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北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
3 矩形的性质与判定
第1课时　矩形的性质
情景导入
矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流.
探究新知
探究一 矩形的性质定理
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：
不变：
变：
对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形.
角的大小.
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形与四边形、平行四边形的关系
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
矩形
你能用集合表示它们之间的关系吗？
四边形
平行四边形
矩 形
既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
性质 边 角 对角线 对称性
矩形
对边平行
且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
想一想
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
探索活动
定理
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
定理
你能证明这两个定理吗？
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。
求证（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；
（2）AC = BD.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，
∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），
AB∥DC（矩形的对边平行）.
∴∠ABC +∠BCD = 180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°.
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。
求证（2）AC = BD.
（2）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB. ∴AC = DB.
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
点击播放
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
点击播放
矩形的性质
矩形的对边平行且相等.
角
对角线
边
矩形的对角线相等.
矩形的对角线互相平分.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角相等.
对称性
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.
小结
探究新知
探究二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（1） 矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？ （2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？ （4）你能借助于矩形加以证明吗？
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
∴BE = DE = AE = CE,
在Rt△ABC 中，
AC为斜边，BE 为斜边上中线，
∴BE = AC.
例题解析
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD。
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180°－120°) = 30°。
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
方法1
方法2
∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝2OA＝2×2.5＝5。
【例2】如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，AE＝BC。
求证：CE＝EF。
【方法指导】CE，EF分别是BC，AE线段上的一部分，若AF＝BE，则问题得以解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可。
证明：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，且AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2。
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°。
∴∠B＝∠AFD。
又∵AE＝BC，AD＝BC，∴AD＝AE。
∴△ABE≌△DFA(AAS)。∴AF＝BE。
∵EF＝AE－AF，EC＝BC－BE，
∴EF＝EC。
方法二：连接DE，
证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得到EF＝EC。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
矩形的性质：
具有平行四边形的一切特征.
四个角都是直角.
对角线相等且平分.
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂小结
随堂练习
1. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与BD 相交点 O，AB=6，OA=4. 求 BD 与 AD 的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等），
∴BD = 2AO = 8，
在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2，
AD2 + 62 = 82，
∴AD =2.
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连接BG，DH，且BG∥DH，当四边形BHDG为菱形时， 的值为 ( )
A． B．
C． D．
C
3．如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为____。
5
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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