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北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
复习题
知识技能
一个菱形的两条对角线的长分别为 4 cm 和 8 cm，求它的边长.
cm
2. 如图，若四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 О，且 OA = OB = OC = OD =AB，则四边形 ABCD 是 正方形吗？
是正方形
3. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？
不一定，因为筝形也符合条件．
4.如图，四边形 ABCD边长为13cm 的菱形，其中对角线BD=10cm。求：
（1）对角线 AC 的长度；
（2）菱形ABCD 的面积
解（1）∵四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直且平分。
∴AC⊥BD，设AC与BD相交于点E，则DE= BD。
已知BD=10cm，那么DE=×10=5cm。
在Rt△ADE中，AD=13cm，DE=5cm，
根据勾股定理a2+b2=c2可得：
AE== =
= =12cm。
又∵菱形的对角线互相平分，
∴AC=2AE，则AC=2×12=24cm。
解：（2）菱形的面积可以通过两条对角线长度的乘积的一半来计算。
S菱形= ×AC×BD
将BD=10 cm 和AC=24 cm 代入公式：
S菱形ABCD= ×24 cm×10 cm
S菱形ABCD =12 cm×10 cm
S菱形ABCD =120 cm2
4.如图，四边形 ABCD边长为13cm 的菱形，其中对角线BD=10cm。求：
（2）菱形ABCD 的面积
5. 证明：如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么以它的四边中点为顶点可组成一个正方形.
证明: 如图， 四边形 ABCD 中，E，F，G，H
分别为 AB，BC，CD ，AD 中点，BD ，AC 交于点 O，
则 HE BD FG，HG AC EF．
又∵∠COB ＝∠1 ＝ 90°＝∠HEF，
∴四边形 EFGH 为正方形．
=
∥
=
∥
=
∥
=
∥
7.（1）如果一个菱形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形吗？为什么？
解:（1）是正方形．因为绕对角线交点旋转 90°，所得图形与原图形重合，说明菱形两条对角线相等，所以这个菱形是正方形.
7. （2）如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形吗？为什么？
（2）是正方形．因为绕对角线交点旋转 90°，所得图形与原图形重合，说明四个角相等，均为90°，且四条边相等，所以这个四边形是正方形．
8. 已知: 如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点 D 分别作 AC 和 AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F .求证: 四边形 AEDF 是菱形.
证明: ∵AD 为∠BAC 的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB．
又∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四边形 AEDF 为平行四边形，
∠DAC ＝∠EDA ，∠FDA ＝∠EAD ，
∴∠FDA ＝∠DAF＝∠EAD ＝∠EDA ,
即AF ＝ FD ，AE ＝ ED ．
又∵四边形 AEDF 为平行四边形,
∴四边形 AEDF 是菱形．
9. 已知: △ABC 的两条高分别为 BE，CF，点 M 为 BC 的中点 . 求证: ME = MF.
证明: 如图．∵△FBC 为直角三角形，
△EBC 为直角三角形．
M 点为 BC 中点，
∴MF＝ BC ＝ EM ．
10. 已知正方形的对角线的长为 l，求这个正方形的周长和面积.
这个正方形的周长为2l；
面积为 .
11. 已知: 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P. 求证: 四边形 CODP 是菱形.
证明: ∵DP ∥AC，PC∥BD ,
∴四边形 OCPD 为平行四边形，OC＝PD ，PC＝OD ．
又∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AC＝BD ，则OC ＝PD ＝ AC ＝ BD
＝ OD ＝ PC．
∴四边形 CODP 是菱形．
12. 已知: 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 M， P，N，Q 分别在 AO，BO，CO，DO 上，且 AM = BP = CN = DQ.
求证: 四边形 MPNQ 是矩形.
证明: 在矩形 ABCD 中，AM ＝ BP ＝CN ＝ DQ．
∴OM ＝ OQ＝ ON ＝ OP ．
易证△MOQ≌△PON ．
∴MQ ＝ PN ，∠MQP ＝∠NPQ，
∴MQ∥PN ，
∴四边形 MQNP 为矩形．
13. 已知: 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°， CD 是△ABC 的角平分线， DE⊥BC，DF⊥ AC，垂足分别为E，F. 求证: 四边形 CEDF 是正方形.
证明:由题意，知∠FCE＝90°＝∠CED＝∠CFD＝∠FDE．
∴四边形 CEDF 为矩形．
又∵CD 是△ACB 的角平分线，
∴∠DCE＝∠FCD ＝45°＝∠EDC，
即DE＝EC，
∴四边形 CEDF 是正方形．
14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 20 cm. 动点 P 从点 A 开始沿 AB 边以 4 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度运动. 点 P 和点 Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设动点的运动时间为 t s，则当 t 为何值时，四边形 APQD 是矩形？
解:根据题意,四边形 APQD 是矩形时，
DQ ＝AP ，DQ ＝20－t，AP ＝4t，
令 DQ＝AP，即20－t＝4t，解得 t＝4 (s)．
∴当 t 为 4 s 时，四边形 APQD 是矩形．
数学理解
15. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分
是什么图形？试说明理由.
解: 重合部分是等腰三角形．
由题意知，四边形 ABCD 为矩形,
∴∠ADB＝∠CBD ＝∠EBD ,
即 FB ＝ FD ．
故重合部分是等腰三角形．
16. 如图，把两个全等的矩形 ABCD 和矩形 CEFG 拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC 的度数.
解: 由题意，可得∠FCE＝∠ACD ，
∠GCF＝∠BCA ，
∴∠ACF＝90°．
又∵AC＝CF，
∴∠AFC＝45°
17. 小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方．商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验（如图）.小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验，小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾.你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗？你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？
小颖买的这块纱巾不一定是正方形.
18. 已知：如图，平行四边形ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H 求证：四边形 EFGH 是矩形.
M
N
证明: 延长AH ，交 CD 于点 M ，延长BH ，交 CD 于点 N ．
由题意，知∠BAM ＝∠DAB ＝∠DMA ＝∠DCF，
∴EH ∥FG．同理，可证 HG ∥EF，
即四边形 EFGH 为平行四边形．
又∵ ∠DAB ＋ ∠ABC ＝180°，
∴∠HAB＋∠ABH ＝ ×180°＝90°,
即∠AHB＝90°，∴四边形 EFGH 为矩形．
19.(1)如图(1)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在纸片ABCD内的A′点。展开纸片，得到四边形 ABA′E，这个四边形有哪些性质
(2)如图(2)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在BC边上的A′点。展开纸片，得到四边形ABA'E，这个四边形是正方形吗 为什么
问题解决
解：（1）由折叠可知，△ABE △A′BE
∴AB=A′B，AE=A′E，∠ABE=∠A′BE，∠A=∠A′=90°。
即四边形ABA′E 的性质为：
邻边 AB=A′B，AE=A′E；
有一个角 ∠A=∠A′=90°；∠ABE=∠A′BE
19.(1)如图(1)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在纸片ABCD内的A′点。展开纸片，得到四边形 ABA′E，这个四边形有哪些性质
(2)如图(2)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在BC边上的A′点。展开纸片，得到四边形ABA'E，这个四边形是正方形吗 为什么
解：(2) ∵矩形ABCD 沿BE 折叠，顶点A 落在BC 边上的A′ 点，
∴ △ABE △A′BE。
则 AB=A′B，AE=A′E，∠A=∠BA′E=90°，∠ABE=∠A′BE。
又∵ ∠A=∠ABC=90°，∠ABE=∠A′BE，
∴ ∠ABE=∠A′BE=45°。
那么在△ABE 中，∠AEB=180° 90° 45°=45°，
∴ ∠ABE=∠AEB，则 AB=AE。
∵ AB=A′B，AE=A′E，AB=AE，
∴AB=A′B=AE=A′E，且∠A=90 °。
根据正方形的判定：四条边相等，有一个角是直角的四边形是正方形，所以四边形 ABA′E 是正方形。
(3)如图(3)，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，顶点A落在 BC边上的A′点，顶点B落在纸片外的B′点。展开纸片，得到四边形AFA′E，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论。
解：(3)四边形AFA′E是菱形。
证明：由折叠得AE=A′E，∠AEF=∠A′EF，根据矩形对边平行及内错角相等得到∠A′EF=∠EFA′，
∴ A′E=A′F，从而AE=A′F 且AE∥A′F，先证得四边形AFA′E 是平行四边形，
又∵AE=A′E， ∴它是菱形。
20.请查阅资料，了解我国古建筑中特殊平行四边形的运用，制作演示文档并在班级内交流。
21.结合平行四边形和特殊平行四边形的学习，联系自己的数学学习经验，以“特殊与一般的关系”为主题写一篇小短文，并在班级内分享。
联系拓广
22.如图，在四边形 ABCD中，AB=AD，CB=CD，像这样的四边形称为筝形。
(1)类比特殊平行四边形的研究，你认为可以研究筝形哪些方面的问题？
※(2)请你探索筝形的性质，并加以证明。
解：(1) 类比特殊平行四边形，可从边、角、对角线、对称性等方面研究筝形的性质；从满足何种条件时四边形是筝形方面研究筝形的判定等问题。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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