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(共31张PPT)
北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
3 矩形的性质与判定
第2课时　矩形的判定
“几何王国的‘矩形家族’正在招募新成员。前来应聘的四边形们都说自己是矩形。作为‘身份审核官’，你的任务就是制定一套科学的审核标准，去伪存真。”
情景导入
“应聘者”：
候选人A：一个普通的平行四边形。“我的对边平行又相等，我肯定是矩形！”
候选人B：一个对角线相等的平行四边形。“我和真正的矩形一样，对角线都相等！”
候选人C：一个有三个直角的四边形。“看，我有这么多直角！”
“请问，哪位可以直接录用？哪位需要进一步考察？考察的标准是什么？仅仅有平行四边形的性质够吗？我们还需要哪些‘关键证据’？”
有一个角是直角的平行四边形.
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角是直角
性质 边 角 对角线
矩形
矩形的对边平行且相等.
矩形的两条对角线相等且互相平分.
矩形的四个角都是直角.
探究新知
探究一 定义证明
探究新知
探究二 有三个角是直角的四边形是矩形
我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流.
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形吗
已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°. 求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴四边形 ABCD 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理
∠A =∠B =∠C = 90°
四边形 ABCD 是矩形
归纳
探究新知
探究三 对角线相等的平行四边形是矩形
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
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（1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线，AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°.
∴∠ABC=∠DCB= 90°.
∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）.
定理
对角线相等的平行四边形是矩形.
四边形 ABCD 是矩形
□ ABCD
AC = BD
归纳
应用举例
【例1】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求 ABCD的面积。
【方法指导】先根据“对角线相等的平行四边形是矩形”判定 ABCD是矩形，再求出BC的长，从而可得 ABCD的面积。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD。
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4。
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4。
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8。
∴ ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。
∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角)。
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
∴BC＝＝＝4。
∴S ABCD＝AB·BC＝4×4＝16。
【例2】如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为点E，D。
求证：四边形AEBD是矩形。
【方法指导】根据角平分线的性质和平角的定义，得到∠EBD＝90°，再结合AE⊥BE，AD⊥BD，可以确定四边形的三个内角都是直角，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”就可以证明此四边形是矩形。
证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，
∴∠ABD＋∠ABE＝(∠ABC＋∠ABP)＝90°，
即∠EBD＝90°。
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°。
∴四边形AEBD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)。
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？
用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
想一想
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？
拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？
先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
再用绳子测量对角线是否相等.
对角线相等的平行四边形是矩形.
课堂小结
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
定理
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理
随堂练习
已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点， 且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点，
∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D.
又∵∠A +∠D = 180°，
∴∠A =∠D = 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
2．下列说法正确的是 ( )
A．一组对边平行且相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
D
3．如图， ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_________ (只添加一个即可)，使 ABCD是矩形。
AC＝BD
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是对角线AC的中点。若OB＝3，则OD的长为____。
3
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连接AC。
(1)求证：四边形AECD是矩形；
(2)若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长。
(1)证明：∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形。
又∵∠D＝90°，∴四边形AECD是矩形。
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连接AC。
(2)若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长。
(2)解：∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC。
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB。
∴∠BAC＝∠ACB。∴BA＝BC＝5。
∵EC＝2，∴BE＝BC－EC＝3。
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4。
作业布置
对应课时练习．
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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