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北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
习题1.1
知识技能
1.如图，在矩形ABCD中，∠A=90°，BC=3，CD=2，求对角线BD的长
∵矩形的四个角都是直角，∴ ∠C=90°，
∴△BCD 是直角三角形，其中 BC 和 CD 为直角边，BD 为斜边。
在 Rt△BCD 中，根据勾股定理：
BD2=BC2+CD2
已知 BC=3，CD=2，代入得：
BD2=32+22=9+4=13
∴BD=
2.已知:如图，在菱形ABCD中，AB=AD，E，F为BD上的两点，且BE=DF.求证:AE=AF。
由题知四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD（菱形的四条边都相等），
∴ ∠ABD=∠ADB（等腰三角形两底角相等，△ABD 为等腰三角形）
在 △ABE 和 △ADF 中：
AB=AD
∠ABE=∠ADF
BE=DF
∴ △ABE △ADF
∵ 全等三角形的对应边相等，∴ AE=AF
3.如图，在正方形ABCD中，AB=BC，∠B=90，对角线AC=2，求CD的长。
在正方形 ABCD 中：AB=BC=CD=DA
已知∠B=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形。
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理：
AB2+BC2=AC2
已知 AB=BC，且 AC=2，代入得：
AB2 +AB2 =2 2
2AB2=4
AB2=2
AB=
∵正方形的边长相等，CD=AB，∴CD=
4.如果用两张三角形纸片拼成一个菱形(无缝隙、不重叠)，那么这两张三角形纸片应该具备什么特征 如果用两张三角形纸片拼成一个矩形呢 如果拼成一个正方形呢 先想一想，再试一试。
数学理解
拼成的图形 两张三角形纸片的特征
菱形
矩形
正方形
全等的等腰三角形
全等的直角三角形
全等的等腰直角三角形
作业布置
对应课时练习．
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北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
习题1.3
知识技能
1.一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是 45°，求这个矩形各边的长。
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A = 90°，
又∵∠ABD =45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB = AD，AB2 + AD2 = 62，
∴AB = AD = BC = CD = 3 .
2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长为 15，求这个矩形较短边的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD = 15，∴OD = OC = 7.5，
又∵∠COD = 60，
∴△COD是等边三角形，
∴ CD = 7.5 .
3. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论.
解：四边形 ADCE 是菱形，
证明：∵ AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形 ADCE 为平行四边形.
又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
D 为 AB 中点，
∴ AD = CD . ∴四边形 ADCE 为菱形.
4. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
（1）试判断四边形 ABEC 的形状；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形 ABEC 是矩形．
5. 如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D.试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论.
证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为∠MBA ,∠ABN 的平分线,
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB,
∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB,
且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB,
则∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC,
∴四边形 ACBD 为平行四边形．
又∵AB ＝ CD ,
∴四边形 ACBD 为矩形．
6. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC，
∴∠1=∠A，∠2=∠C.
又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°，
故△ABC 为直角三角形.
7. 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED = 3BE. 求 AE 的长.
解∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角），
AC = BD（矩形的对角线相等）
AO = CO =AC，BO = DO = BD（矩形的对角线互相平分）.
∴AO = BO = DO = BD.
∵ED = 3BE，∴BE = OE，
又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，
即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°.
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
∴AE = AD = ×6 = 3.
问题解决
8.如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A,B,C , D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍，并说明你画图的正确性。
9.你有哪些方法检查你家(或教室)的门框是不是矩形 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查 请说明检查方法的正确性。
先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
再用绳子测量对角线是否相等.
对角线相等的平行四边形是矩形.
10:如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。连接DE，交AC于点F。
(1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。(2)线段DF与AB有怎样的关系 请证明你的结论。
四边形 ABDE 是平行四边形，
证明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
∴BD = CD,
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
(1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。
DF∥AB，DF =AB.
证明：四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AC = DE, ∴DF = AC.
又∵AB = AC，∴ DF =AB.
∴DF∥AB.
∵四边形 ABDE 是平行四边形.
(2)线段DF与AB有怎样的关系 请证明你的结论。
11. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，将矩形纸片折叠，使点 C 与点 A 重合. 请在图中画出折痕的长.
解: 如图,连接 EC．在矩形 ABCD 中,
AB ＝ 6 cm, BC＝ 8 cm,
∴AC ＝ 10 cm, ∴AO＝CO＝ 5 cm．
易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．
由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝ cm．
∴OE ＝ cm,折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.
解: 如图, 连接 PO．在矩形 ABCD 中,
AB＝3, AD ＝4,
∴AC＝ BD ＝5, OA ＝OD ＝．
又∵ S△AOD ＝ S△APO ＋ S△DPO ＝ S矩形ABCD ,
即 OA·PE ＋ OD · PF＝ AB·AD ,
∴PE＋PF＝．
作业布置
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北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
习题1.2
知识技能
1.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，
又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°，
∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形.
2.如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长.
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
AO=OC，BO=DO（菱形的对角线互相平分）.
在Rt△AOD中，AO=4，DO=3，∴AD=5.
∴菱形 ABCD 的周长为 20.
3.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求证：AC平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC和∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD ，BO=DO，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
同理： AC平分∠BCD，
BD平分∠ABC和∠ADC.
4.证明:菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半。
已知：菱形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O。
求证：菱形的面积 S=×AC×BD
证明：∵菱形的对角线互相垂直平分，
因此：AC⊥BD，且 AO=OC= AC，BO=OD= BD。
∴ S菱形ABCD =S△ABD +S△CBD
S菱形ABCD = ×BD×AO+ ×BD×OC
= ×BD×(AO+OC)
= ×BD×AC
S△ CBD = × BD × OC
∴ 菱形的面积等于其两条对角线长的乘积的一半，
即 S= ×AC×BD。
∵ S△ ABD = × BD × OA，
5.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC与BD 相交于点0，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
且菱形的面积公式为：
S菱形ABCD = ×AC×BD
已知 AC=16，BD=12，
∴ S菱形ABCD = ×16×12=96
∴AO= AC=8，BO= BD=6。
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理：
AB= = = = =10
∵ S菱形ABCD =AB×DH
代入得：96=10×DH
DH= =9.6
6.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC，BC 相交于点 E，O，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
证明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC.
又∵EF为 AC 的垂直平分线，
∴AC⊥EF，AO = OC，
即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.
∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
又∵AC⊥EF，∴四边形 AFCE 是菱形.
7.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC与 BD 相交于点 O ，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
∴HE∥AD且 HE= AD，FG∥BC且 FG =BC，
∴HE GF，即四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵AC⊥BD，∴四边形 EFGH 是菱形.
∥
=
∥
=
数学理解
8.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形 有多少个直角三角形
因为 AB=BC ，所以△ABC 是等腰三角形。
因为 AD=CD ，所以△ADC 是等腰三角形。
因为AB=AD ，所以△ABD 是等腰三角形。
因为BC=CD ，所以△BCD 是等腰三角形。
已知四边形 ABCD 是菱形，根据菱形的定义，它的四条边都相等，即 AB=BC=CD=DA 。
图中没有其他由已知线段构成的三角形了。
因此，图中共有 4 个等腰三角形。
根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直。
即∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°。
由对角线分割出的四个小三角形分别是：
△AOB ：因为∠AOB=90°，所以它是直角三角形。
△BOC ：因为∠ BOC=90°，所以它是直角三角形。
△COD ：因为∠COD=90°，所以它是直角三角形。
△DOA ：因为∠DOA=90° ，所以它是直角三角形。
因此，图中共有 4 个直角三角形。
已知对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，因此 AC⊥BD ，
9.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AB和BC上的点且BE=BF。从上述条件出发，你能提出哪些问题 从你提出的问题中选择一个加以解答。
10.如图，在四边形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD > CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C′ 处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连接 C′E. 你能确定四边形 CDC′E 的形状吗？证明你的结论.
四边形 CDC′E 是菱形.
证明：连接 CC′ ，交 DE 于点 O.
由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.
又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，
∴△COE≌△C′OD，即 EC=C′D.
又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，
∴四边形 CDC′E 是菱形.
11.还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗 请用本节所学的定理说明这种作法的正确性。
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
问题解决
如图你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
先沿着红色线对折，使AB与AC重合；
再沿着蓝色线对折；
最后沿着绿色线对折。
作业布置
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北师版 九年级 数学（上）
第1章 特殊平行四边形
习题1.4
知识技能
1. 对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？
解：∵ABCD 是正方形，
∴AB = BC，∠B = 90°
△ABC是等腰直角三角形，
AB2 + BC2 = AC2 = 4，
∴AB =
2. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形， 求∠AEB 的度数.
证明: ∵△BEC 是等边三角形，
∴BE = EC = BC = AB，
∴△ABE 是等腰三角形，
∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 °
∴∠AEB = = 75 °
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
又∵AC = BD ，
∴△AOB、△AOD、△BOC、
△COD都是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 90°.
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
3.证明:对角线相等的菱形是正方形。
4. 已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是菱形.
证明: 在正方形 ABCD 中,BE ＝DF,
易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ,
即 CE ＝AE ＝AF ＝FC,
∴四边形 AECF 是菱形．
5.如图，E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE=BF=CG=DH。试判断四边形EFGH的形状并证明你的结论。
解：四边形 EFGH 是正方形.
∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH，
易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,
即EH ＝HG＝GF＝FE,
且∠AHE＝∠DGH ．
∵∠DGH ＋∠DHG＝90°,
∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,
∴四边形 EFGH 是正方形
6.如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上。仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD=QC。BP，AQ是两条直路，证明BP=AQ且BP⊥AQ.
数学理解
∵ 四边形 ABCDABCD 是正方形，
∴AB=AD=DC ， ∠BAP=∠D=90 。
∵PD=QC ，
∴∴AD PD=DC QC ，即 AP=DQAP=DQ 。
在 △ABP 和 △DAQ 中：
AB=DA
∠BAP=∠D
AP=DQ
△ABP △DAQ (SAS) ∴BP=AQ
∵△ABP △DAQ ，
∴∠ABP=∠DAQ 。
设 BP 与 AQ 相交于点 O 。
∵∠BAP=90°，即∠DAQ+∠BAQ=90°。
∴∠ABP+∠BAQ=90°（等量代换）。
在 △ABO 中，∠AOB=180° (∠ABP+∠BAQ)=180° 90°=90° 。
∴BP⊥AQ 。
※7.作两条直线，将正方形分成大小、形状完全相同的四部分。你有几种方法(至少说出三种)
问题解决
方法一： 作正方形的两条对角线。这两条直线相交于正方形的中心，将正方形分成了四个大小、形状完全相同的等腰直角三角形。
方法二： 作正方形两组对边中点的连线（即画一个“十”字）。这两条直线互相垂直且交于正方形的中心，将正方形分成了四个大小、形状完全相同的小正方形。
方法三： 作两条经过正方形中心且互相垂直的斜线（例如，将方法二中的“十”字绕中心旋转45度，就变成了方法一；如果旋转任意其他角度，比如15度）。这两条直线会将正方形分成四个大小、形状完全相同的四边形。
8.四边形 ABCD是正方形。
(1)如图(1)，点P是对角线BD上一点，连接 AP，CP。线段AP与CP有怎样的关系 请证明你的结论。
(2)如图(2)，如果点P在BD的延长线上，连接AP，CP。线段AP与CP有怎样的关系？为什么
(3)你还可以提出什么问题？
解：（1）结论： AP=CP 。
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD (正方形的四条边相等)，且对角线BD平分 ∠ADC (正方形的对角线平分一组对角)。
在△ADP和△CDP中，
∴ △ADP △CDP (SAS)。
∴ ∠ADP=∠CDP 。
AD=CD
∠ADP=∠CDP
DP=DP (公共边)
∴ AP=CP(全等三角形的对应边相等)。
解：（2）结论：AP=CP 。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD ，且∠ADB=∠CDB=45°
∵ 点P在BD的延长线上，
∴ B、D、P三点在同一条直线上。
∴ ∠ADP=180° ∠ADB=180° 45°=135°
∠ADP=180° ∠ADB=180° 45°=135° 。
∠CDP=180° ∠CDB=180° 45°=135°
∠CDP=180° ∠CDB=180° 45°=135° 。
∴ ∠ADP=∠CDP
在△ADP和△CDP中，
AD=CD
∠ADP=∠CDP
DP=DP (公共边)
∴ △ADP △CDP (SAS)。
∴ AP=CP (全等三角形的对应边相等)。
解：(3) 可以提出的问题：
如果点P在DB的延长线上（即点D在点P和点B之间），连接AP、CP，那么线段AP与CP有怎样的关系？请说明理由。
8.四边形 ABCD是正方形。
(3)你还可以提出什么问题？
3. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形A′B′C′O 与正方形 ABCD 的边长相等. 在正方形A′B′C′O绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论.
S重叠部分 =S正方形ABCD
联系拓广
证明:如图,正方形 OA′B′C′ 分别交 AB、BC 于点 E、F．
∵OC ＝ OB,
∠C′OA′＝∠COB ＝ 90°,
∠OCB ＝∠OBA ＝ 45°,
∴ ∠COF ＝ ∠BOE,
则△OFC ≌ △OEB．
∴S重叠部分＝ S△OEB+ S△OBF = S△OFC + S△OBF = S△OBC
= S正方形ABCD .
E
F
10.如图，在四边形 ABCD中，点E,F,G,H分别为 AB,BC,CD,AD 的中点。
(1)当四边形 ABCD 满足什么条件时，四边形 EFGH是菱形 请说明理由。
(2)当四边形 ABCD满足什么条件时，
四边形 EFGH是矩形 请说明理由。
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