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微专题　抛物线中的常见结论
抛物线的焦点弦
典题探究　如图，设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B作抛物线准线的垂线，交其于M，N，若AB的倾斜角为α.
求证：（1）x1x2＝，y1y2＝－p2；
（2）｜AF｜＝，｜BF｜＝；
（3）｜AB｜＝，且＋＝；
（4）S△OAB＝.
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α为弦AB与x轴的夹角，则 （1）x1x2＝，y1y2＝－p2； （2）焦半径｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝； （3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，且＋＝； （4）S△OAB＝（O为抛物线的顶点）； （5）若＝λ，则｜cos α｜＝｜｜； （6）以AB为直径的圆与准线相切；以MN为直径的圆与AB切于焦点F；以焦半径AF（BF）为直径的圆与y轴相切.
（1）已知抛物线y2＝4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若＝4，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（　　）
A. B. C. D.
（2）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　）
A.p＝2 B.｜MN｜＝
C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形
听课记录
阿基米德三角形
1.定义：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.
2.阿基米德三角形的常见性质
性质1：阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的对称轴；
性质2：若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点D，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以点D为中点的弦平行；
性质3：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点，若直线l的方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为C（ ，－）；
性质4：底边长为a的阿基米德三角形的面积最大值为；
性质5：若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且QA⊥QB，QF⊥AB，此时阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.
〔多选〕（2026·山东聊城模拟）设动直线l：y＝kx－k＋2与抛物线C：x2＝2y相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于点P，则（　　）
A.直线l经过一定点
B.抛物线C的焦点为（ ，0）
C.点P到坐标原点的距离不小于
D.△PAB的面积的最小值为3
听课记录
1.过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝（　　）
A. B.1
C. D.2
2.〔一题多解〕过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，以AF，BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则｜MN｜＝（　　）
A. B.2
C. D.
3.〔多选〕已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，若过A，B两点（A在B的左侧）的直线的方程为x－3y＋6＝0，则下列结论正确的是（　　）
A.｜AB｜＝
B.PA⊥PB
C.PF⊥AB
D.点P的坐标为（，－2）
4.〔一题多解〕〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷10题）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（　　）
A.｜AD｜＝｜AF｜
B.｜AE｜＝｜AB｜
C.｜AB｜≥6
D.｜AE｜·｜BE｜≥18
5.（2026·浙江杭州模拟）已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且＝t（t＞1），｜AB｜＝，则t＝　　　　.
微专题　抛物线中的常见结论
典题探究　证明：（1）设直线AB的方程为y＝k（ x－），与y2＝2px联立，消去y得k2x2－p（k2＋2）x＋＝0，
则有x1x2＝＝，
由抛物线方程得＝2px1，＝2px2，
两式相乘得（y1y2）2＝4p2x1x2＝p4，
所以y1y2＝－p2（正值舍去）.
（2）由抛物线定义易得｜AF｜＝x1＋，
cos α＝＝＝1－，
整理得｜AF｜＝，
同理可得｜BF｜＝x2＋＝.
（3）由（2）知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝＋＝.
＋＝＋＝＝
＝＝.
（4）S△OAB＝｜OF｜｜y2－y1｜
＝
＝
＝
＝＝.
【例1】　（1）D　（2）AC　解析：（1）设直线l的倾斜角为α，由题意可知AF＝3BF，结合焦半径公式有＝，解得cos α＝，α＝，故直线AB的方程为y＝（x－1），与抛物线方程联立可得3y2－4y－12＝0，则｜y1－y2｜＝＝，故△OAB的面积S＝×｜OF｜×｜y1－y2｜＝×1×＝.
（2）由于y2＝2px的焦点为（，0），直线y＝－（x－1）过焦点，所以－（－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝，B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为＝，圆心到准线l的距离d＝＋1＝＝｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝，x2＝3，所以y1＝，y2＝－2，所以｜ON｜＝＝，｜OM｜＝＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确.故选A、C.
【例2】　ACD　对于A：l：y＝kx－k＋2化简为k（x－1）＋2－y＝0，无论k为何值时，令2－y＝0，x－1＝0，可得定点为（1，2），A选项正确；对于B：C：x2＝2y的焦点在y轴且2p＝2，所以＝，所以抛物线C的焦点为（ 0，），B选项错误；对于C：将l：y＝kx－k＋2与抛物线方程联立有x2－2kx＋2k－4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－4，由y＝ y'＝x，所以PA，PB的斜率分别为x1，x2，又因为y1＝，y2＝，则两切线PA：y＝x1x－，PB：y＝x2x－，联立两直线方程解得x＝＝k，y＝＝k－2，所以P（k，k－2），点P到坐标原点的距离为＝＝≥，当k＝1时点P到坐标原点的最小距离为，C选项正确；
对于D：点P到l的距离为d＝，｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝2·，所以S△PAB＝d｜AB｜＝｜k2－2k＋4｜＝，当k＝1时，（k2－2k＋4）min＝3，此时S△PAB取最小值3，D选项正确.故选A、C、D.
强化训练
1.D　
2.D　法一（性质法）　由抛物线的几何性质可知，｜MN｜＝·｜AB｜·sin α＝＝.
法二（代数法）　设A（x1，y1），B（x2，y2），
则｜OM｜＝｜y1｜，｜ON｜＝｜y2｜，直线AB的方程为y＝（x－1），联立可得3y2－4y－12＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－4，∴｜MN｜＝｜y1－y2｜＝＝，故选D.
3.ABC　联立方程消去x得3y2－20y＋12＝0，解得y1＝或y2＝6，即A（ －，），B（4，6），则｜AB｜＝，A正确；∵x2＝8y，即y＝，y'＝，对于A（ －，），B（4，6），切线斜率分别为kA＝－，kB＝，∴kAkB＝－1，即PA⊥PB，B正确；在点A处的切线方程为y－＝－（ x＋），即x＋3y＋2＝0.同理可得在点B处的切线方程为x－y－6＝0，联立方程解得即P（ ，－2），D不正确；∵F（0，2），则kPF＝＝－，kAB＝，∴kPFkAB＝－1，即PF⊥AB，C正确.故选A、B、C.
4.ACD　A.直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，故A正确；
法一（通解）　B.当AB⊥x轴时，A（，3），B（，－3），E（－，0），｜AB｜＝6，｜AE｜＝3，此时｜AE｜≠｜AB｜，故B错误；C.易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A（x1，y1），B（x2，y2），由得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；D.当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝3，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，E（－，3m），｜EF｜＝，S△AEB＝｜AE｜｜BE｜·sin∠AEB＝｜AB｜·｜EF｜＝（6＋6m2）·＝9（1＋m2＞9，所以｜AE｜·｜BE｜＞＞18.综上，｜AE｜·｜BE｜≥18，故D正确.故选A、C、D.
法二（优解）　B.以焦点弦为直径的圆与准线相切，AB为直径，AE为弦，所以｜AB｜＞｜AE｜，故B错误；C.抛物线的焦点弦中通径最短，p＝3，则｜AB｜≥2p＝6，故C正确；D.由选项B可知AE⊥BE，
如图，设∠AFx＝θ，由S△AEB＝｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜，可得｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜＝·＝≥2p2＝18，故D正确.故选A、C、D.
5.3　解析：由题意得焦点F（1，0），设直线l为x＝λy＋1（λ≠0），代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1y2＝－4　①，由＝t，即（1－x1，－y1）＝t（x2－1，y2），有y1＝－ty2　②，∴由①②得y2＝，y1＝－2或y2＝－，y1＝2，即x1＝t，x2＝，∴｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋t＋2＝，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝（舍）.
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微专题　抛物线中的常见结论
抛物线的焦点弦
典题探究　如图，设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A
（x1，y1），B（x2，y2），过A，B作抛物线准线的垂线，交其于M，
N，若AB的倾斜角为α.
求证：（1）x1x2＝ ，y1y2＝－p2；
证明： 设直线AB的方程为y＝k（ x－ ），与y2＝2px联立，消去y得
k2x2－p（k2＋2）x＋ ＝0，
则有x1x2＝ ＝ ，
由抛物线方程得 ＝2px1， ＝2px2，
两式相乘得（y1y2）2＝4p2x1x2＝p4，
所以y1y2＝－p2（正值舍去）.
（2）｜AF｜＝ ，｜BF｜＝ ；
证明：由抛物线定义易得｜AF｜＝x1＋ ，
cos α＝ ＝ ＝1－ ，
整理得｜AF｜＝ ，
同理可得｜BF｜＝x2＋ ＝ .
（3）｜AB｜＝ ，且 ＋ ＝ ；
证明：由（2）知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝ ＋ ＝ .
＋ ＝ ＋ ＝ ＝
＝ ＝ .
（4）S△OAB＝ .
证明： S△OAB＝ ｜OF｜｜y2－y1｜＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B
（x2，y2），α为弦AB与x轴的夹角，则
（1）x1x2＝ ，y1y2＝－p2；
（2）焦半径｜AF｜＝x1＋ ＝ ，｜BF｜＝x2＋ ＝ ；
（3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ，且 ＋ ＝ ；
（4）S△OAB＝ （O为抛物线的顶点）；
（5）若 ＝λ ，则｜ cos α｜＝｜ ｜；
（6）以AB为直径的圆与准线相切；以MN为直径的圆与AB切于焦点F；
以焦半径AF（BF）为直径的圆与y轴相切.
（1）已知抛物线y2＝4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于
A，B两点，若 ＝4 ，则△OAB（O为坐标原点）的面积为
（　D　）
A. B. C. D.
D
解析： 设直线l的倾斜角为α，由题意可知AF＝3BF，结合焦半径公式有
＝ ，解得 cos α＝ ，α＝ ，故直线AB的方程为y＝ （x－
1），与抛物线方程联立可得3y2－4 y－12＝0，则｜y1－y2｜＝
＝ ，故△OAB的面积S＝ ×｜OF｜×｜y1
－y2｜＝ ×1× ＝ .
（2）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－
（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两
点，l为C的准线，则（　AC　）
A. p＝2
B. ｜MN｜＝
C. 以MN为直径的圆与l相切
D. △OMN为等腰三角形
AC
解析：由于y2＝2px的焦点为（ ，0），直线y＝－ （x－1）过焦点，
所以－ （ －1）＝0，解得p＝2，A正确；联立 消
去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝ ，
所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝ ，B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横
坐标为 ＝ ，圆心到准线l的距离d＝ ＋1＝ ＝ ｜MN｜，故以
MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋
3＝0得x1＝ ，x2＝3，所以y1＝ ，y2＝－2 ，所以｜ON｜＝
＝ ，｜OM｜＝ ＝ ，又｜
MN｜＝ ，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确.故选A、C.
阿基米德三角形
1. 定义：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米
德三角形.
2. 阿基米德三角形的常见性质
性质1：阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的对称轴；
性质2：若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点D，则另一顶点Q
的轨迹为一条直线，该直线与以点D为中点的弦平行；
性质3：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角
形的底边AB过定点，若直线l的方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标
为C（ ，－ ）；
性质4：底边长为a的阿基米德三角形的面积最大值为 ；
性质5：若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且
QA⊥QB，QF⊥AB，此时阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.
〔多选〕（2026·山东聊城模拟）设动直线l：y＝kx－k＋2与抛物线
C：x2＝2y相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于
点P，则（　ACD　）
A. 直线l经过一定点
B. 抛物线C的焦点为（ ，0）
C. 点P到坐标原点的距离不小于
D. △PAB的面积的最小值为3
ACD
解析：　对于A：l：y＝kx－k＋2化简为k（x－1）＋2
－y＝0，无论k为何值时，令2－y＝0，x－1＝0，可得定
点为（1，2），A选项正确；对于B：C：x2＝2y的焦点
在y轴且2p＝2，所以 ＝ ，所以抛物线C的焦点为
（ 0， ），B选项错误；对于C：将l：y＝kx－k＋2与抛物线方程联立有x2－2kx＋2k－4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1＋x2＝
2k，x1x2＝2k－4，由y＝ y'＝x，所以PA，PB的斜率分别为x1，x2，又因为y1＝ ，y2＝ ，则两切线PA： y＝x1x－ ，
PB：y＝x2x－ ，联立两直线方程解得x＝ ＝k，y＝ ＝k－2，所以P（k，k－2），点P到坐标原点的距离为 ＝ ＝ ≥ ，当k＝1时点P到坐标原点的最小距离为 ，C选项正确；对于D：点P到l的距离为d＝ ，｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝2 · ，所以S△PAB＝ d｜AB｜＝｜k2－2k＋4｜ ＝ ，当k＝1时，（k2－2k＋4）min＝3，此时S△PAB取最小值3 ，D选项正确.故选A、C、D.
1. 过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于
A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝（　　）
A. B. 1
C. D. 2
√
解析： 　直线AB的方程为y＝x－ ，与抛物线方程联立消去y得x2－
3px＋ p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义，得｜
AB｜＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
2. 〔一题多解〕过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线
于A，B两点，以AF，BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则｜
MN｜＝（　　）
A. B. 2
C. D.
√
解析： 　法一（性质法）　由抛物线的几何性质可
知，｜MN｜＝ ·｜AB｜· sin α＝ ＝ .
法二（代数法）　设A（x1，y1），B（x2，y2），则｜
OM｜＝ ｜y1｜，｜ON｜＝ ｜y2｜，直线AB的方程
为y＝ （x－1），联立 可得3y2－
4 y－12＝0，∴y1＋y2＝ ，y1y2＝－4，∴｜MN｜＝ ｜y1－y2｜＝ ＝ ，故选D.
3. 〔多选〕已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，抛物线上任意两点A，B
处的切线交于点P，若过A，B两点（A在B的左侧）的直线的方程为 x
－3y＋6＝0，则下列结论正确的是（　　）
A. ｜AB｜＝
B. PA⊥PB
C. PF⊥AB
D. 点P的坐标为（ ，－2）
√
√
√
解析： 　联立方程 消去x得3y2－20y＋12＝0，
解得y1＝ 或y2＝6，即A（ － ， ），B（4 ，6），则｜AB｜＝
，A正确；∵x2＝8y，即y＝ ，y'＝ ，对于A（ － ， ），B
（4 ，6），切线斜率分别为kA＝－ ，kB＝ ，∴kAkB＝－1，即
PA⊥PB，B正确；
在点A处的切线方程为y－ ＝－ （ x＋ ），即 x＋3y＋2＝0.同
理可得在点B处的切线方程为 x－y－6＝0，联立方程
解得 即P（ ，－2），D不正确；∵F
（0，2），则kPF＝ ＝－ ，kAB＝ ，∴kPFkAB＝－1，即PF⊥AB，
C正确.故选A、B、C.
4. 〔一题多解〕〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷10题）已知抛物线C：y2＝6x的
焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－ 的垂
线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（　　）
A. ｜AD｜＝｜AF｜ B. ｜AE｜＝｜AB｜
C. ｜AB｜≥6 D. ｜AE｜·｜BE｜≥18
√
√
√
解析： 　A. 直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知｜AD｜
＝｜AF｜，故A正确；
法一（通解）　B. 当AB⊥x轴时，A（ ，3），B
（ ，－3），E（－ ，0），｜AB｜＝6，｜AE｜＝
3 ，此时｜AE｜≠｜AB｜，故B错误；C. 易知直线
AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋ ，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；D. 当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝3 ，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－ y＋ ，E（－ ，3m），｜EF｜＝ ，S△AEB＝ ｜AE｜｜BE｜· sin ∠AEB＝ ｜AB｜·｜EF｜＝ （6＋6m2）· ＝9（1＋m2 ＞9，所以｜AE｜·｜BE｜＞ ＞18.综上，｜AE｜·｜BE｜≥18，故D正确.故选A、C、D.
法二（优解）　B. 以焦点弦为直径的圆与准线相切，AB
为直径，AE为弦，所以｜AB｜＞｜AE｜，故B错误；C.
抛物线的焦点弦中通径最短，p＝3，则｜AB｜≥2p＝6，
故C正确；D. 由选项B可知AE⊥BE，如图，设∠AFx＝
θ，由S△AEB＝ ｜AE｜·｜BE｜＝ ｜AB｜·｜EF｜，
可得｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜＝ · ＝ ≥2p2＝18，故D正确.故选A、C、D.
5. （2026·浙江杭州模拟）已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的
直线l交抛物线C于A，B两点，且 ＝t （t＞1），｜AB｜＝ ，
则t＝ .
3　
解析：由题意得焦点F（1，0），设直线l为x＝λy＋1（λ≠0），代入抛
物线方程得y2－4λy－4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的
关系得y1y2＝－4　①，由 ＝t ，即（1－x1，－y1）＝t（x2－1，
y2），有y1＝－ty2　②，∴由①②得y2＝ ，y1＝－2 或y2＝－ ，y1
＝2 ，即x1＝t，x2＝ ，∴｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ＋t＋2＝ ，化简
得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝ （舍）.
THANKS
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