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微专题　椭圆、双曲线中的常见结论
椭圆、双曲线的焦半径
（1）如图，F1，F2为椭圆＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是　　　　；
（2）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为　　　　.　
听课记录
1.若点P（x0，y0）在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右减）. 2.若点P（x0，y0）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）右支上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）. 3.焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两点，则＋＝.
椭圆、双曲线的焦点弦
（1）已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为（　　）
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
（2）过双曲线C：－＝1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若｜AB｜＝8，则直线l的方程为　　　　.
听课记录
1.在椭圆中，焦点弦长为，焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝. 2.在双曲线中，焦点弦长为，同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
圆锥曲线的第二定义
（1）双曲线x2－＝1的右支上一点P，到左焦点F1与到右焦点F2的距离之比为2∶1，则点P的坐标为　　　　；
（2）已知点A（－2，），设点F为椭圆＋＝1的右焦点，点M为椭圆上一动点，则｜MA｜＋2｜MF｜的最小值为　　　　.
听课记录
　　圆锥曲线的第二定义是到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜e＜1时为椭圆；当e＝1时为抛物线；当e＞1时为双曲线.其中定点为圆锥曲线的焦点，定直线为圆锥曲线的准线，焦点在x轴上的圆锥曲线的准线方程为x＝±；焦点在y轴上的圆锥曲线的准线方程为y＝±.
圆锥曲线的第三定义
已知椭圆C：＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（　　）
A.－ B.－
C. D.
听课记录
　　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.
1.（2026·重庆模拟）如图，A，B分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
2.已知椭圆C：＋＝1（0＜b＜2）的右焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于A，B两点，若｜AB｜＝，则椭圆C的离心率为（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
3.（2025·重庆一模）已知P为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）右支上一点，A为其左顶点，F（4，0）为其右焦点，满足｜AF｜＝｜PF｜，∠PFA＝60°，则点F到直线PA的距离为（　　）
A. B.
C. D.
4.〔多选〕（2026·四川泸州阶段练习）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是（　　）
A.弦AB的最小值为
B.若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝
D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞）
5.（2026·陕西西安质检）已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且｜AF2｜＝2，则｜AB｜＝　　　　，若F1为其左焦点，则cos∠F1AB＝　　　　.
6.如图，椭圆C：＋＝1（a＞2），圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若｜PF1｜｜PF2｜＝8，则｜PM｜｜PN｜＝　　　　.
微专题　椭圆、双曲线中的常见结论
【例1】　（1）（－，）　（2）－＝1
解析：（1）设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由角平分线性质知，＝，于是得＝ m＝e2x0＝x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－，）.
（2）如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又＋＝，∴＋＝，即＝，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴＝，即3b2＝4a2，又c＝，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为－＝1.
【例2】　（1）C　（2）y＝±（x－）或y＝±（x－）　解析：（1）由题意知，｜AB｜＝3＝，又c＝1，解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）由题意，a＝2，b＝，c＝，F（，0），设直线l的倾斜角为α，则由焦点弦公式，｜AB｜＝＝＝8，解得cos2α＝或，若cos2α＝，则sin2α＝，所以tan2α＝，从而直线l的斜率k＝tan α＝±，故直线l的方程为y＝±（x－）；若cos2α＝，则sin2α＝，所以tan2α＝1，从而直线l的斜率k＝tan α＝±1，故直线l的方程为y＝±（x－）.综上所述，直线l的方程为y＝±（x－）或y＝±（x－）.
【例3】　（1）（，±）　（2）10
解析：（1）设点P（x0，y0）（x0＞0），双曲线的左准线为l1：x＝－，右准线为l2：x＝，则点P到l1，l2的距离分别为d1＝x0＋，d2＝x0－.所以＝＝＝，解得x0＝.将其代入原方程，得y0＝±.因此，点P的坐标为（，±）.
（2）如图，过点A作右准线l：x＝＝8的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率e＝，∴由第二定义得2｜MF｜＝｜MN｜，∴｜AM｜＋2｜MF｜＝｜AM｜＋｜MN｜≥｜AN｜，而｜AN｜＝2＋8＝10，∴｜AM｜＋2｜MF｜的最小值为10.
【例4】　B　如图所示，由椭圆的性质可得·＝·＝－＝－.由椭圆的对称性可得＝，＝，所以·＝－.同理可得·＝·＝·＝·＝－.所以直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（－）5＝－.故选B.
强化训练
1.C　2.B　
3.D　由题意，知A（－a，0），右准线方程为x＝，由｜AF｜＝｜PF｜，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，所以P（，（a＋c）），由双曲线的第二定义可得＝，化为c2－3ac－4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a＝，则点F到PA的距离为（a＋c）＝×5＝.故选D.
4.ABC　弦AB的最小值为通径，故A正确；由双曲线的定义得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B正确；根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝，故C正确；若直线AB的斜率为，所以＜，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以e＝∈（1，2），故D错误.故选A、B、C.
5.　－　
6.8　解析：设P（x0，y0），因为P在椭圆上，所以＋＝1，则＝4（1－）.因为｜PF1｜｜PF2｜＝8，所以（a＋ex0）（a－ex0）＝8（椭圆的焦半径公式：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0），又e2＝，所以＝，＝4－，又｜OM｜＝｜ON｜＝，则｜PM｜｜PN｜＝（｜OM｜－｜OP｜）·（｜ON｜＋｜OP｜）＝a2＋4－｜OP｜2＝a2＋4－－＝a2＋4－a2＋4＝8.
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微专题　椭圆、双曲线中的常见结论
椭圆、双曲线的焦半径
（1）如图，F1，F2为椭圆 ＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是 ；
（－ ， ）　
解析： 设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由角
平分线性质知， ＝ ，于是得 ＝ m＝e2x0＝
x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－ ， ）.
（2）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－ ，0），F2（ ，
0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若 ＝2 ，｜AB｜
＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为 .
－ ＝1　
解析：如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜
AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又 ＋ ＝ ，
∴ ＋ ＝ ，即 ＝ ，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴ ＝ ，即3b2＝4a2，又c＝ ，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为 － ＝1.
1. 若点P（x0，y0）在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上，则｜PF1｜＝a＋
ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右减）.
2. 若点P（x0，y0）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）右支上，则｜
PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）.
3. 焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两
点，则 ＋ ＝ .
椭圆、双曲线的焦点弦
（1）已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直
于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为
（　C　）
A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
解析： 由题意知，｜AB｜＝3＝ ，又c＝1，解得a＝2，b2＝3，所以
椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
C
（2）过双曲线C： － ＝1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两
点，若｜AB｜＝8，则直线l的方程为
.
y＝± （x－ ）或y＝±（x
－ ）　
解析： 由题意，a＝2，b＝ ，c＝ ，F（ ，0），设直线l的倾
斜角为α，则由焦点弦公式，｜AB｜＝ ＝ ＝
8，解得 cos 2α＝ 或 ，若 cos 2α＝ ，则 sin 2α＝ ，所以tan2α＝ ，从而
直线l的斜率k＝tan α＝± ，故直线l的方程为y＝± （x－ ）；若
cos 2α＝ ，则 sin 2α＝ ，所以tan2α＝1，从而直线l的斜率k＝tan α＝
±1，故直线l的方程为y＝±（x－ ）.综上所述，直线l的方程为y＝
± （x－ ）或y＝±（x－ ）.
1. 在椭圆中，焦点弦长为 ，焦点弦中通径（垂直于长轴的焦
点弦）最短，弦长lmin＝ .
2. 在双曲线中，焦点弦长为 ，同支的焦点弦中最短的为通径
（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为 ，异支的弦中最短的为实轴，
其长为2a.
圆锥曲线的第二定义
（1）双曲线x2－ ＝1的右支上一点P到左焦点F1与到右焦点F2的距
离之比为2∶1，则点P的坐标为 ；
解析： 设点P（x0，y0）（x0＞0），双曲线的左准线为l1：x＝－
，右准线为l2：x＝ ，则点P到l1，l2的距离分别为d1＝x0＋ ，d2＝x0
－ .所以 ＝ ＝ ＝ ，解得x0＝ .将其代入原方程，得y0＝
± .因此，点P的坐标为（ ，± ）.
（ ，± ）　
（2）已知点A（－2， ），设点F为椭圆 ＋ ＝1的右焦点，点M为
椭圆上一动点，则｜MA｜＋2｜MF｜的最小值为 .
解析： 如图，过点A作右准线l：x＝ ＝8的垂
线，垂足为N，与椭圆交于点M. ∵椭圆的离心率e＝
，∴由第二定义得2｜MF｜＝｜MN｜，∴｜AM｜＋
2｜MF｜＝｜AM｜＋｜MN｜≥｜AN｜，而｜AN｜＝2＋8＝10，∴｜AM｜＋2｜MF｜的最小值为10.
10　
　　圆锥曲线的第二定义是到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e
的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜e＜1时为椭圆；当e＝1时为抛物线；当e
＞1时为双曲线.其中定点为圆锥曲线的焦点，定直线为圆锥曲线的准线，
焦点在x轴上的圆锥曲线的准线方程为x＝± ；焦点在y轴上的圆锥曲线
的准线方程为y＝± .
圆锥曲线的第三定义
已知椭圆C： ＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1，M2，…，M5是
AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆
C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘
积为（　　）
A. － B. －
C. D.
√
解析： 　如图所示，由椭圆的性质可得
· ＝ · ＝－ ＝－ .由椭圆的对
称性可得 ＝ ， ＝ ，所以
· ＝－ .同理可得 · ＝
· ＝ · ＝ · ＝－ .所以直
线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（－ ）5＝－ .故选B.
　　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实
轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－ ，双曲线中kPA·kPB＝ .
1. （2026·重庆模拟）如图，A，B分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞
0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两
点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜
率的4倍，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，又
所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4（e2－1）＝－1 e＝ .故选C.
2. 已知椭圆C： ＋ ＝1（0＜b＜2）的右焦点为F，过F且倾斜角为
60°的直线l交椭圆C于A，B两点，若｜AB｜＝ ，则椭圆C的离心率
为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 由焦点弦公式，｜AB｜＝ ＝ ＝
，解得b2＝2，所以e＝ ＝ .故选B.
3. （2025·重庆一模）已知P为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）右
支上一点，A为其左顶点，F（4 ，0）为其右焦点，满足｜AF｜＝｜
PF｜，∠PFA＝60°，则点F到直线PA的距离为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由题意，知A（－a，0），右准线方程为x＝ ，由｜AF｜
＝｜PF｜，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，所以P（ ，
（a＋c）），由双曲线的第二定义可得 ＝ ，化为c2－3ac－4a2＝
0，可得c＝4a，由c＝4 ，可得a＝ ，则点F到PA的距离为 （a
＋c）＝ ×5 ＝ .故选D.
4. 〔多选〕（2026·四川泸州阶段练习）已知双曲线C： － ＝1（a＞
0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的
右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是（　　）
A. 弦AB的最小值为
B. 若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C. 若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝
D. 若直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞）
√
√
√
解析： 弦AB的最小值为通径 ，故A正确；由双曲线的定义得｜
AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝｜
AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋
2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜
BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B正确；根据双曲线中的
垂径定理可得kAB·kOM＝ ，故C正确；若直线AB的斜率为 ，所以 ＜
，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以e＝ ∈（1，2），故D错误.故选
A、B、C.
5. （2026·陕西西安质检）已知椭圆C： ＋ ＝1，过右焦点F2的直线交
椭圆于A，B两点，且｜AF2｜＝2，则｜AB｜＝ ，若F1为其左焦
点，则 cos ∠F1AB＝ .
解析：∵a＝4，b＝2，由 ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝
，∴｜BF2｜＝ ，∴｜AB｜＝ ，∴｜AF1｜＝6，｜BF1｜＝ ，
∴ cos ∠F1AB＝ ＝ ＝－ .
　
－ 　
6. 如图，椭圆C： ＋ ＝1（a＞2），圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的
左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于
M，N两点，若｜PF1｜｜PF2｜＝8，则｜PM｜｜PN｜＝ .
8　
解析：设P（x0，y0），因为P在椭圆上，所以 ＋ ＝1，则 ＝4（1
－ ）.因为｜PF1｜｜PF2｜＝8，所以（a＋ex0）（a－ex0）＝8（椭圆
的焦半径公式：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0），又e2＝ ，
所以 ＝ ， ＝4－ ，又｜OM｜＝｜ON｜＝
，则｜PM｜｜PN｜＝（｜OM｜－｜OP｜）·（｜ON｜＋｜
OP｜）＝a2＋4－｜OP｜2＝a2＋4－ － ＝a2＋4－a2＋4＝8.
THANKS
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