资源简介

(共28张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
2 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
情景导入
“同学们，图形是人类文明的密码。在中国古代的《周髀算经》和《九章算术》中，就有对‘菱形’(古称‘斜方形’)面积的计算。在西方，古希腊的数学家们深入研究过它的几何特性。”
“看这个图案(展示伊斯兰艺术中的菱形密铺)，它是装饰艺术的杰作，展现了菱形完美的对称性和无缝隙填充空间的特性。”
探究新知
知识模块一 菱形的性质简单应用
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
思考：
菱形的对边平行且相等，
对角相等，对角线互相平分。
（2）菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形是轴对称图形
如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O。
求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；
(2)AC⊥BD。
思考：(1)菱形是特殊的平行四边形，你能从平行四边形的性质证明菱形的四条边相等吗？
(2)可以利用什么性质来证明AC⊥BD。说出你的想法，然后小组交流。
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC( 菱形的对边相等 )。
又∵AB＝____，
∴AB＝BC＝CD＝AD。
AD
(2)∵AB＝AD，∴△ABD是_______三角形。
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝____( 菱形的对角线互相平分 )。
在等腰三角形ABD中，
∵OB＝OD，∴AO⊥BD。
即AC⊥BD。
等腰
OD
归纳
菱形的四条边相等。
菱形的对角线互相垂直。
开放训练
【例1】 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6。
(1)求AB和AC的长；
(2)求菱形ABCD的面积。
【方法指导】菱形性质的应用、勾股定理的应用。
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD( 菱形的四条边相等 )，
AC⊥BD ( 菱形的对角线互相垂直 )，
OB＝OD＝BD＝ ×6＝3( 菱形的对角线互相平分 )。
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形。
∴AB＝BD＝6。
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，
∴OA＝＝＝3。
∴AC＝2OA ＝6( 菱形的对角线互相平分 )。
解：(2)菱形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△CBD的面积＝2×△ABD的面积＝2× BD·OA＝2××6×3＝18。
(2)求菱形ABCD的面积。
【例2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E。求证：DE＝BE。
【方法指导】连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE＝BE。
证明：连接BD。
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BD⊥AC，∠DBE＝30°。
∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°。
∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，∴DE＝BE。
课堂小结
1.菱形的性质定理：①菱形的四条边相等；
②菱形的对角线互相垂直。
2．菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。因此，有关菱形的问题，往往可转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决。
随堂练习
1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC与 BD 相交于点O。已知AB=5cm，AO =4cm，求BD的长。
∵四边形ABCD是菱形，
在Rt△AOB中，由勾股定理a2+b2=c2（其中c为直角三角形斜边，a、b为两直角边）可得：
BO= = = =3（cm）
∵ BD =2BO， ∴ BD =2×3=6(cm) 。
∴ AC⊥BD，BO=DO，∠AOB=90°。
2.菱形ABCD 的周长为 40cm，它的一条对角线长 10 cm。
(1)求这个菱形每一个内角的度数;
(2)求这个菱形另一条对角线的长。
解：（1）已知菱形ABCD的周长为40cm，
又已知它的一条对角线BD=10cm，
∴ ∠BAD=60 。
∵菱形的邻角互补，
∵菱形的四条边都相等，
∴AB=BC=CD=DA=40÷4=10cm。
∴ △ABD中，AB=AD=BD=10cm，
即△ABD是等边三角形。
∴ ∠ABC=180° ∠BAD=180° 60° =120° ，∠BCD=∠BAD=60° ，∠ADC=∠ABC=120°
菱形的内角分别为60°，120 °，60°，120 °；
解：（2）因为菱形的对角线互相垂直且平分，设AC与BD相交于点O
则AC⊥BD，BO=BD=×10=5cm
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
AO= = = = =5 (cm)。
∵ AC =2AO，∴ AC=2×5 (cm)。
另一条对角线的长为cm
3．下列性质中，菱形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．是轴对称图形
C
4．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰。测得AB＝5 cm，AC＝6 cm，则该菱形的面积为____cm2。
24
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑