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微专题　圆锥曲线的切线与光学性质
圆锥曲线的切线问题
1.解决圆锥曲线的切线问题的常用方法
（1）几何法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来求解；
（2）代数法：比如涉及椭圆的切线问题，常联立直线与椭圆的方程根据Δ＝0来求解；比如涉及抛物线的切线问题，有时也可以通过求导求解.
2.圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论
（1）设P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2上的点，则过该点的切线方程为xx0＋yy0＝r2；
（2）设P（x0，y0）为椭圆＋＝1上的点，则过该点的切线方程为＋＝1；
（3）设P（x0，y0）为双曲线－＝1上的点，则过该点的切线方程为－＝1；
（4）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px上的点，则过该点的切线方程为yy0＝p（x＋x0）；
（5）设P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2外一点，则切点弦的方程为xx0＋yy0＝r2；
（6）设P（x0，y0）为椭圆＋＝1外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A，B，则弦AB的方程为＋＝1；
（7）设P（x0，y0）为双曲线－＝1外一点，过该点作双曲线的两条切线，切点为A，B，则切点弦AB的方程为－＝1；
（8）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px外一点，过该点作抛物线的两条切线，切点为A，B，则切点弦AB的方程为yy0＝p（x＋x0）.
角度1　切线问题
（1）〔一题多解〕已知椭圆方程为＋＝1，则该椭圆在点P（ 1，）处的切线方程为（　　）
A.x－2y＋4＝0 B.2x－y＋4＝0
C.x＋2y－4＝0 D.2x＋y－4＝0
（2）抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为（　　）
A. B.
C.1 D.2
听课记录
角度2　切点弦问题
（1）已知抛物线C：x2＝－2py（p＞0）的焦点F与＋＝1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦｜AB｜＝（　　）
A.16 B.26
C.14 D.24
（2）〔一题多解〕已知P（1，1）是双曲线x2－＝1外一点，过P引双曲线的两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB的方程为　　　　.
听课记录
圆锥曲线的光学性质
1.抛物线的光学性质
如图1，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线；如图2，设抛物线在点P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥切线l交对称轴于点M，则焦点F是QM的中点.
2.椭圆的光学性质
如图3，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l交直线F1F2于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，＝.
3.双曲线的光学性质
如图5，从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图6，双曲线在点P处的切线l与直线F1F2相交于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，＝.
（1）（2026·江西南昌质检）如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C：x2＋4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且｜PF1｜＝1，过点P与直线l垂直的直线l'与椭圆的长轴交于点M，则｜F1M｜∶｜F2M｜＝（　　）
A.∶ B.1∶
C.1∶3 D.1∶
（2）（2026·山东青岛调研）双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P（8，y0）后被反射，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是　　　　.
听课记录
1.过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（　　）
A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0
C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0
2.已知过点P（1，2）可作双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A.（，＋∞） B.（1，）
C.（1，） D.（，＋∞）
3.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线x2＝2py（p＞0），单位圆O分别相切于A，B两点，当｜AB｜最小时，p＝（　　）
A.2　　B.2 C.　　D.
4.抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴，现有抛物线C：y2＝2px（p＞0），一平行于x轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着x轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为（　　）
A.y2＝2x B.y2＝4x
C.y2＝8x D.y2＝16x
5.已知椭圆C1：＋y2＝1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为（　　）
A.1 B.
C. D.2
6.如图，已知点P（x0，y0）是双曲线C1：－＝1上的点，过点P作椭圆C2：＋＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB交C1的两渐近线于点E，F，O是坐标原点，则·＝　　　　.
7.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），tan∠F1F2P＝　　　　.
微专题　圆锥曲线的切线与光学性质
【例1】　（1）C　（2）C　解析：（1）法一　由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为y－＝k（x－1），将y－＝k（x－1）代入＋＝1中得，3x2＋4［k（x－1）＋］2＝12，化简整理得（3＋4k2）x2＋（12k－8k2）x＋4k2－12k－3＝0，令Δ＝（12k－8k2）2－4（3＋4k2）（4k2－12k－3）＝0，化简整理得4k2＋4k＋1＝0，解得k＝－，所以切线方程为y－＝－（x－1），即x＋2y－4＝0.
法二　因为P在第一象限，＋＝1可化为y＝·，y'＝·＝－·.k＝y'｜x＝1＝－，所以切线方程为y－＝－（x－1），即x＋2y－4＝0.
法三　由＋＝1的切线方程为＋＝1，得在点P（ 1，）处的切线方程为＋＝1，整理得x＋2y－4＝0.
（2）因为抛物线C：y2＝4x的准线为l，所以l的方程为x＝－1，A（－1，0），设过点A的抛物线的一条切线为x＝my－1，m＞0，由消x得y2－4my＋4＝0，所以Δ＝（－4m）2－4×4＝0，解得m＝1，所以y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，同理当m＜0时，｜yB｜＝2，所以△OAB的面积为×1×2＝1.
【例2】　（1）A　（2）2x－y－2＝0
解析：（1）由题意可得，F（0，－2），则p＝4，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝＝2.由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx－2，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝－，y2＝－，由y＝－，得y'＝－.∴在点A处的切线方程为y－y1＝－（x－x1），化简得y＝－x＋　①，同理可得在点B处的切线方程为y＝－x＋　②，联立①②得xM＝，由M的横坐标为4，得x1＋x2＝8，将AB的方程代入抛物线方程，可得x2＋8kx－16＝0，∴Δ＝64k2＋64＞0，x1＋x2＝－8k＝8，得k＝－1，∴y1＋y2＝k（x1＋x2）－4＝－1×8－4＝－12，则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝－y1＋－y2＝p－（y1＋y2）＝4－（－12）＝16.故选A.
（2）如图所示，
法一 根据题意，设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），根据结论：若点P0（x0，y0）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上，则过点P0的双曲线的切线方程是－＝1.则可得切线PA，PB的方程分别为x1x－＝1，x2x－＝1.又因为点P（1，1）在切线上，可得x1－＝1，x2－＝1.因此A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x－＝1上，可知直线AB的方程为x－＝1，即2x－y－2＝0.
法二 可直接利用结论：若点P0（x0，y0）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）外，过点P0作双曲线的两条切线，切点为点P1，P2，则切点弦P1P2的直线方程是－＝1，可得直线AB的方程为x－＝1，即2x－y－2＝0.
【例3】　（1）C　（2）　解析：（1）由椭圆的定义，｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，又｜PF1｜＝1，所以｜PF2｜＝3，根据椭圆的光学性质，PM是∠F1PF2的平分线，所以＝＝.
（2）如图，F1（－5，0），F2（5，0），将P（8，y0）代入－＝1可得y0＝±3，不妨设P（8，3），则｜PF1｜＝＝14，由双曲线定义，｜PF1｜－｜PF2｜＝8，所以｜PF2｜＝｜PF1｜－8＝6，显然｜F1F2｜＝10，所以cos∠F1PF2＝＝，由题意，反射光线所在的直线即为直线PF1，所以入射光线与反射光线夹角的余弦值是.
强化训练
1.B　2.B　
3.C　令A（x0，y0），则｜AB｜＝＝，y＝，y'＝，则k＝，切线为y－y0＝（x－x0），即2x0x－2py－＝0，直线又与单位圆相切，则＝1，即p＝，则｜AB｜＝＝≥＝2，当且仅当－1＝，即＝3，即y0＝，p＝时取“＝”.故选C.
4.C　设P（x1，y1），Q（x2，y2），设两平行线间的距离为d，由题意可知，d＝｜y1－y2｜，因为F（ ，0），而直线PQ过点F，则设直线PQ的方程为x＝my＋，m∈R，因为消去x得y2－2pmy－p2＝0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，则d＝｜y1－y2｜＝＝＝2p≥2p，所以两平行线间的最小距离为2p＝8，故抛物线方程为y2＝8x.
5.C　设B（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1，令y＝0，可得C（ ，0），令x＝0，可得D（ 0，），所以△OCD的面积S＝××＝，又点B在椭圆上，所以＋＝1，所以S＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x1＝1，y1＝时等号成立，所以△OCD面积的最小值为.
6.1　解析：椭圆C2关于点P（x0，y0）的切点弦AB的方程为＋＝1，即3x0x＋4y0y＝12，由解得E（，），同理F（，），则·＝＋＝＝1.
7.2＋　解析：如图，因为双曲线的离心率为，所以不妨设其方程为x2－y2＝1，则F2（，0），由题意，PF1⊥PF2，所以点P在圆x2＋y2＝2上，不妨设P在第一象限，联立解得x＝±，y＝±，所以P（ ，），设∠F1F2P＝α，则直线PF2的斜率k＝tan（π－α）＝－tan α＝＝＝－－2，所以tan α＝2＋.
1 / 1(共33张PPT)
微专题　圆锥曲线的切线与光学性质
圆锥曲线的切线问题
1. 解决圆锥曲线的切线问题的常用方法
（1）几何法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来求
解；
（2）代数法：比如涉及椭圆的切线问题，常联立直线与椭圆的方程根据Δ
＝0来求解；比如涉及抛物线的切线问题，有时也可以通过求导求解.
2. 圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论
（1）设P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2上的点，则过该点的切线方程为xx0＋
yy0＝r2；
（2）设P（x0，y0）为椭圆 ＋ ＝1上的点，则过该点的切线方程为
＋ ＝1；
（3）设P（x0，y0）为双曲线 － ＝1上的点，则过该点的切线方程为
－ ＝1；
（4）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px上的点，则过该点的切线方程为yy0
＝p（x＋x0）；
（5）设P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2外一点，则切点弦的方程为xx0＋yy0
＝r2；
（6）设P（x0，y0）为椭圆 ＋ ＝1外一点，过该点作椭圆的两条切
线，切点为A，B，则弦AB的方程为 ＋ ＝1；
（7）设P（x0，y0）为双曲线 － ＝1外一点，过该点作双曲线的两条
切线，切点为A，B，则切点弦AB的方程为 － ＝1；
（8）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px外一点，过该点作抛物线的两条切
线，切点为A，B，则切点弦AB的方程为yy0＝p（x＋x0）.
角度1　切线问题
（1）〔一题多解〕已知椭圆方程为 ＋ ＝1，则该椭圆在点P
（ 1， ）处的切线方程为（　C　）
A. x－2y＋4＝0 B. 2x－y＋4＝0
C. x＋2y－4＝0 D. 2x＋y－4＝0
C
解析： 法一　由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为y－ ＝k
（x－1），将y－ ＝k（x－1）代入 ＋ ＝1中得，3x2＋4［k（x－
1）＋ ］2＝12，化简整理得（3＋4k2）x2＋（12k－8k2）x＋4k2－12k－
3＝0，令Δ＝（12k－8k2）2－4（3＋4k2）（4k2－12k－3）＝0，化简整
理得4k2＋4k＋1＝0，解得k＝－ ，所以切线方程为y－ ＝－ （x－
1），即x＋2y－4＝0.
法二　因为P在第一象限， ＋ ＝1可化为y＝ · ，y'＝
· ＝－ · .k＝y'｜x＝1＝－ ，所以切线方程为y－ ＝－
（x－1），即x＋2y－4＝0.
法三　由 ＋ ＝1的切线方程为 ＋ ＝1，得在点P（ 1， ）处的
切线方程为 ＋ ＝1，整理得x＋2y－4＝0.
（2）抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的
一条切线，切点为B，则△OAB的面积为（　C　）
A. B. C. 1 D. 2
C
解析：因为抛物线C：y2＝4x的准线为l，所以l的方程为x＝－1，A（－
1，0），设过点A的抛物线的一条切线为x＝my－1，m＞0，由
消x得y2－4my＋4＝0，所以Δ＝（－4m）2－4×4＝0，解
得m＝1，所以y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，同理当m＜0时，｜
yB｜＝2，所以△OAB的面积为 ×1×2＝1.
角度2　切点弦问题
（1）已知抛物线C：x2＝－2py（p＞0）的焦点F与 ＋ ＝1的一
个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B
两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦｜AB｜＝（　A　）
A. 16 B. 26 C. 14 D. 24
A
解析： 由题意可得，F（0，－2），则p＝4，抛物线方程为x2＝－8y，
准线方程为y＝ ＝2.由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y
＝kx－2，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝－ ，y2＝－ ，由
y＝－ ，得y'＝－ .∴在点A处的切线方程为y－y1＝－ （x－x1），
化简得y＝－ x＋ 　①，同理可得在点B处的切线方程为y＝－ x＋
　②，联立①②得xM＝ ，由M的横坐标为4，得x1＋x2＝8，将
AB的方程代入抛物线方程，可得x2＋8kx－16＝0，∴Δ＝64k2＋64＞0，x1
＋x2＝－8k＝8，得k＝－1，∴y1＋y2＝k（x1＋x2）－4＝－1×8－4＝－
12，则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝ －y1＋ －y2＝p－（y1＋y2）＝4
－（－12）＝16.故选A.
（2）〔一题多解〕已知P（1，1）是双曲线x2－ ＝1外一点，过P引双
曲线的两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB的方程为
.
解析： 如图所示，
2x－y－
2＝0　
法一 根据题意，设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），根据结论：
若点P0（x0，y0）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）上，则过点P0的双
曲线的切线方程是 － ＝1.则可得切线PA，PB的方程分别为x1x－
＝1，x2x－ ＝1.又因为点P（1，1）在切线上，可得x1－ ＝1，x2
－ ＝1.因此A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x－ ＝1上，可知直线
AB的方程为x－ ＝1，即2x－y－2＝0.
法二 可直接利用结论：若点P0（x0，y0）在双曲线 － ＝1（a＞0，b
＞0）外，过点P0作双曲线的两条切线，切点为点P1，P2，则切点弦P1P2
的直线方程是 － ＝1，可得直线AB的方程为x－ ＝1，即2x－y－
2＝0.
圆锥曲线的光学性质
1. 抛物线的光学性质
如图1，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一
系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线；如图2，设抛物线在点
P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥切线l交对称轴于点M，则焦点F是
QM的中点.
2. 椭圆的光学性质
如图3，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个
焦点；如图4，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l交直线F1F2于点Q，
则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理， ＝ .
3. 双曲线的光学性质
如图5，从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的
反向延长线交于另一个焦点；如图6，双曲线在点P处的切线l与直线F1F2
相交于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理， ＝
.
（1）（2026·江西南昌质检）如图所示，椭圆具有这样的光学性质：
从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一
个焦点.已知曲线C：x2＋4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭
圆C相切于点P，且｜PF1｜＝1，过点P与直线l垂直的直线l'与椭圆的长
轴交于点M，则｜F1M｜∶｜F2M｜＝（　C　）
A. ∶ B. 1∶
C. 1∶3 D. 1∶
C
解析： 由椭圆的定义，｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，又｜PF1｜＝1，所以｜
PF2｜＝3，根据椭圆的光学性质，PM是∠F1PF2的平分线，所以
＝ ＝ .
（2）（2026·山东青岛调研）双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点
发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.
已知双曲线C： － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线
射向C上的点P（8，y0）后被反射，则入射光线与反射光线夹角的余弦值
是 .
　
解析：如图，F1（－5，0），F2（5，0），将P（8，
y0）代入 － ＝1可得y0＝±3 ，不妨设P（8，
3 ），则｜PF1｜＝ ＝14，由双曲线定义，｜PF1｜－｜PF2｜＝8，所以｜PF2｜＝｜PF1｜－8＝6，显然｜F1F2｜＝10，所以 cos ∠F1PF2＝ ＝ ，由题意，反射光线所在的直线即为直线PF1，所以入射光线与反射光线夹角的余弦值是 .
1. 过椭圆 ＋ ＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切线l，则过A点且与直
线l垂直的直线方程为（　　）
A. x－y－3＝0 B. x＋y－2＝0
C. 2x＋3y－3＝0 D. 3x－y－10＝0
解析： 　过椭圆 ＋ ＝1上的点A（3，－1）的切线l的方程为 ＋
＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为
－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－（x－3），即x＋y－
2＝0.
√
2. 已知过点P（1，2）可作双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两条
切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率
的取值范围为（　　）
A. （ ，＋∞） B. （1， ）
C. （1， ） D. （ ，＋∞）
√
解析： 　要满足题意，点P（1，2）必须在渐近线y＝ x与y轴围成的区
域内，且不能在渐近线及y轴上，所以必须满足 ＜2，所以e＝ ＝
＝ ＜ ，又e＞1，所以1＜e＜ .
3. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线x2＝2py（p＞0），单位圆
O分别相切于A，B两点，当｜AB｜最小时，p＝（　　）
A. 2 B. 2
C. D.
√
解析： 令A（x0，y0），则｜AB｜＝ ＝
，y＝ ，y'＝ ，则k＝ ，切线为y－y0＝ （x－
x0），即2x0x－2py－ ＝0，直线又与单位圆相切，则 ＝1，即
p＝ ，则｜AB｜＝ ＝ ≥ ＝
2 ，当且仅当 －1＝ ，即 ＝3，即y0＝ ，p＝ 时取
“＝”.故选C.
4. 抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点（不同于
顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的轴，现有抛物线C：y2＝2px（p
＞0），一平行于x轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着
x轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为
（　　）
A. y2＝2x B. y2＝4x
C. y2＝8x D. y2＝16x
√
解析： 　设P（x1，y1），Q（x2，y2），设两平行线间
的距离为d，由题意可知，d＝｜y1－y2｜，因为F（ ，
0），而直线PQ过点F，则设直线PQ的方程为x＝my＋
，m∈R，因为 消去x得y2－2pmy－p2＝0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，则d＝｜y1－y2｜＝ ＝ ＝2p
≥2p，所以两平行线间的最小距离为2p＝8，故抛物线方程为y2＝8x.
5. 已知椭圆C1： ＋y2＝1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作
C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积
的最小值为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
√
解析： 　设B（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），由题意得，过点B的切线l
的方程为 ＋y1y＝1，令y＝0，可得C（ ，0），令x＝0，可得D
（ 0， ），所以△OCD的面积S＝ × × ＝ ，又点B在椭圆
上，所以 ＋ ＝1，所以S＝ ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝
，当且仅当 ＝ ，即x1＝1，y1＝ 时等号成立，所以△OCD面积
的最小值为 .
6. 如图，已知点P（x0，y0）是双曲线C1： － ＝1上的点，过点P作
椭圆C2： ＋ ＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB交C1的两渐近线
于点E，F，O是坐标原点，则 · ＝ .
1　
解析：椭圆C2关于点P（x0，y0）的切点弦AB的方程为 ＋ ＝1，即
3x0x＋4y0y＝12，
由 解得E（ ， ），同理F
（ ， ），则 · ＝ ＋ ＝ ＝1.
7. 智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比
如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射
出平行光线.如图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反
射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离
心率为 ，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射
点），tan∠F1F2P＝ .
2＋ 　
解析：如图，因为双曲线的离心率为 ，所以不妨设其方
程为x2－y2＝1，则F2（ ，0），由题意，PF1⊥PF2，所
以点P在圆x2＋y2＝2上，不妨设P在第一象限，联立
解得x＝± ，y＝± ，所以P（ ，
），设∠F1F2P＝α，则直线PF2的斜率k＝tan（π－α）＝－tan α＝ ＝ ＝－ －2，所以tan α＝2＋ .
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