即x≥4y，∴＋a≥4（－a），解得≤，∴双曲线C的离心率e＝≤，又e＞1，∴1＜e≤.故选D.
【例3】　（1）C　（2）D　解析：（1）设F为椭圆的左焦点，F'为椭圆的右焦点，连接AF，BF，AF'，BF'（图略），由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF'为平行四边形，又∠AFB＝120°，则∠FAF'＝60°，在△AFF'中，｜FF'｜2＝｜AF｜2＋｜AF'｜2－2｜AF｜·｜AF'｜cos∠FAF'＝（｜AF｜＋｜AF'｜）2－3｜AF｜·｜AF'｜，∴（｜AF｜＋｜AF'｜）2－｜FF'｜2＝3｜AF｜·｜AF'｜≤3（）2，可得（｜AF｜＋｜AF'｜）2≤｜FF'｜2，即a2≤4c2，则e＝≥，∴椭圆的离心率e∈［，1）.故选C.
（2）如图，设过点M（－b，0）的直线l1：y＝k（x＋b）（k＞0），联立消y整理得（b2k2－a2）x2＋2b3k2x＋b2（b2k2－a2）＝0，依题意得Δ＝4b6k4－4b2（b2k2－a2）2＝0，所以k2＝.由双曲线的对称性，得0＜k2＝＜1，所以a2＜2（c2－a2），整理得双曲线E的离心率e＝＞.故选D.
强化训练
1.B　2.A　
3.D　如图所示，不妨取渐近线方程为y＝x，又易知F1（－c，0），则直线l的方程为y＝（x＋c），联立直线l与双曲线方程可得M（－，），所以｜F1M｜＝＝＝＝＝，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜－｜F1M｜＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝＝＝∈[1，3]，所以e2－1∈［，4］，解得≤e≤.因此双曲线C离心率的最大值为.故选D.
4.（0，］　解析：由题知点M（，0）.设Q（x，y）是椭圆上的点，x∈[－a，a]，则｜MQ｜＝＝，函数y＝x2－cx＋＋b2的对称轴是直线x＝，定义域是x∈[－a，a]，∴a≤，解得椭圆的离心率e∈（0，］.
5.［，1）　解析：由题可知，点P在椭圆的蒙日圆上，又因为点P在直线上，所以问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆方程＋＝1可知：b＝，如图，
当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2a和2，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋7，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，即≤，所以a2≥9，所以e2＝1－≥，所以≤e＜1.
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微专题　离心率的范围问题
　　圆锥曲线中离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知
特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也
可使问题求解更简洁.
借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于
直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合圆锥曲
线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的
范围.
（1）已知椭圆C1： ＋ ＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若
在椭圆C1上存在点P，使得过点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭
圆C1的离心率的取值范围为 ；
解析： 在椭圆C1的长轴端点P'处向圆C2引两条切线P'A，P'B，若椭圆C1
上存在点P，使过点P的两条切线互相垂直，则只需∠AP'B≤90°，即α＝
∠AP'O≤45°，∴ sin α＝ ≤ sin 45°＝ ，得a2≤2c2，∴e2≥ ，又0
＜e＜1，∴ ≤e＜1，即e∈［ ，1）.
［ ，1）　
（2）已知F1，F2是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点
P是双曲线上在第一象限内的一点，且2 sin ∠PF1F2＝ sin ∠PF2F1，则该
双曲线的离心率的取值范围是 .
（1，3）　
解析： 在△PF1F2中，2 sin ∠PF1F2＝ sin ∠PF2F1，由正弦定理
＝ ，得｜PF1｜＝2｜PF2｜.又点P是双曲线上在第一象限内的一
点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，
在△PF1F2中，由｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，得4a＋2a＞2c，即3a
＞c，所以双曲线的离心率e＝ ＜3，又e＞1，所以1＜e＜3.
借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方
程成立，Δ的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.
（1）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω： ＋ ＝1（a＞b＞
0），且AB，AD斜率之积的范围为（－ ，－ ），则椭圆Ω的离心率的
取值范围是（　A　）
A. （ ， ） B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ， ）
A
解析： 由题意，D，B两点关于原点对称，设D（x0，y0），B（－x0，
－y0），A（x，y），∴kAD·kAB＝ × ＝ ＝
＝－ ，∴－ ＝ －1∈（－ ，－ ），∴ ∈
（ ， ），∴e∈（ ， ）.故选A.
（2）已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－ ＝1（b＞0）的左、右焦
点，O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足｜F1F2｜＝2｜OP｜，
tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围是（　D　）
A. （1， ］ B. ［ ，＋∞）
C. ［ ，＋∞） D. （1， ］
D
解析：∵｜F1F2｜＝2｜OP｜，∴F1P⊥F2P，记｜PF1｜＝x，｜PF2｜
＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.又x－y＝2a　①，∴2xy＝4c2－4a2，
∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，∴x＋y＝2 　②，
由①②得 又tan∠PF2F1＝ ≥4，即x≥4y，
∴ ＋a≥4（ －a），解得 ≤ ，∴双曲线C的离
心率e＝ ≤ ，又e＞1，∴1＜e≤ .故选D.
借助圆锥曲线的性质
在求离心率的范围时常用到椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆 ＋ ＝1
（a＞b＞0）中，－a≤x≤a，P是椭圆上任意一点，则a－c≤｜PF1｜
≤a＋c等.
（1）已知F是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝
kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围
是（　C　）
A. ［ ，1） B. （0， ］
C. ［ ，1） D. （0， ］
C
解析： 设F为椭圆的左焦点，F'为椭圆的右焦点，连接AF，BF，
AF'，BF'（图略），由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF'为平行四边
形，又∠AFB＝120°，则∠FAF'＝60°，在△AFF'中，｜FF'｜2＝｜
AF｜2＋｜AF'｜2－2｜AF｜·｜AF'｜ cos ∠FAF'＝（｜AF｜＋｜
AF'｜）2－3｜AF｜·｜AF'｜，∴（｜AF｜＋｜AF'｜）2－｜FF'｜2＝
3｜AF｜·｜AF'｜≤3（ ）2，可得 （｜AF｜＋｜
AF'｜）2≤｜FF'｜2，即a2≤4c2，则e＝ ≥ ，∴椭圆的离心率e∈
［ ，1）.故选C.
（2）已知双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0），过点M（－b，0）的
两条直线l1，l2分别与双曲线E的上支、下支相切于点A，B. 若△MAB为
锐角三角形，则双曲线E的离心率的取值范围为（　D　）
A. （1， ） B. （1， ）
C. （ ，＋∞） D. （ ，＋∞）
D
解析： 如图，设过点M（－b，0）的直线l1：y＝
k（x＋b）（k＞0），联立 消y整理得
（b2k2－a2）x2＋2b3k2x＋b2（b2k2－a2）＝0，依题意得
Δ＝4b6k4－4b2（b2k2－a2）2＝0，所以k2＝ .由双曲线
的对称性，得0＜k2＝ ＜1，所以a2＜2（c2－a2），整理得双曲线E的离心率e＝ ＞ .故选D.
1. （2026·广东广州开学考试）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）
中，a＞3b，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A. （0， ） B. （ ，1）
C. （0， ） D. （ ，1）
√
解析： 　因为a＞3b，则0＜ ＜ ，即 ＜1－ ＜1，所以椭圆C的离
心率e＝ ∈（ ，1）.故选B.
2. 已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
P为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为8a，则双曲线的离
心率e的取值范围是（　　）
A. （1，3] B. （1， ]
C. [，3] D. [3，＋∞）
√
解析： 　设｜PF2｜＝t，则｜PF1｜＝2a＋t，t≥c－a.又 ＝
＝t＋ ＋4a≥8a，当且仅当t＝2a时，等号成立.所以c－
a≤2a，所以1＜e≤3.故选A.
3. （2026·安徽黄山质检）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线C的一条渐近线平行的直线l
交C于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C离心率的
最大值为（　　）
A. B.
C. 2 D.
√
解析： 　如图所示，不妨取渐近线方程为y＝ x，又易
知F1（－c，0），则直线l的方程为y＝ （x＋c），联
立直线l与双曲线方程 可得M（－ ， ），所以
｜F1M｜＝ ＝ ＝
＝ ＝ ，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜－｜F1M｜＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝ ＝ ＝ ∈[1，3]，所以e2－1∈［ ，4］，解得 ≤e≤ .因此双曲线C离心率的最大值为 .故选D.
4. 已知F是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，M是
OF的中点，椭圆上有且只有右顶点（a，0）到点M的距离最近，则该椭
圆的离心率的取值范围为 .
（0， ］　
解析：由题知点M（ ，0）.设Q（x，y）是椭圆上的点，x∈[－a，
a]，则｜MQ｜＝ ＝ ，函数y＝ x2－cx＋ ＋b2的对称轴是直线x＝ ，定义域是x∈[－a，a]，∴a≤ ，解得椭圆的离心率e∈（0， ］.
5. （2026·四川绵阳模拟）加斯帕尔·蒙日是18—19世纪法国著名的几何学
家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个
圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C：
＋ ＝1（a＞ ），若直线l：4x－3y＋20＝0上存在点P，过P可作C
的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 .
［ ，1）　
解析：由题可知，点P在椭圆的蒙日圆上，又因为点P在
直线上，所以问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆
方程 ＋ ＝1可知：b＝ ，如图，当长方形的边与
椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2a和2 ，其对
角线长为 ，因此蒙日圆半径为 ，所以蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋7，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，即 ≤ ，所以a2≥9，所以e2＝1－ ≥ ，所以 ≤e＜1.
THANKS
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