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北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
2 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
旧知回顾
菱形的定义和性质？
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
边：四条边相等，对边平行.
角：对角相等.
对角线：对角线互相垂直平分.
什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判定方法？
边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
那么，菱形的判定有什么方法呢？
探究新知
探究一 一组邻边相等的平行四边形是菱形
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
思考：
除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.
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探究新知
探究二 四边相等的四边形是菱形
菱形
平行四边形
满足？条件
对角线
边
角
平行四边形的边满足什么条件时，它就是菱形了？
猜想：四边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中 AB=BC=CD=DA,
求证：四边形 ABCD 是菱形。
证明：∵AB=CD，BC=DA,
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵AB = BC，
∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）
定理
四边相等的四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AB=BC=CD=DA，
∴四边形 ABCD是菱形。
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗？
动手试一试！
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探究新知
探究三 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形
平行四边形
满足？条件
对角线
边
角
探究菱形的判定条件
平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明吗？
已知:如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,
AC⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴OA = OC
又∵AC⊥BD
∴BD是线段 AC 的垂直平分线
∴BA = BC
∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义)
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形 ABCD是菱形。
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
议一议
如图，分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于 B、D，依次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 看上去是菱形.
开放训练
【例1】(教材P8例2)已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1。
求证： ABCD是菱形。
【方法指导】利用菱形的性质与判定及勾股定理的逆定理，关键是先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形。
证明：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝OA2＋OB2。
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。
∴AC⊥BD。
∴ ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)。
【例2】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝BD，∠BAD＝60°。
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若OD＝1，求四边形ABCD的面积。
【方法指导】(1)先证明△ABD为等边三角形，得到AD＝AB，再结合四边形ABCD是平行四边形即可；(2)利用菱形的性质求出AC，BD即可。
(1)证明：∵AB＝BD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形。∴AD＝AB。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OD＝2，AC＝2OA，
∠OAD＝∠BAD＝30°，AC⊥BD，
∴AD＝2OD＝2。
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA＝＝ ＝，
∴AC＝2OA＝2。
∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×2×2＝2。
课堂小结
菱形的判定定理
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
随堂练习
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF。
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积。
解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC。
又∵BE＝2DE，∴BE＝BC。
∵EF＝BE，∴EF＝BC。
∴四边形BCFE是平行四边形。
又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形。
(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°。
又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形。
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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