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微专题　隐圆问题
　　有这样一类有关圆的题目，条件中没有直接给出有关圆的信息，而是以隐性的形式出现，处理这类题目的关键在于能否把“隐形圆”找出来，一方面可以利用圆的几何性质，从“形”的角度找出来，例如：定义法、定角（动点P对两定点A，B的张角是直角）、定理（四点共圆定理）等；另一方面，可以从“数”的角度找出来，例如：圆的方程、定值法（ 已知两定点A，B，动点P满足·是定值、是定值）等.
利用几何关系确定隐圆
（1）（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），若圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是（　　）
A.[4，6]
B.（4，6）
C.（0，4）∪[6，＋∞）
D.（0，4）∪（6，＋∞）
（2）已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的动点，｜AB｜＝，P是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝上的动点，则｜＋｜的取值范围是　　　　.
听课记录
1.对于动点的轨迹问题，可以利用圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义识别动点的轨迹，也可以利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹. 2.利用圆的性质，即可得到若PA⊥PB或∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆.注意轨迹中要删除不满足条件的点.
利用数量关系确定隐圆
（1）已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，则点M的轨迹方程为（　　）
A.（x＋1）2＋y2＝4
B.x2＋（y＋1）2＝4
C.（x＋1）2＋y2＝2
D.x2＋（y＋1）2＝2
（2）在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是　　　　；
（3）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，则实数a的取值范围是　　　　.
听课记录
1.两定点A，B，动点P满足·＝λ，确定隐圆.特别地，若A，B为定点，且·＝0，则点P的轨迹是以AB为直径的圆. 2.两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2＝λ确定隐圆. 3.两定点A，B，动点P满足＝λ（λ＞0，λ≠1）确定隐圆（阿波罗尼斯圆）.
1.已知平面内一个动点A和两个定点B（0，0），C（5，0）满足△ABC的边AB上的中线长为3，则动点A的轨迹方程为　　　　.
2.在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l：x－y－4＝0的距离的最大值为　　　　.
3.已知点A（2，3），点B（6，－3），点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足等式·＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是　　　　.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x＋1）2＋y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是　　　　.
5.已知点P是圆（x－4）2＋（y－4）2＝8上的动点，A（6，－1），O为坐标原点，则｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为　　　　.
6.已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆O：x2＋y2＝1，点A（ －，0）和点B（ 0，），M为圆O上的动点，则2｜MA｜－｜MB｜的最大值为　　　　.
微专题　隐圆问题
【例1】　（1）A　（2）[2－4，2＋4]
解析：（1）由题意知，点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），可得以PQ为直径的圆的方程为（x－2）2＋y2＝t2，则圆心C1（2，0），半径R＝t.又由圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1，可得圆心C（－2，3），半径r＝1，两圆的圆心距为｜CC1｜＝＝5，要使得圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，即两圆存在公共点，则满足即解得4≤t≤6，所以实数t的取值范围是[4，6].故选A.
（2）取AB的中点D.因为｜AB｜＝，所以｜OD｜＝＝，从而点D的轨迹方程为x2＋y2＝，所以点D的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆.因为C（2，1），所以｜OC｜＝.如图，又圆C的半径为，所以－2≤｜｜≤＋2，而＋＝2，所以｜＋｜＝2｜｜，从而2－4≤｜＋｜≤2＋4.
【例2】　（1）A　（2）[－5，1]　（3）[0，3]
解析：（1）如图所示，设动点M（x，y），连接MO，MA，有｜MA｜＝2｜MO｜，即＝2，化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即（x＋1）2＋y2＝4.
（2）设P（x，y），由·≤20，易得2x－y＋5≤0，由可得或由2x－y＋5≤0得P点在直线2x－y＋5＝0所分圆的左边圆弧上，结合限制条件－5≤x≤5，可得点P的横坐标的取值范围为[－5，1].
（3）设M（x，y），由｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，可得x2＋（y－1）2＝4，∴点M在圆x2＋（y－1）2＝4上，故圆x2＋（y－1）2＝4和圆（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3.
强化训练
1.（x－10）2＋y2＝36（y≠0）　2.3　
3.（－∞，2）　
4.［－，］　解析：设M（x，y），因为｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，所以（x－2）2＋y2＋x2＋y2≤10，化简得x2＋y2－2x－3≤0，则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0与圆C'：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，将两圆的方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x＝－，代入x2＋y2－2x－3≤0可得－≤y≤，所以点M的纵坐标的取值范围是［－，］.
5.10　解析：假设A'（m，n），使得｜PO｜＝2｜PA'｜，设P（x，y），则＝2，从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，从而可知圆心坐标为（ ，），由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆（x－4）2＋（y－4）2＝8是同一个圆，所以＝4，＝4，解得m＝n＝3，即A'（3，3）.所以｜PO｜＋2｜PA｜＝2（｜PA'｜＋｜PA｜）≥2｜A'A｜＝2＝10，即｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为10.
6.　解析：设M（x，y），令2｜MA｜＝｜MC｜，则＝，由题知圆O：x2＋y2＝1是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且λ＝，设点C（m，n），则＝＝，整理得x2＋y2＋x＋y＝，与x2＋y2＝1比较，可得＝0，＝0，＝1，即m＝－2，n＝0，点C（－2，0），
当点M位于图中M1的位置时，2｜MA｜－｜MB｜＝｜MC｜－｜MB｜的值最大，最大值为｜BC｜＝.
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微专题　隐圆问题
　　有这样一类有关圆的题目，条件中没有直接给出有关圆的信息，而是
以隐性的形式出现，处理这类题目的关键在于能否把“隐形圆”找出来，
一方面可以利用圆的几何性质，从“形”的角度找出来，例如：定义法、
定角（动点P对两定点A，B的张角是直角）、定理（四点共圆定理）
等；另一方面，可以从“数”的角度找出来，例如：圆的方程、定值法
（ 已知两定点A，B，动点P满足 · 是定值、 是定值）等.
利用几何关系确定隐圆
（1）（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知点P（2，t），Q（2，
－t）（t＞0），若圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得
∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是（　A　）
A. [4，6] B. （4，6）
C. （0，4）∪[6，＋∞） D. （0，4）∪（6，＋∞）
A
解析： 由题意知，点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），可得以PQ为
直径的圆的方程为（x－2）2＋y2＝t2，则圆心C1（2，0），半径R＝t.又
由圆C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1，可得圆心C（－2，3），半径r＝
1，两圆的圆心距为｜CC1｜＝ ＝5，要使得圆
C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，即两圆
存在公共点，则满足 即 解得4≤t≤6，所以实数
t的取值范围是[4，6].故选A.
（2）已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的动点，｜AB｜＝ ，P是圆C：
（x－2）2＋（y－1）2＝ 上的动点，
则｜ ＋ ｜的取值范围是 .
[2 －4，2 ＋4]　
解析： 取AB的中点D. 因为｜AB｜＝ ，所以｜OD｜
＝ ＝ ，从而点D的轨迹方程为x2＋
y2＝ ，所以点D的轨迹是以原点O为圆心， 为半径的
圆.因为C（2，1），所以｜OC｜＝ .如图，又圆C的半径为 ，所以 －2≤｜ ｜≤ ＋2，而 ＋ ＝2 ，所以｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，从而2 －4≤｜ ＋ ｜≤2 ＋4.
1. 对于动点的轨迹问题，可以利用圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线
等）的定义识别动点的轨迹，也可以利用直接法求出方程，通过方程识别
轨迹.
2. 利用圆的性质，即可得到若PA⊥PB或∠APB＝90°，则点P的轨迹是
以AB为直径的圆.注意轨迹中要删除不满足条件的点.
利用数量关系确定隐圆
（1）已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为 ，
则点M的轨迹方程为（　A　）
A. （x＋1）2＋y2＝4 B. x2＋（y＋1）2＝4
C. （x＋1）2＋y2＝2 D. x2＋（y＋1）2＝2
解析： 如图所示，设动点M（x，y），连接MO，
MA，有｜MA｜＝2｜MO｜，即 ＝
2 ，化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即（x＋1）2＋
y2＝4.
A
（2）在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆
O：x2＋y2＝50上，若 · ≤20，则点P的横坐标的取值范围是
；
解析：设P（x，y），由 · ≤20，易得2x－y＋5≤0，由
可得 或 由2x－y＋5≤0得P点在直
线2x－y＋5＝0所分圆的左边圆弧上，结合限制条件－5 ≤x≤5 ，
可得点P的横坐标的取值范围为[－5 ，1].
[－
5 ，1]　
（3）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝
1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，
则实数a的取值范围是 　 　.
解析：设M（x，y），由｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，可得x2＋（y－1）2
＝4，∴点M在圆x2＋（y－1）2＝4上，故圆x2＋（y－1）2＝4和圆（x－
a）2＋（y－a＋2）2＝1相交或相切，∴1≤ ≤3，
∴0≤a≤3.
[0，3]
1. 两定点A，B，动点P满足 · ＝λ，确定隐圆.特别地，若A，B为
定点，且 · ＝0，则点P的轨迹是以AB为直径的圆.
2. 两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2＝λ确定隐圆.
3. 两定点A，B，动点P满足 ＝λ（λ＞0，λ≠1）确定隐圆（阿波罗
尼斯圆）.
1. 已知平面内一个动点A和两个定点B（0，0），C（5，0）满足△ABC
的边AB上的中线长为3，则动点A的轨迹方程为
.
解析：如图，以B为原点建立平面直角坐标系.
设A（x，y），则AB的中点为D（ ， ）.又C（5，
0），｜CD｜＝3，代入得（ －5）2＋（ ）2＝9，即
（x－10）2＋y2＝36.由A，B，C三点不共线，可知y≠0.故动点A的轨迹方程是（x－10）2＋y2＝36（y≠0）.
（x－10）2＋y2＝36
（y≠0）　
2. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2
＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l：x－y－4＝0的距离的
最大值为 .
解析：直线l1，l2分别经过定点A（0，2），B（2，0），且l1⊥l2，所以
点P在以AB为直径的圆C上.圆C的圆心为C（1，1），半径r＝ .因为
圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离为d＝ ＝2 ，所以点P到
直线l的距离的最大值为d＋r＝3 .
3 　
3. 已知点A（2，3），点B（6，－3），点P在直线3x－4y＋3＝0上，若
满足等式 · ＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是
.
解析：设P（x，y），则 ＝（x－2，y－3）， ＝（x－6，y＋
3），由 · ＋2λ＝0，可得（x－4）2＋y2＝13－2λ（ λ＜ ），即点P
的轨迹是以（4，0）为圆心， 为半径的圆，又点P在直线3x－
4y＋3＝0上，所以圆（x－4）2＋y2＝13－2λ与直线3x－4y＋3＝0相交，
故圆心到直线的距离d＝ ＝3＜ ，解得λ＜2.
（－∞，
2）　
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x＋1）2＋y2＝2，点A（2，
0），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，则点M的纵坐
标的取值范围是 .
解析：设M（x，y），因为｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，所以（x－2）2＋
y2＋x2＋y2≤10，化简得x2＋y2－2x－3≤0，则圆C：x2＋y2＋2x－1＝0
与圆C'：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，将两圆的方程相减可得两圆公共弦
所在直线方程为x＝－ ，代入x2＋y2－2x－3≤0可得－ ≤y≤ ，所
以点M的纵坐标的取值范围是［－ ， ］.
［－ ， ］　
5. 已知点P是圆（x－4）2＋（y－4）2＝8上的动点，A（6，－1），O
为坐标原点，则｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为 .
解析：假设A'（m，n），使得｜PO｜＝2｜PA'｜，设P（x，y），则
＝2 ，从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2
－8ny＋4n2＝0，从而可知圆心坐标为（ ， ），由题意得圆3x2－
8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆（x－4）2＋（y－4）2＝8是同一个
圆，所以 ＝4， ＝4，解得m＝n＝3，即A'（3，3）.所以｜PO｜＋
2｜PA｜＝2（｜PA'｜＋｜PA｜）≥2｜A'A｜＝
2 ＝10，即｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为10.
10　
6. 已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M
的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆
O：x2＋y2＝1，点A（ － ，0）和点B（ 0， ），M为圆O上的动点，
则2｜MA｜－｜MB｜的最大值为 .
　
解析：设M（x，y），令2｜MA｜＝｜MC｜，则
＝ ，由题知圆O：x2＋y2＝1是关于点A，C
的阿波罗尼斯圆，且λ＝ ，设点C（m，n），则 ＝
＝ ，整理得x2＋y2＋ x＋ y＝ ，与x2＋y2＝1比较，可得 ＝0， ＝0， ＝1，即m＝－2，n＝0，点C（－2，0），当点M位于图中M1的位置时，2｜MA｜－｜MB｜
＝｜MC｜－｜MB｜的值最大，最大值为｜BC｜＝ .
THANKS
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