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北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
4 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
情景导入
生活中的正方形
好
好
学
习
天
天
向
上
像矩形
十
年
树
木
百
年
树
人
像菱形
矩形变正方形
一组邻边相等
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菱形变正方形
一个角是90°
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探究新知
探究一 正方形的性质
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能总结出正方形的定义吗？
正方形定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
想一想
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
相关图形性质的关系
平行四边形的性质
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
菱形的性质
四条边相等
对角线互相垂直
四个角都是直角
对角线相等
矩形的性质
正方形的性质
正方形的性质
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
AB = BC = CD = DA
∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°
AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
想一想
正方形有几条对称轴？
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
正方形有 4 条对称轴.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
应用举例
【方法指导】延长BE与DF相交于点M，利用SAS证明△BCE≌△DCF，推出BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，据此可得到∠DME＝∠BCE＝90°。
解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF.
∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF.
（2）延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE ≌ △DCF.
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°.
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE ⊥ DF.
【例2】 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，求DE的长。
【方法指导】过点E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长。
解：过点E作EF⊥CD于F。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝45°。
∴∠EDF＝45°。∴EF＝DF。
∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF。
又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC，∴Rt△CEO≌Rt△CEF。
∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝。
∴CO＝AC＝。∴CF＝CO＝。
∴DF＝DC－CF＝1－ 。
在Rt△DEF中，由勾股定理，
得DE＝＝－1。
2.如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A′ ，C′的位置，得到正方形A′BC′D。已知菱形ABCD的面积为120cm2，正方形A'BC'D的面积为50 cm2，求 AC 的长。
正方形A′BC′D的面积为 50cm2 。
正方形的面积公式为：面积=×d1 ×d2 ，
∵正方形的对角线相等（A′C′=BD），
∴ 50= ×BD2
解得: BD2=100 BD=10cm
∵菱形 ABCD 的面积为 120 cm2，
菱形的面积公式为：面积= ×AC×BD，
已知BD=10cm， ∴ S菱形ABCD=× AC×10
120=5×AC AC=24 cm
想一想
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
这节课你们都学会了哪些知识？
正方形的定义
正方形的性质
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
课堂小结
随堂练习
1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
解：图中的全等三角形共有 3 对，
分别是 △ADC与△ABC,
△FCD与△FCB,
△FAD与△FAB．
选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下：
∵正方形 ABCD,
∴AD = AB,∠DAF =∠BAF,
又∵AF = AF，
∴△FAD≌△FAB.
1. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ( )
A．14 B．15
C．12 D．17
C
3．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数。
解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，AB＝AG，AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)。
∴∠BAF＝∠FAG。
同理可证：∠GAE＝∠DAE。
∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE，
∴∠FAG＋∠GAE＝45°，即∠EAF＝45°。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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